1、三角函数的性质讲义一、 【知识要点】1、 图象和性质图表解函数 正弦函数 余弦函数 正切函数图象定义域 R R Zkx,2值域 1，最大值为 1，最小值为-11，最大值为 1，最小值为-1R无最大值，最小值周期性最小正周期为 2最小正周期为 2最小正周期为 奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性在上2,2k都是增函数；在 3,上都是减函数（k Z）在（ ）12k,)上都是增函数；在 都是)(,减函数 Zk在 （)2,(k上都是增函数)Zk对称性既是轴对称又是中心对称图形对称轴 2kx对称中心坐标 ，)0,(以上的 Z既是轴对称又是中心对称图形对称轴 kx对称中心坐标为，以上的)0,2(Zk是中心对
2、称图形对称中心坐标 ,)02(k(k Z)二、 【知识应用】（一） 、求定义域例 1求函数 的定义域。 1sin2co)cos2lg(xxy解:(1) 解不等式组 21sinco01sin2coxx或 函数定义域是 . Zkxkx ,43262| 或（二） 利用三角函数的性质比较大小例 1、(2008 天津文)设 、 、 ，则（ ）75sina7cosb7tanA abcB C D bc解：由 ，因为 ，所以 ，75sin27472tan1si72co0故选 D点评：掌握正弦函数与余弦函数在0， ， ， 的大小的比较，画出它们的图象，从图象上4能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域：0,1 ，
3、也要掌握。（三） 复合型三角函数图像的识别例 2、(2008 山东文、理)函数 其中 的图象是（ ）xycosln2xyx2Oyx2Oyx2Oyx2OA B C D解： （ ）是偶函数，可排除 B、D，由 的值域可以确定.因此本题xycoslnx xycos应选 A.（四） 、求值域、最值1、利用三角函数的有界性求值域1、形如 y=asinx+bcosx+c 型引入辅助角公式化为 sin(x+)+c 再求值域.2ba例 1、求函数 f(x)=2sinx+cos(x+ )的值域3解：f(x)=2sinx+ cosx sinx=（2 ）sinx+ cosx213321= ，故 f(x) )sin(
4、)3(53，2、形如 y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x 型通过降幂转化为 Asinx+Bcosx 再求值域.例 2、f(x)=2 asinxcosx-2asin2x+1（a0 ）的值域解：f(x)= asin2x+acos2x-a+1=2asin(2x+ )-a+136a0，sin(2x+ )-a+1 f(x)-3a，a+162、用换元法化为二次函数求值域1、形如 y=sin2x+bsinx+c 型令 sinx=t 转化为二次函数再求值域.例 3、k1，故当 t=1 时，4k4kymin=1，当 t= 1 时，y max=12k，即 y1,1-2k2、形如 y=asinxco
5、sx+b（sinxcosx）+c，换元令 sinxcosx=t转化为二次函数在 上的值域问题2,例 4、求函数 y=sinxcosx+sinx+cosx 的值域解：令 sinx+cosx=t，t ，则 sinxcosx= ，y= +t= (t+1)2-1,21t2t1当 t=1 时，y min=1，当 t= 时，y max= + ，即 y-1， + 23、考察结构特征，用分离常数法求值域形如 y= 型，可用分离常数法转化为 y=a+ 再求值域.dxcbaos xb例 5、求函数 y= 的值域.12解：y= -1 cosx1 且 cosx ，cos2csxx 21 - 或 2，故 yo3 ),3
6、1,(4、反函数思想求值域形如 y= 可用反函数思想转化为 f(y)sin(x+)=g(y)求值域.dxcbasin例 6、求 y= 的值域.32解：由 y= 得 2ysinx-3y=3cosx-2siox2ysinx-3cosx=3y-2， sin(x+)=3y-2sin (x+)= ，942y 9423y由|sin(x+ )| 1 得| |1,即 y32y 561,65、化为一元二次方程用判别式求值域形如 y= 也可用判别式求值域dxcbasino例 7、求函数 y= 的值域s2i解： = = ，设 t=tanxcosi2sin3co2xta32x2x则 y= yt2-2t+3y=0，当
