1、 1第十四单元 直线与平面及简单几何体一.选择题(1) 有如下三个命题：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；过平面 的一条斜线有一个平面与平面 垂直其中正确命题的个数为 ( )A0 B1 C2 D3(2)下列命题中正确的个数是 ( ) 四边相等的四边形是菱形; 若四边形有两个对角都是直角, 则这个四边形是圆内接四边形; “平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”; 若两平面有一条公共直线, 则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上.A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 (3) 已知直线 及平面 ，下列命题中的假命题是 (
2、)nml、 A若 ， ，则 . B若 ， ，则 ./lnl/nlnC若 ， ，则 . D若 ， ，则 .l/(4) 木星的体积约是地球体积的 倍，则它的表面积约是地球表面积的 3024( )A60 倍 B60 倍 C120 倍 D120 倍30(5) 已知 a、b、c 是直线， 是平面，给出下列命题： 若 ；ca/,则若 ；则,/若 ；ba/,则若 a 与 b 异面，且 相交； 与则a,若 a 与 b 异面，则至多有一条直线与 a，b 都垂直.其中真命题的个数是 ( )A1 B 2 C3 D4(6) 在正四面体 PABC 中， D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下面四个结论中不2成
3、立的是 ( )ABC/平面 PDF BDF平面 PAEC平面 PDF平面 ABC D平面 PAE平面 ABC(7) 如图 , 四边形 ABCD 中, ADBC, AD=AB, BCD=45, BAD=90. 将ADB 沿BD 折起, 使平面 ABD平面 BCD, 构成三棱锥 A-BCD. 则在三棱锥 A-BCD 中, 下列命题正确的是 ( )A 平面 ABD平面 ABC B 平面 ADC平面 BDCC 平面 ABC平面 BDC D平面 ADC平面 ABC (8) 如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，E 是 A1B1 的中点，则 E 到平面 AB C1D1 的距离为 ( )A
4、 B C 2322D （第 8 题图 ） （第 9 题图 ） （第 10 题图 ）(9)如图正四面体 D-ABC 中, P面 DBA, 则在平面 DAB 内过点 P 与直线 BC 成 60角的直线共有 ( )A 0 条 B 1 条 C 2 条 D 3 条(10) 如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EF/AB ，EF=2 ，则该多面体的体积为 ( )A B C D3233423AB CD AB CDABCDP3二.填空题(11) 一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 ，则球的表面积为 .(12)已知直线 m、n 和
5、平面 、 满足: , m , mn, 则 n 与 之间的位置关系是_(13) 如图，正方体 的棱长为 ，将该正方体沿1DCBAa对角面 切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的DB1四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为_ (14) 已知平面 和直线，给出条件：, ； ； ； ； ./mm/（i）当满足条件 时，有 ；（ii）当满足条件 时，有/.（填所选条件的序号）三.解答题(15) 如图，正三棱锥 SABC 中，底面的边长是 3，棱锥的侧面积等于底面积的 2倍，M 是 BC 的中点.求：（） 的值；SA（）二面角 SBCA 的大小；（）正三棱锥 SABC 的体积4(16) 已知正三棱锥 的体积
6、为 ，侧面与底面所成的二面角的大小为 .ABCP372 60（1）证明： ；（2）求底面中心 到侧面的距离.O(17) 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AC=3 ，BC=4 ，AB=5 ，AA 1=4，点 D 是 AB的中点.（）求证 ACBC 1；（）求证 AC1/平面 CDB1；（）求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.PBCA O5(18)在斜三棱柱 A1B1C1-ABC 中, 底面是等腰三角形, AB=AC, 侧面 BB1C1C底面 ABC.()若 D 是 BC 的中点, 求证:AD CC 1;()过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M, 若 A
7、M=MA1, 求证:截面 MBC1侧面 BB1C1C;() AM=MA 1 是截面 MBC1平面 BB1C1C 的充要条件吗? 请你叙述判断理由.ABC DA1B1C1M6参考答案一选择题: 1.C 解析：正确 2.B 解析：错误，因为这个四边形可能是空间四边形；正确；3.D 解析： 反例：长方体上底面的两条相交棱，都平行于下底面，但这两条棱不平行。4.C 解析：木星的体积约是地球体积的 倍，3024则它的半径约是地球半径的 倍（体积比是半径比的立方）故表面积约是地球表面积的 120 倍（面积比是半径比的平方）5.A 解析： 正确6.C 解析：由 DF/BC 可得 BC/平面 PDF ，故 A
