1、 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 中小学教育网（）依托人大附中教育资源，打造最专业的中小学辅导网站-共 11 页，当前页是第- 1 -页-三角函数公式推导及证明推导公式：(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中，R 为外接圆半径)由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R所以a=2R*sinAb=2R*sinBc=2R*sinC加起来 a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R对数
2、的性质及推导用表示乘方，用 log(a)(b)表示以 a 为底，b 的对数* 表示乘号，/表示除号定义式：若 an=b(a0 且 a1)则 n=log(a)(b)基本性质：1.a(log(a)(b)=b2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);4.log(a)(Mn)=nlog(a)(M)推导1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的n=log(a)(b)带入 an=b)2.MN=M*N由基本性质 1(换掉 M 和 N)alog(a)(MN)=alog(a)(M)*alog(a)(N)由指数的
3、性质alog(a)(MN)=alog(a)(M)+log(a)(N)又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)3.与 2 类似处理MN=M/N由基本性质 1(换掉 M 和 N)alog(a)(M/N)=alog(a)(M)/alog(a)(N)由指数的性质alog(a)(M/N)=alog(a)(M)-log(a)(N)又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)4.与 2 类似处理Mn=Mn24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 中小学教育网（）依托人大附中教育资源
4、，打造最专业的中小学辅导网站-共 11 页，当前页是第- 2 -页-由基本性质 1(换掉 M)alog(a)(Mn)=alog(a)(M)n由指数的性质alog(a)(Mn)=alog(a)(M)*n又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(Mn)=nlog(a)(M)其他性质：性质一：换底公式log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)推导如下N=alog(a)(N)a=blog(b)(a)综合两式可得N=blog(b)(a)log(a)(N)=blog(a)(N)*log(b)(a)又因为 N=blog(b)(N)所以blog(b)(N)=blog(a)(N)*log(b)
5、(a)所以log(b)(N)=log(a)(N)*log(b)(a)这步不明白或有疑问看上面的所以 log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)性质二：（不知道什么名字）log(an)(bm)=m/n*log(a)(b)推导如下由换底公式lnx 是 log(e)(x),e 称作自然对数的底log(an)(bm)=ln(an)/ln(bn)由基本性质 4 可得log(an)(bm)=n*ln(a)/m*ln(b)=(m/n)*ln(a)/ln(b)再由换底公式log(an)(bm)=m/n*log(a)(b)-（性质及推导完）公式三:log(a)(b)=1/log(b)(a)证明如
6、下:由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)-取以 b 为底的对数,log(b)(b)=1=1/log(b)(a)还可变形得:log(a)(b)*log(b)(a)=1 两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 中小学教育网（）依托人大附中教育资源，打造最专业的中小学辅导网站-共 11 页，当前页是第- 3 -页-cos(A-B) = cosAcosB+
7、sinAsinB tan(A+B) = tanAB-1tan(A-B) = cot(A+B) = cot-cot(A-B) = AB1t倍角公式tan2A = tan12Sin2A=2SinACosACos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tanatan( +a)tan( -a)半角公式sin( )=2Acos1cos( )= tan( )=2Acos1cot( )= tan( )= =2Asinco1Asi和差化积 sina+sinb=2sin
8、cosba2sina-sinb=2cos sincosa+cosb = 2cos cos24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 中小学教育网（）依托人大附中教育资源，打造最专业的中小学辅导网站-共 11 页，当前页是第- 4 -页-cosa-cosb = -2sin sin2batana+tanb= cos)in(积化和差 sinasinb = - cos(a+b)-cos(a-b)21cosacosb = cos(a+b)+cos(a-b)sinacosb = sin(a+b)+sin(a-b)cosasinb = sin(a+b)-sin(a-b)21诱导公
9、式 sin(-a) = -sinacos(-a) = cosasin( -a) = cosa2cos( -a) = sinasin( +a) = cosacos( +a) = -sina2sin(-a) = sinacos(-a) = -cosasin(+a) = -sinacos(+a) = -cosatgA=tanA = acosin万能公式sina= 2)(tan1cosa= 2)(ta24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 中小学教育网（）依托人大附中教育资源，打造最专业的中小学辅导网站-共 11 页，当前页是第- 5 -页-tana= 2)(tan1其
