1、1 / 4黄浦区 2012 学年度第一学期高三年级期终考试数学试卷(理科) 2013 年 1 月 17 日考生注意：1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3本试卷共 23 道试题，满分 150 分；考试时间 120 分钟一、填空题(本大题满分 56 分 ) 本大题共有 14 题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得 4 分，否则一律得零分1已知集合 ， ，则 |03Ax2|4BxAB2若 ( 为虚数单位) 为纯虚数，则实数 的值为 (2i)zai a3. 若
2、数列 的通项公式为 ，则 n 1(*)Nn12limnna4已知直线 和 ，则 的充要条件是 = 1:0lxy2:360laxy1l25 的展开式中 的系数是 （用数字作答） 9()x56盒中装有形状、大小完全相同的 7 个球，其中红色球 4 个，黄色球 3 个若从中随机取出 2 个球，则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 7已知 ， ，则 的值1cos2in1tan()3tan()为 8执行右边的程序框图，若 ，则输出的 S = 10p9已知函数 xf3log)(2)(，且函数 ()Fxfa有且仅有两个零点，则实数 a的取值范围是 10已知函数 的最小正周期为 ，若将sin()(03yx该
3、函数的图像向左平移 个单位后，所得图像关于m原点对称，则 的最小值为 11已知抛物线 上一点 到其焦点 的距离为 5，该抛物线的顶点到2(0)ypx(,)MF结束n1,S0nn+1np输出 S否是 SS+ 1n(n+1)输入 p开始（第 8 题图）2 / 4直线 MF 的距离为 d，则 d 的值为 12已知函数 ( 且 )满足 ，若 是 的反函)xfa01(2)3fy1()fx()yfx数，则关于 x 的不等式 的解集是 1()fx13已知 F 是双曲线 ： 的右焦点，O 是双曲线 的中心，直线C2(0,)yabCy是双曲线 的一条渐近线以线段 OF 为边作正三角形 MOF，若点 在双曲线mx
4、 M上，则 的值为 C14已知命题“若 ， ，则集合 ”2()fxm2()gxm1|(),2 xfgx是假命题，则实数 的取值范围是 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否 则一律得零分15在四边形 ABCD 中， ，且 0，则四边形 ABCD 是 （ ABDCB）A菱形 B矩形 C直角梯形 D等腰梯形16若 （ ， 是虚数单位） ，则 的最小值是 （ cosinzRi|2i|z）A B C D 2211217若 ()fx是 上的奇函数，且 在 上单调递增，则下列结论：()fx0,)
5、是|y偶函数； 对任意的 都有 ； 在 上单调递R()|(|ffx()yfx,0增； 在 上单调递增其中正确结论的个数为 （ ()yfx(,0）A1 B2 C3 D418若矩阵 满足下列条件：每行中的四个数所构成的集合均为1234aabb；,343 / 4N PMD CBAFD1 C1B1A1D CBAE四列中至少有两列的上下两数是相同的则这样的不同矩阵的个数为 （ ）A48 B72 C168 D312三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤19 （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2
6、 小题满分 6 分如图所示，在棱长为 2 的正方体 中， , 分别为线段 , 的ABCDF中点（1）求异面直线 与 所成的角；EF（2）求三棱锥 的体积1CB20 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分在ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c，且 A, B, C 成等差数列（ 1）若 且 ，求 的值；3b（2）若 ，求 的取值范围2sinM21 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分如图所示， 是一个矩形花坛，其中 AB= 6 米，AD = 4 米现将矩形花坛A
7、BCD扩建成一个更大的矩形花园 ，要求：B 在 上，D 在 上，对角线ABAMPNAN过 C 点， 且矩形 的面积小于 150 平方米 MN（1）设 长为 米，矩形 的面 积为 平方米，试用解析式将 表示成 的函xSSx数，并写出该函数的定义域；来源:Zxxk.Com（2）当 的长度是多少时，矩形 的面积最小?并求最小面积 来源:学#科#网AAP4 / 422 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 6 分给定椭圆 C： ，称圆心在原点 O、半径是 的圆为椭圆21(0)xyab2abC 的“准圆 ”已知椭圆 C 的一个焦点
8、为 ，其短轴的一个端点到点 的距离(2,)FF为 3（1）求椭圆 C 和其“准圆” 的方程；（2）若点 是椭圆 C 的“准圆 ”与 轴正半轴的交点， 是椭圆 C 上的两相异点，Ax,BD且 轴，求 的取值范围；BDxBD（3）在椭圆 C 的“准圆”上任取一点 ，过点 作直线 ，使得 与椭圆 C 都只P12,l12,l有一个交点，试判断 是否垂直？并说明理由12,l23 （本题满分 18 分）本题 共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 7 分，第 3小题满分 8 分对于函数 与常数 ，若 恒成立，则称 为函数()yfx,ab(2)(fxafb(,)ab的一个“P 数对”