8、 正确。若 PO平面 ABC，垂足为 O，则 O 在 AE 上，则 DFPO ，又 DFAE故 DF平面 PAE，故 B 正确。由 DF平面 PAE 可得，平面 PAE平面 ABC，故 D 正确。7.D 解析：在四边形 ABCD 中, ADBC, AD=AB, BCD=45, BAD=90BDCD又平面 ABD平面 BCD，且平面 ABD 平面 BCD=BD7A BCDG故 CD平面 ABD，则 CDAB，又 ADAB故 AB平面 ADC，所以平面 ABC平面 ADC8.B 解析：A 1B1/平面 AB C1D1 的中点，E 到平面 AB C1D1 的距离等于 A1 到平面 AB C1D1 的
9、距离，而 A1 到平面 AB C1D1 的距离等于 A1 到直线 AB1的距离，即 .29. 解析： 在平面 DAB 内过点与直线 BC 成 60角的直线共有条，故在平面 DAB 内过点与直线 BC 成 60角的直线共有条。10.C解析： 如图，把原多面体分成一个直三棱柱和两个三棱锥，它们的底面 正方形 ABCDGB= ， 123GBCS直三棱柱的体积为 1，两个三棱锥的体积和为 31原多面体的体积为 34二填空题: 11. 4 2解析：一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 截面圆的半径为 1，故球的半径为 ，球的表面积为 42212. n 或 n解析： 已知直线 m、n 和平面
10、、 满足: , m, m, 又 mn,故 n 或 n13. 2)4(a解析： 新四棱柱的表面是四个正方形，与两个矩形（长为 ，宽为 1）2故全面积为 2)4(a14. 解析：若 ， ，则 ； /若 ， ，则 。mm三解答题8(15) 解：（）SB=SC，AB=AC ，M 为 BC 中点，SM BC，AMBC.由棱锥的侧面积等于底面积的 2 倍，即.23,11SMAABCB得（）作正三棱锥的高 SG，则 G 为正三角形 ABC 的中心，G 在 AM 上， .31AMGSM BC，AMBC ，SMA 是二面角 SBCA 的平面角.在 Rt SGM 中， ,2323MAMSSMA=SMG=60，即二
11、面角 SBCA 的大小为 60。（）ABC 的边长是 3， ,2360,2,3 GtgS .893411VABCABS(16 证明（1）取 边的中点 ，连接 、 ，DAP则 ， ，故 平面 . . DPBCDBCPA解（2）如图， 由（1）可知平面 平面 ，则 是侧面与底面所成二面角的平面角.过点 作 为垂足，则 就是点 到侧面的距离. OE,O设 为 ，由题意可知点 在 上，EhA ， .60PDh2, BC4,32 ，223)(hSA9 ， .32834172hh即底面中心 到侧面的距离为 3. O(17) 解法一：（）直三棱柱 ABCA1B1C1 底面三边长 AC=3，BC=4 ，AB=
12、5，ACBC，且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC，ACBC 1.（）设 CB1 与 C1B 的交点为 E，连结 DE，D 是 AB 的中点，E 是 BC1 的中点，DE/AC 1，DE 平面 CDB1，AC 1 平面 CDB1，AC 1/平面 CDB1.（）DE/AC 1，CED 为 AC1 与 B1C 所成的角，在CED 中，ED =12A ,21,25,5BEAD.8cosCED异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为 .52解法二：直三棱柱 ABCA1B1C1 底面三边长 AC=3，BC=4 ，AB=5 ，AC，BC，C 1C 两两垂直.如图，以 C 为坐标原点，直线 C
13、A，CB ，CC 1 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则 C（0，0，0） ，A（3，0，0） ，C 1（0，0，4） ，B （0， 4，0） ，B1（0，4，4） ，D（ ，2，0）.（） ),(),(1B.1CACA（）设 CB1 与 C1B 的交点为 E，则 E（0，2，2）. 11/,),43(),203( ACDEDE ./11 BDB平 面平 面平 面 10（） ),40(),403(11CBA.52|,cos11A异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为 .(18) ( )证明: AB=AC, D 是 BC 的中点, ADBC. 底面 ABC平面 BB1
14、C1C, AD侧面 BB1C1C. ADCC 1. ()延长 B1A1 与 BM 交于 N, 连结 C1N. AM=MA 1, NA 1=A1B1. A 1B1=A1C1, A 1C1= A1N=A1B1. C 1NC 1B1. 截面 N B1C1侧面 BB1C1C, C 1N侧面 BB1C1C. 截面 C1N B 侧面 BB1C1C. 截面 MBC1侧面 BB1C1C.()解: 结论是肯定的 , 充分性已由 (2)证明, 下面证必要性: 过 M 作 ME B C1 于 E, 截面 MBC1侧面 BB1C1C, ME侧面 BB1C1C. 又AD侧面 BB1C1C, MEAD. M, E, A, D 共线. A M侧面 BB1C1C, AMDE. CC 1AM, DECC 1. D 是 BC 的中点, E 是 BC1 的中点 . AM= DE= CC1= AA1.2AM= MA 1.
