1、 http:/ 交大家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！三角形的周长和面积平分线例（1996年全国初中数学联赛试题）如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的( )(A)内心 (B)外心 (C)重心 (D) 垂心分析：当该直线过三角形的顶点时，三角形是等腰三角形，这条直线（下文笔者称具有这样特征的直线为三角形的周积平分线）是底边的中垂线，显然它过内心、外心、重心和垂心。当该直线不过三角形的顶点时，结论: 三角形的周积平分线，一定经过此三角形的内心证明： 如图1，设 GH 为ABC 的一条周积平分线， P 为ABC 的内心，令ABC 的内切
2、圆半径为 r不失一般性，设ABC 的三边长为 ， ， ， 三边两两互不相等，记 ，令G、H 两点分别在边 AB、AC 上 AG+AH=连接 PA、PB、PC、PG、PH，则= = = =http:/ 交大家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！又 = + = + = =G，P，H 三点共线，即 GH 经过点 P可见，任意一个三角形，它至少存在一条周积平分线，最多有三条周积平分线(如等边三角形)这些周积平分线必过此三角形的内心而且，可以证明过内心的一条直线只要平分了周长也就必然平分面积；同样可以证明过内心的一条直线平分面积也必然平分周长，它们互为充要条件。下文笔者将侧重于展
3、示过三角形的内心平分三角形的面积和过三角形的内心平分三角形的周长的周积平分线的尺规作图法。若三角形是等腰三角形，那么它的一条周积平分线过它的顶角顶点和底边中点。所以，下面笔者把研究的重心放在三边互不相等的三角形上：1、过内心 P 作一直线，使该直线将ABC 的面积平分为两等份（如图2）作法： 取 AC 的中点 D，作ABEAPD(两个三角形所处的位置犹如绕点 A 发生了位似旋转变换)，A、P、E 三点在一条直线上； 再作 PE 的垂直平分线并且在该垂直平分线上取一点 O，使POE=BAC； 以 O 为圆心， OP 为半径作圆，该圆与 AB 相交于点 G（取与 A 点较远的交点） ，则由 P、G
4、 两点所确定的直线平分ABC 的面积。注意：作APD 时，要让 APAD；以 O 为圆心，OP 为半径作圆，该圆在边 AB 上要有交点(与 A点较远的交点 G 必须在线段 AB 上)，如果不能满足这两点，就换另外两个顶点或中点试试.http:/ 交大家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！证明：由 ABEAPD 可得：ADAB = APAE （1） ，PAB=PAD，设直线 GP 与 AC 的交点为 H，因 P、E、G 三点共圆，所以 PE 对的圆周角PGE= POE= BAC=PAC=PAB，所以APH=AGP+PAB=AGP+PGE=AGE，很容易证明AGEAPH，由
5、此可得 AGAH = APAE，结合（1）式可知道 ADAB = AGAH，从而有 ADABsinBAC = AGAHsinBAC，由于点 D 是 AC 的中点，所以有： ADABsinBAC = 即 AGAHsinBAC = ，故直线 GH 平分 ABC 的面积。也可由 ADAB = AGAH 变形成比例式：AD:AH = AG:AB，所以连结 GD、BH(图略)，则 GDBH，再连结 BD 得中线(图略)，利用两平行线之间同底等高的三角形面积相等的原理，易证：，这样就可以回避用正弦定理扩展出的三角形面积公式来理解：直线 GH 平分ABC 的面积了。那么，GH 平分ABC 的周长吗？因为 P
6、 为ABC 的内心，所以令ABC 的内切圆半径为 r（即 P 点到ABC 的三边的距离） ，可得：= + ， = + + ，又因 ，所以有：http:/ 交大家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！AG+AH= (AB+BC+AC） ，故直线 GH 也平分ABC 的周长。2.过内心 P 作一直线，使该直线将ABC 的周长平分为两等份（如图3） 分别在边 AB、AC 或其延长线上截取 AD、AF，使 AD=AF= （可以把AB，AC 的长度转化到直线 BC 上，再取 AB、BC、AC 三条线段之和的四等分） ； 分别过点 D 作直线 AB 的垂线与BAC 的平分线 AP 相
7、交于点 E，连结 EF，易证EFAC，ED=EF； 过点 P、E 作圆（作圆方法略，见图2）与 AB 相交于点 G（取与 A 点较远的交点） ，使 PE 对的圆周角PGE=PAC=PAB； 由 P、G 两点所确定的直线与 AC 的交点为 H，GH 平分ABC 的周长。证明：连结 EG、EH，因为PGE=PAC，所以点 A、G、E、H 四点共圆(可假设点 A 在 G、E、H 三点共圆的圆内或圆外两种情况,得证)，于是DGE=FHE(因为同一条弦 AE 所对异侧的两个圆周角互补)。又因为EDG=EFH= ，ED=EF，所以 ，这样就得到 DG=FH，这样AG+AH=AD+AF= ，因此直线 GH
8、平分 ABC 的周长。那么，GH 平分ABC 的面积吗？http:/ 交大家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！因为 P 为ABC 的内心，所以令ABC 的内切圆半径为 r（即 P 点到ABC 的三边的距离） ，可得：= + ， = + + ，又因 AG+AH= ，所以有： ，故直线 GH 也平分ABC 的面积。综上所述，三角形的周积平分线必过它的内心；过三角形内心的一条直线平分周长也必然平分面积；过三角形内心的一条直线平分面积也必然平分周长。另外，本文所阐述的过三角形内心平分周长的方法，可以推广到：过三角形内任意一点作平分周长的直线（提示：如图4，P 是 ABC 内任意一点，AE 是BAC 的平分线，PGE=EAC） ，这个问题留给读者验证。
