1、 第一周习题周世勋书第一章 151.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长 与温度m成反比，即(mTb常 量 ） ；并近似计算 b 的数值，准确到两位有效数字。解：由频率表示的黑体辐射公式（1）3/81hkTddce及波长与频率之间的关系2c把黑体辐射公式转变为以波长表示d（加一负号是为抵消上面 中的负号）2cd由此可得（2）5/81hckTe求导取极值，令/6/52/81(/)05 01(/)()1hcKThckTkhckxdeeT其中 /T数值求解解出4.965x32.10()mhcTmKk12 在 0K 附近，纳的价电子能量约为 3 电子伏，求其德布罗意波长。解：
2、 .52.1.5AA7.eEV1. 设一个小球的转动惯量是 1 克.厘米 2,它自转的角速度为 1 弧度/秒, 比较小球的角动量与普朗克常数的大小.解： 5 34106.2590LIh =焦 耳 秒 焦 耳 秒2. 一束电子经 1000 伏的电势差加速后,其波长为多少?如果这束电子通过一个光学干涉用的双狭缝,两缝间距为 1 毫米, 那么我们能否观察到干涉条纹，条纹的间距是多少？解：电子波长为12.5.12.5AA0.3860ehmEV双狭缝干涉，屏幕上相邻明纹之间的间距为lLs其中 为两缝间距，L 为屏幕到狭缝的距离。代入一般的干涉设备 ，可s 1L米以得出1073.8.810ls米这要比一般
3、光波小 45 个量级，所以用一般的光学干涉设备比较难以观察到。3一般来讲，当粒子的德布罗意波长 比体系的特征长度 大时,就要涉及量)/(ph)(d子力学。在温度 处于热平衡时，粒子的平均动能是T)(KTkmB23(其中 是波尔兹曼常数)，所以对应的德布罗意波长为Bk. 1.41khB3本题的目的是去预测什么样的体系必须用量子力学的方法处理，什么样的体系可以可靠地用经典力学处理。固体。典型固体的晶格间距大约是 。求在什么温度以下固体中的自由电子nmd.0是量子力学的。什么温度以下固体中的核子是量子力学的(以钠为例)? 原则上：固体中的自由电子总是量子力学的；核子几乎从不是量子力学的。对液体也有同
4、样的结果（原子之间的间隔和固体情况差不多） ，但是 4 以下的氦是个例外。K气体。什么温度以下压强为 的理想气体中原子是量子力学的? 提示：利用理想气态P方程 导出原子之间的间距。答案: 。显然(为)(TNkPVB 5/2/32)(/1PmhkTB了使气体显示量子行为) 应当尽可能的小，而 尽可能的大。把一个大气压下氦的P数据代入上式。遥远宇宙中的氢(温度大约 3 ,原子间距大约 )是量子力学的么?c解：固体中电子34 71236.011.039.8BhmkTTT =米 度可以看出，即便是 时（一般固体溶化温度） ，2K5.=米 nm所以电子总是量子力学的固体中的核子（纳原子为例）纳原子质量
5、2731.60Na34 1027235.1.80BhmkTTT =米 度设 1K05nm即使是在如此低的温度，纳原子的波长才与晶格间距相当。所以在一般温度下，原子核不是量子力学的。4考虑波函数(,),xittAe式中 和 是正的实数。(在第二章我们将会看到什么样的势 会导致这样的波函数。 ,A)(V)(a)归一化 。(b)求出 和 的期待值。x2(c)求出 的标准差。作为 的函数,画出 ，并在图上标出点 和 ，x2()x()x解释在何种意义上 代表 的“弥散” 。在这个区域之外发现粒子的几率是多少？解：（a）222201(,)xxAxtdAeded（b）22(,)xxxtded22 201,x
6、t（c）21xx x=0越大表示“弥散”越大。x在这个区域之外发现粒子的几率是多少？222001(,)1xPxtded5设 具有下列形式222()()xaAe其中 和 为正的实数。,Aa（a） 利用归一化条件确定 。（b） 求出 和 。2, x解：（a）22()1()xadAedA（b）2 22 ()() ()xaxxdAedAaedAaea 2 2222()2 2() ()1xaxxdedaeda 2xx注意：老师的计算也可能有误，那位同学发现，请 Email 告诉我改正。第二周习题周世勋书 2.1-2.42.1.证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，*()()2 ()()() )2
7、iEti i i iEt Et Et EtteimieeeeirrJrrrr， （ ） （ ）可见 无关。tJ与2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikrikr ee1)2( 1)( 从所得结果说明 表示向外传播的球面波， 表示向内(即向原点) 传播的球1 2面波。解： 分 量只 有和 rJ21在球坐标中 sinr1er0rmkr rikrii eerrimiJ ikrikrikik302 022 01*11 )()( ( )(2 )(同向。表示向外传播的球面波。rJ1与rmkr r)1ikr(1)i1(2i e(ereri )(2iJ )( 30 022 0ikrikrikikr*2 可
