1、1专题辅导与能力提升 板块一 力学专题五 圆周运动问题专题五 圆周运动问题高考趋势展望圆周运动问题涉及物体的匀速圆周运动、竖直面内的圆周运动、天体的圆周运动、带电粒子在磁场或复合场中的圆周运动，这些都是高考的热点问题.从近年来高考对圆周运动问题的考查看，常常结合万有引力定律考查天体的圆周运动，结合有关电学内容考查带电粒子在磁场或复合场中的圆周运动.知识要点整合1.对于做匀速圆周运动的物体，只存在改变速度方向的向心加速度，其所受到的所有外力的合力即为产生向心加速度的向心力.对于做变速圆周运动的物体，不仅存在改变速度方向的向心加速度，还存在改变速度大小的切向加速度，其中产生向心加速度的向心力应为物
2、体所受各力沿半径方向分力的矢量和.2.在重力场中沿竖直轨道做圆周运动的物体，在最高点最易脱离圆轨道.对于沿轨道内侧和以细绳相连而做圆周运动的物体，轨道压力或细绳张力恰为零即只有重力充当向心力时的速度，为完成圆周运动在最高点的临界速度.其大小满足方程： mg=m ,所以 v 临 = .对于沿轨道外侧或以硬杆支持的物体，在最高点的最小速度可以为零.R2临 g3.研究天体运动（包括研究人造地球卫星的运动）的基本方法，是把天体的运动看做匀速圆周运动，天体间的万有引力提供所需要的向心力.即： G =mr 2.另外，一般不考虑天体自转因素的影响，而认为物体在某天体表面rmM2的重力，大小等于天体对物体的万
3、有引力，即： mg=G .2R4.根据不同的需要，可以发射各种不同轨道的卫星（如极地卫星、太阳同步卫星、地球同步卫星等） ，对于任何轨道的人造地球卫星，地球总位于其轨道中心.对于地球同步卫星，其轨道平面只能和赤道平面重合，且只能发射到特定的高度，以特定的速率运行.精典题例解读例 1如图 1-5-1，细杆的一端与一小球相连，可绕过 O 点的水平轴自由转动.现给小球一初速度，使它做圆周运动.图中 a、 b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是图 1-5-1A.a 处为拉力， b 处为拉力 B.a 处为拉力， b 处为推力C.a 处为推力， b 处为拉力 D.a 处为推力， b
4、处为推力【解析】 因改变小球速度方向的向心力总是指向圆心的，故在最低点 a 处，无论小球速度大小如何，杆提供的只能是拉力，且拉力应大于重力，才能合成指向圆心的向心力.而在最高点 b 处，重力的方向是指向圆心的，可充当向心力.当小球需要的向心力刚好等于重力时（即在 b 处球速 vb= 时 R 为圆轨道半径） ，杆处于自由状态，既不产生g2拉力，也不产生推力.当小球需要的向心力小于重力时（即当 vb 时） ，球对杆产生挤压作用，杆产生沿半径向外Rg的推力.而当球需要的向心力大于重力时（即当 vb ） ，球有离心运动趋势而拉伸杆使杆产生对球的拉力.总之，杆在 a 处提供的只能是拉力，而在 b 处，则
5、可能提供拉力、推力或不提供任何作用力.因此，正确答案为 A、B.小结：在解答竖直面内的圆周运动问题时，对球在最高点的临界情况，要注意两类模型的区别：绳和杆，绳只能提供拉力，而杆既能提供拉力又能提供支持力. 例 2采用不同的方法可以估计银河系的质量.按某种估计认为：在距银河系中心 R=3109R0(R0是地球的公转半径)范围内聚集的质量 M1=1.51011M0（ M0是太阳的质量）.同时离银河系中心距离 R 处有一颗星球绕银河系中心运转的周期 T=3.75108年.若计算时可认为银河系的质量聚集在其中心，则银河系“暗含着的质量” ，即半径为 R 的球体内未被发现的天体质量约为 M0的多少倍？【
6、解析】 根据天体的圆周运动求质量，其依据就是万有引力提供向心力，即 G rTmrM224所以，根据该式只能求出圆心处天体的质量： M= 234GTr星球绕银河系做圆周运动的向心力由银河系对其的万有引力提供，即： =m 星 R（ ） 22星银 T地球环绕太阳做圆周运动的向心力由太阳对地球的万有引力提供，若设地球公转周期为 T0，则有：所以 M 银 = =1.921011M0.2020)(TRmGM地地 032892032)175.(RRT因而银河系“暗含的质量”为： M=M 银 -M1=1.921011M0-1.51011M0=4.21010M0. 小结：求解天体的圆周运动问题的依据就是万有引力