7、y=0 时，t=0 适合，当 y0 时，由=4-12y 20t，故 y .3y3,6、根据代数函数的单调性求值域形如 y=asint+ ，令 sint=x，根据函数 y=ax+ 的单调性求值域.tbsinxb例 8、(0,)，则函数 y=sin+ 的值域为_.sin2分析：设 x=sin，则 x ，即 y=x+ , x ,由图象得，当 x=1 时，y min=3，故 y1,0(10( 3,0(例 2求函数 的值域.2siny法一: ， 又 1sinx1， -3 sinx 21, 2sin52sin1xxy 函数的值域为 .3,3y 31,法二:由 解得 ， 1sinx 1, 解得 ，sixys
8、i 12y31y 函数的值域为 。1,2， (全国高考试题)当 时，函数 的 ( ) 2x xxfcos3sin)(A、最大值是 l，最小值是1 B、最大值是 l，最小值是2C、最大值是 2，最小值是 2 D、最大值是 2，最小值是1 解： 。 ， 1f(x)3sin(2co3sin)( xxf 65362xx2，应选 D。 3，(上海高考试题)函数 f(x) 3sinxcosx4cos 2x 的最大值为_。 解： 2)sin(49cossi)c1(si2) xxf. 评注：本题注重考查形如 f(x) asinx+bcosx 的最值： . （五）求三角函数的周期例 3，已知函数 ， （1）求该
9、函数的最小正周期；xxy22cos3sini（2）求函数的最小值及相应的 x 的集合。变式训练1， (上海高考试题)函数 y2sinxcosx2sin 2x+l 的最小正周期是_。 解： .,)4sin(2co2sinTxxy2，下列函数是否是周期函数？并求其最小正周期 .sin)5(;cos)(;sin)3( 42cs)3i(;i,144 xyxyxy x （六） 、考查函数的单调性 例 4 (上海高考试题)函数 的单调减区间是_。 )0,()62sin(解：令 。 则 y2sinu 的单调减区间为 ，即62xu )(232Zkuk，又因为 ，令)(,33)(23 ZxkZkk 0,xk1，
10、得所求单调减区间是 。 ,65变式训练1，求函数 的单调递减区间。)23sin(xy（七）三角函数的奇偶性例 5，判断函数的奇偶性。xxfxxf sin1colg)(2);cos()2cos()(1 （八） 、函数的对称性 例 6(全国高考试题)关于函数 ，有下列命题： Rxxf ,)32sin(4)(1)y f(x)的表达式可改写为 ； 6coy(2)y f(x)是以 为最小正周期的周期函数； 2(3)y f(x)的图象关于点 对称； )0,6(4)y f(x)的图象关于直线 对称 x其中正确的命题的序号是_ (注：把你认为正确的命题的序号都填上) 解： 由上式知(1)正确 ，知(2)错)6
11、2cos(4)32cos(4)32sin(4 xxxf T误 ， xf )in()6(i)6( f(x) 的图象关于直线 对称，但 f(x)图象不关于点 对称，故(3)错误，(4) 正确，所以)0,6(填(1)、(4) 例 7 (全国高考试题)如果函数 y sin2x+acos2x 的图象关于直线 对称，那么 a( ) 。 8xA. B. C.1 D.-1 解：函数 ysin2x+acos2x 的图象关于直线 对称，表明当 时，函数取得最大值，或取得最小值 ，所以 ， 即12a12a 1)4cos()sin(2aa， 故应选 D )(2（九） 、考查函数的图象变换 例 8 (全国高考试题)已知
12、函数 。 (1)当 y 取得最大值时，求自变量 x 取值的集合； (2)该函数的图象可由 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 解：(1) y 取最大值当且仅当 ，kZ, 即 kZ, 所以，当函数 y 取得最大值时，自变量 x 的集合为 . Zx,23|(2)变换的步骤：把函数 ysinx 的图象向左平移 ，得到函数 的图象，令所得到的图象6)6sin(xy上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 的图象，经过这样的变换就2得到函数 的图象 （十） 、考查函数的解析式 例 10 (全国高考试题)如图 1，某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数。 (1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式 解：(1)由图 1，这段时间的最大温差是 30-1020() (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 的半个周期的图象， ，解得 。 由图示， ， 。 这时 。 将 x6，y10 代入上式，可得 。 故所求的解析式为： (x6,14)