10、它公式asina+bcosa= sin(a+c) 其中 tanc= )b(2abasin(a)-bcos(a) = cos(a-c) 其中 tan(c)= a1+sin(a) =(sin +cos )21-sin(a) = (sin -cos )2其他非重点三角函数csc(a) = asin1sec(a) = co双曲函数sinh(a)= 2e-acosh(a)=-atg h(a)= )cosh(ina公式一： 设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（ 2k ）= sin cos（2k）= cos tan（2k）= tan cot（2k ）= cot 公式二： 设 为任意角
11、，+ 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系： sin（ ）= -sin cos（ ） = -cos tan（）= tan cot（）= cot 公式三： 任意角 与 - 的三角函数值之间的关系： 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 中小学教育网（）依托人大附中教育资源，打造最专业的中小学辅导网站-共 11 页，当前页是第- 6 -页-sin（ -）= -sin cos（- ）= cos tan（-）= -tan cot（-）= -cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到 - 与 的三角函数值之间的关系： sin（ -）= sin cos（-）= -co
12、s tan（-）= -tan cot（- ）= -cot 公式五： 利用公式-和公式三可以得到 2- 与 的三角函数值之间的关系： sin（ 2-）= -sin cos（2-）= cos tan（2-）= -tan cot（2- ）= -cot 公式六： 及 与 的三角函数值之间的关系： 23sin（ +）= cos cos（ +）= -sin tan（ +） = -cot 2cot（ +）= -tan sin（ -）= cos cos（ -）= sin 2tan（ -）= cot cot（ -）= tan sin（ +）= -cos 23cos（ +）= sin tan（ +） = -cot
13、 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 中小学教育网（）依托人大附中教育资源，打造最专业的中小学辅导网站-共 11 页，当前页是第- 7 -页-cot（ +）= -tan 23sin（ -）= -cos cos（ -）= -sin tan（ -）= cot 23cot（ -）= tan (以上 kZ) 这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Asin(t+)+ Bsin(t+) = sin)cos(22AB)cos(2Biniarsn(At2三角函数公式证明（全部）公式表达式 乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+
14、b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|a|+|b| |a-b|a|+|b| |a|b-bab |a-b|a|-|b| -|a|a|a| 一元二次方程的解 -b+(b2-4ac)/2a -b-b+(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根 b2-4ac0 注：方程有一个实根 b2-4ac0 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 中小学教育网（）依托人大附中教育资源，打造最专业的中小学辅导网站-共 11 页，当前
15、页是第- 9 -页-抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h 正棱台侧面积 S=1/2(c+c)h 圆台侧面积 S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数 r 0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=SL 注：其中,S 是直截面面积， L
16、 是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h-三角函数 积化和差 和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦： cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 这两式相加或相减，可以得到 2 组积化和差: 相加：cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)/2 相减：sinAsinB=-cos(A+B)-cos(A-B)/2 sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 这两式相加或相减，可以得到 2 组积化和差: 相加：sinAcosB=si
17、n(A+B)+sin(A-B)/2 相减：sinBcosA=sin(A+B)-sin(A-B)/2 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 中小学教育网（）依托人大附中教育资源，打造最专业的中小学辅导网站-共 11 页，当前页是第- 10 -页-这样一共 4 组积化和差，然后倒过来就是和差化积了 不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正 正在前 正减正 余在前 余加余 都是余 余减余 没有余还负 正余正加 余正正减 余余余加 正正余减还负.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆) (1)anA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) (3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1 (4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC (5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1.已知 sin=m sin(+2), |m|1,求证 tan(+)=(1+m)/(1-m)tan解:sin=m sin(+2) sin(a+-)=msin(a+) sin(a+)cos-cos(a+)sin=msin(a+)cos+mcos(a+)sin