9、；若 恒成立，则称 为函数 的一个“类)(xf ()f(,)xfP 数对” 设函数 的定义域为 ，且 )(fR(1)3f（1）若 是 的一个“P 数对” ，求 ；,x2*)Nn（2）若 是 的一个“P 数对” ，且当 时 ，求(0)(f ,x(fx23k在区间 上的最大值与最小值；()fx,n*)N（3）若 是增函数，且 是 的一个“类 P 数对” ，试比较下列各组中两个()fx(2,)(f式子的大小，并说明理由 与 +2 ； 与 (2)nf(*)()fx2(0,1)x5 / 4FD1 C1B1A1D CBAE黄浦区 2012 学年度第一学期高三年级期终考试数学试卷（理科）参考答案一、填空题（
10、本大题满分 56 分）本大题共有 14 小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得 4 分，否则一律得零分1 ； 22； 3 ； 43； 536； 6 ； 7 ； 8 ； ,)1241909 ； 10 ； 11 ； 12 ； 13 ； 14 (,1(,)a32(7,)二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分15A 16D 17B 18 C三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤 19
11、（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分解：（1）连 ，由 、 分别为线段 、 的中点，1BEFDB可得 ，故 即为异面直线 与 所成的角 2 分EFD1CEFC在正方体 中， 平面 ， A1平面 ， ，1C11在 中， ， ，RtB22 ， 11anC1arctnDBC所以异面直线 EF 与 BC 所成的角为 6 分（2）在正方体 中，由 平面 ， 平面 ，1AB1BC可知 ， ， 是 中点，1FF ，又 与 相交， 平面 ， 9 分CD1C1D又 ， 1 22BFS故 ，11 4333CDBFV所以三棱锥 的体积为 12 分20 （本题
12、满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分解：（1） A、 B、 C 成等差数列，,BAC又 , ， 2 分 3由 得， ， 4 分2cosa6ac6 / 4N PMD CBA又由余弦定理得 22cos,3ba ， 6 分218ac4由、得， 8 分6（2）由（1）得 ， ，即 ，3B23ACBAC故 = 10 分sinCM2isni()sin= ， 12 分1(coi)ico由 且 ，可得 ， ， 03A203C1cosC即 ， 的取值范围为 14 分(,)2M(,)21 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第
13、2 小题满分 6 分解：（1）由NDCNAM，可得 ，DNA ，即 ，3 分46xA64x故 ， 5 分2SNM由 且 ，可得 ， 解得 ，261504xx2510x20x故所求函数的解析式为 ，定义域为 8 分64S(,2)（2）令 ，则由 ，可得 ，xt(5,20)x16t故 10 分226()1684St， 12 分1(89t当且仅当 ，即 时 又 ，故当 时， 取最小值 96t4t96S4(1,6)4tS故当 的长为 时，矩形 的面积最小，最小面积为 平方米 14 分ANAMPN9622 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第
14、 3小题满分 6 分解：（1）由题意知 ，且 ，可得 ，2c23abc1b故椭圆 C 的方程为 ，其“准圆”方程为 4 分13xy24xy（2）由题意，可设 ，则有 ，(,),)BmnD()m23n又 A 点坐标为 ，故 ，2,02,A故22()4(1)3D7 / 4, 8 分22443()3m又 ，故 ， 0,7所以 的取值范围是 10 分ABD,43)（3）设 ，则 (,)Pst2t当 时， ，则 其中之一斜率不存在，另一斜率为 0，显然有 12,l 12l当 时，设过 且与椭圆有一个公共点的直线 的斜率为 ，()st lk则 的方程为 ，代入椭圆 方程可得lytkxC，即 ，223()3
15、xk2 2(1)6()3()0xktsxts由 ， 13 分2 2640tsts可得 ，其中 ， 2()0kt3设 的斜率分别为 ，则 是上述方程的两个根，12,l1,12,k故 ，即 22()3tsks2l综上可知，对于椭圆 上的任意点 ，都有 16 分CP1l23 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 7 分，第 3小题满分 8 分解：（1）由题 意知 恒成立，令 ，(2)fxf2(*)Nkx可得 ， 是公差为 1 的等差数列，1(2)kkf()k故 ，又 ，故 3 分0n03f()3nf（2）当 时， ，令 ，可得 ，,)x()|2|xx
16、()13fk解得 ，即 时， ， 4 分 4k1,4|f故 在 上的取值范围是 ()f,3,又 是 的一个“P 数对” ，故 恒成立， 20()fx(2)()fxf当 时， ，1,kx*N1,kx ， 6 分 ()()4()fff1()kf故 为奇数时， 在 上的取值范围是 ； kx12,k 132,k当 为偶数时， 在 上的取值范围是 8 分()f) k所以当 时， 在 上的最大值为 ，最小值为 3；1n,n4当 为不小于 3 的奇数时， 在 上的最大值为 ，最小值为 ；()fx1,2n12n2n当 为不小于 2 的偶数时， 在 上的最大值为 ，最小值为 10 分1（3）由 是 的一个“类 P 数对” ，可知 恒成立，(,)(f ()(fxf即 恒成立，令 ，可得 ，1fx2kx(*N1)2kk即 对一切 恒成立，来源:Z+xx+k.Com1()2()kkf8 / 4所以 ，1211()2()()4nnnfff11()2nnf故 14 分*N若 ，则必存在 ，使得 ， (0,x 1(,nx由 是增函数，故 ，)f 1()22nfx又 ，故有 18 分12nnx(fx