8、见， 反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。rJ与22.3 一粒子在一维势场axU， ， 0 )(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解： 无关，是定态问题。其定态 S方程tx与)()()()(2xExUdxm在各区域的具体形式为： )()()(2 0 111 xExdx： )()( 22max： )()()(2 333 xExUdxmax 由于(1)、(3)方程中，由于 ，要等式成立，必须)(U0)(1x2即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为 0)(2)(2xmEdx令 ，得2k0)()(22xkdx其解为 BAxcossin)(2根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连
9、续性条件，得 )0(12 )(3a B 0sinkA),32 1( 0sinkaA xanAxsi(2由归一化条件1)(d得 sin02axA由 mnab adxm2iixanxAsi2)(2mEk可见 E 是量子化的。),321( 2nan对应于 的归一化的定态波函数为nEaxxeantxtEin n , ,0 ,si),(2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 A1证： axanAn ,0 ),(si由归一化，得aAaxndxxanAdAdaaan22222)(sico)(s1)(i归一化常数 #1习题 1 计算 。答案：/dpt.dpVtx这是 Ehrenfest 定理之例，这
10、个定理告诉我们期待值遵从经典定律。解: 设哈密顿量为2()pHVxm波函数满足薛定谔方程()it动量的期待值为=*pdx它随时间的变化为=*dpdxttt代入*11, tHHtii得到=*1()1(),1,dpdxpdxtttipHdxpdxipdxHi 动量与哈密顿的对易关系=2,(),()pVxpxVpm设 为任意函数,有()fx()()ffifiifxx所以=,()Vpxi=11,dHptiix习题 2 证明对任何两个满足薛定鄂方程(归一化的)的解 和 有12*120.dt证:* *121221*2212112*1212()()dxdxtttVVxdiiiidxixi 分部积分最后的式子
11、*1221* *12121221*12210iix dxixiixiiix 最后一步利用了当 波函数为零的条件.,x习题 3 证明下列三个定理（a ）对归一化的解，其分离常数 必定是实数。提示：把E(,)(,iEtxte式中的 写成 的形式（ 和 都是实数） ，然后证明如果对任何 E0i01),(2dxt都成立， 必定为零。证: 设00()(,)(),iEtiEttexe22/txdd如果对任何 都成立,必须有t1),(t222/, ()0tdxtexdt （）定态波函数 总可以取作实数的， （不像 一定是复数的） 。这里并不是说() (,)xt任何定态薛定谔方程的解一定都是实数的，它的意思是
12、说，如果你得到解不是实数的，总可以用这些解(具有相同能量 )的线性组合得到实数的解。所以可以说解总可以取作实数。提示：对于一个给定的 ，如果 满足定态薛定谔方程E(x2 .dVEm式，那么它的共轭复数也满足，这样它们的线性组合 和 是实数的解，它()i们也满足定态薛定谔方程。证: 取2 .dVEmx的复共轭 ( *,VE2*.d显然 满足同样的方程, 所以 与 的线性叠加也是薛定谔方程的解. 它们的线性组合*和 是实数的解.()i（）如果 是偶函数（也就是说， ）那么 总可以取作偶函数或奇Vx()Vx()x函数。提示：对于一个给定的 如果 满足定态薛定谔方程，那么 也满足定态E)薛定谔方程，因此它们的奇偶组合 也满足。证: 设 是()22()()().dxVxExm的解, 在上方程中令 ,有2()().() xdx但是由于 ,所以()Vx22()().()VxEm即 满足与 一样的薛定谔方程, 所以它们的线性叠加()()x也是方程的解, 显然()()()xx 所以当 是偶函数时, 波函数总可以取作偶函数或奇函数。()Vx习题 4 对一维无限深势阱的第 个定态计算n22,xpxp和解：设势阱位于 ，定态波函数为0a/(,)(niEtnxte22si, n nxama*20(,)(,)si2nnn xaxtxtdd 32*2*220(,)(,)inannnttxdx其中利用了积分公式
