1、 第 1 页 共 6 页 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系知识网络一、2 00()4axbca有 两 个 不 相 等 的 实 数 根一 元 二 次 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根的 根 的 判 别 式 没 有 实 数 根二、122212 121210()00bxaaxbcacxxxcxA一 元 二 次 方 程以 、 为 根 的 一 元 二 次 方 程 ： （ ）（ ） （ ）一、选择题1. B【05 资阳】若关于 x 的方程 x2+2(k-1)x+k2=0 有实数根，则 k 的取值范围是A. B. C. D. k12k1k1122.A【05 杭州】若 是一元二次方程 的根,则
2、判别式 和t20()axbca4bacA完全平方式 的关系是:()M(A) (B) (C) (D)大小关系不能确定AMA3A【05 嘉兴】已知关于 x 的一元二次方程 有实数根，则实数 a 的取值范20xa围是（ ）A.a1 B. a0，且 k0，解得 k-1，且 k0 .即 k 的取值范围是 k-1，且 k0 .(2) 假设存在实数 k，使得方程的两个实数根 x1 , x2 的倒数和为 0. 则 x1 ，x 2 不为 0，且 ，即 ，且 ，解得 k=-1 .21xk0)(k而 k=-1 与方程有两个不相等实根的条件 k-1，且 k0 矛盾，故使方程的两个实数根的倒数和为 0 的实数 k 不存
3、在 .2 【05 南通】已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 、 ,且x22xn1x2.112()8()5xx（1）求证： ; （2）试用 的代数式表示 ;0nk1x（3）当 时,求 的值.3k【解】证明:关于 的方程 有两个不相等的实数根,x220xn= , .24()40kn34k第 4 页 共 6 页 又 , .20kn 或13x15xk(3)当 时,k=1. 当 时,k 不存在.所求的 k 的值为 1.13 【05 陕西】已知： x1、x 2 是关于 x 的方程 x2（2a1）xa 20 的两个实数根且（x 12） （x 22）11，求 a 的值。【解】x 1、x 2 是方程 x2（
4、2a1）xa 20 的两个实数根，x 1x 212a，x 1x 2a 2（x 12） （x 22）11， x 1x22（x 1x 2）411a 22（12a）70，即 a24a50。解得 a1，或 a5。又（2a1） 24a 214a 0， a 。 a 5 不合题意，舍去。a14.【05 北京】已知：关于 x 的方程 有两个不相等的实数根x20和 ，并且抛物线 与 x 轴的两个交点分别位于点（2，0）x12ya215的两旁。（1）求实数 a 的取值范围；（2）当 时，求 a 的值。x12【解】 （1）解法一：关于 x 的方程 有两个不相等的实数根xa20aa0240()()解得： ，且1设抛物
5、线 与 x 轴的两个交点的坐标分别为 、yxx225， 0，且， 0、 是关于 x 的方程 的两个不相等的实数根ax21021452aa 为任意实数 由根与系数关系得： 15aa，抛物线 与 x 轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁yxx2， 第 5 页 共 6 页 24025140a解得： a3由 、得 a 的取值范围是 32解法二：同解法一，得： ，且0a1抛物线 与 x 轴的两个交点分别位于点（2，0）两旁，且yxx215抛物线的开口向上当 时， 04150a解得： a32由 、得 a 的取值范围是 320（2）解： 和 是关于 x 的方程 的两个不相等的实数根x12axa201a，
6、2不妨设x20x120，即x11228xx121248482a解这个方程，得： a121，经检验， 都是方程 的根a124， 428a，舍去3为所求5.【05 包头】 已知关于 x 的一元二次方程 2x2+4x+m=0。(1 )若 x=1 是方程的一个根，求方程的另一个根；(2) 若 x1、x 2 是方程的两个不同的实数根，且 x1 和 x2 满足：x 12+x22+2x1x2x 12x22=0，求m 的值。【解】 （1）3 （2）m= 4。6.【05 梅山】关于 x 的方程 x2(2k1)x k 20。第 6 页 共 6 页 如果方程有实数根，求 k 的取值范围。 设 x1、x 2 是方程的两根，且 ，求 k 的值。12x【解】 方程有实数根 0 即 (2k1) 24k 204k24k14k 20 4k10 k 14 解：x、x 2 是方程的两根 x 1x 22k1，x 1x2k 2 又 12122xk121k ， 又k 应舍去，k15k15k415527.【05 重庆课改】解方程：x 2x20【解】方程 x 2 x20 的解为：x 1)(43即 x 1 ， x 1 32另解：由 x 2 x20 得 3 x1 2)(3即 x 1 ， x 1 2