7、提供向心力，其基本方程有G marTvr2224 例 3 如 图 1-5-2 所 示 ， 细 线 一 端 系 住 一 质 量 为 m 的 小 球 ， 以 另 一 端 O 为 圆 心 ， 使 小 球 在 竖 直 面 内 做 半 径 为 R 的 圆周 运 动 .若 球 带 正 电 q,空 间 有 竖 直 向 上 的 匀 强 电 场 E， 为 使 小 球 能 做 完 整 的 圆 周 运 动 ， 在 最 低 点 A 小 球 至 少 应 有 多 大 的 速度 ？ 图 1-5-23【解析】 求解本题的关键是找出带电粒子在复合场中做圆周运动的“等效最高点” ，以便求出小球在“等效最高点”的临界速度，进一步求
8、出小球在最低点 A 的速度.由于 m、 q、 E 的具体数值不详，故应分别讨论如下：（1） 若 qE mg，则等效重力场的方向仍向下，等效重力加速度 g= .因此在最高点的临界速度mqEvB= .RgR)(由动能定理，得： mg2 R= mvA2- mvB21整理，得： vA= .mqEg/)(5（2）若 qE mg,则等效重力场的方向向上，等效重力加速度 g= .在该等效重力场中小球轨迹“最高点”Emq（实际为问题中的最低点即 A 点）的临界速度为 vA= = .RR/)(应用强化训练1.一小球用轻绳悬挂在某固定点，现将轻绳水平拉直，然后由静止释放小球，则小球由静止开始运动至最低位置的过程中
9、小球在水平方向的速度逐渐增大 小球在竖直方向的速度逐渐增大到达最低点时小球线速度最大 到达最低点时绳中的拉力等于小球重力正确的是A. B. C. D.【解析】 小球由释放摆至最低点的过程中，轻绳拉力始终有水平分力存在，因此小球水平方向始终存在加速度，所以其水平方向速度越来越大，即对.而竖直方向轻绳拉力的分量越来越大，由小于重力变为大于重力，其竖直方向加速度先减小至零，再反向增大，所以竖直方向的速度先增大后减小，故知、错.另由小球下摆过程中机械能守恒，摆至最低点时，重力势能最小，动能最大，所以最低点线速度最大，即对.正确选项为 A.【答案】 A2.由上海飞往洛杉矶的飞机在飞越太平洋上空的过程中，
10、如果保持飞行速度的大小和距离海面的高度不变，则以下说法正确的是A.飞机做的是匀速直线运动B.飞机上的乘客对座椅压力略大于地球对乘客的引力C.飞机上的乘客对座椅压力略小于地球对乘客的引力D.飞机上的乘客对座椅的压力为零【解析】 因地球为球形，飞机飞行中实际在绕地心做圆周运动，其加速度向心加速度总是向下指向地心，乘客随飞机运动亦有指向地心向下的加速度，处于失重状态，故对座椅的压力小于其重力，即答案 C 对.【答案】 C3.（2003 年北京春季，20）在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面的说法中正确的是A.它们的质量可能不同 B.它们的速度可能不同C.它们的向心加速度可能不同
11、D.它们离地心的距离可能不同【解析】 同步卫星离地球高度、运行速度、向心加速度均是确定的值.所以 B、C、D 皆错，A 对.【答案】 A4.如图 1-5-3 所示，两半径不同而内壁光滑的半圆轨道固定于地面，一个小球分别从与球心在同一水平高度的A、 B 两点从静止开始自由下滑，通过轨道最低点时4图 1-5-3小球对两轨道的压力相同 小球对两轨道的压力不同小球的向心加速度不相等 小球的向心加速度相等正确的是A. B. C. D.【解析】 设轨道半径为 R，则由机械能守恒可得小球到达最低点时速度 v= ，由牛顿第二定律，得： F-mg=mgR2,所以 F=mg+m =3mg.可见，小球对轨道的压力与
12、轨道的半径无关，同样最低点处小球的向心加速度也与轨道半径Rv2v2无关，恒为 2g.【答案】 A5.如图 1-5-4 所示，用绝缘细线拴一带负电小球，在竖直面内做圆周运动，则图 1-5-4A.当小球运动到最高点 a 时，线的张力一定最小 B.当小球运动到最低点 b 时，小球的速度一定最大C.当小球运动到最高点 a 时，电势能一定最小 D.小球在运动过程中机械能守恒【解析】 小球所受电场力方向竖直向上，与重力方向相反，但由于电场力和重力的大小关系不确定，所以小球所受“等效重力”的方向不确定，因而小球在哪点速度最大，线的弹力最大，是不确定的.另由电场力做功和电势能变化的关系可知，小球在最高点时电势
13、能一定最小. 【答案】 C6.赤道地区地面附近的重力加速度 g=9.780 m/s2，地球赤道半径 R=6378 km，地球自转周期 T=24 h.试根据以上数据计算通讯卫星离地的高度和运行速度.【解析】 地球对通讯卫星的万有引力是通讯卫星做圆周运动的向心力.设通讯卫星质量为 m，离地高度为 h，地球质量为 M，则由牛顿第二定律，得： 224)()(ThRmG又物体在地球表面的重力近似等于地球对物体的万有引力，即： mg= 2联立以上两方程解得：5h= RgT324= m-6378103 m32314.780.9)60()678(=3.58107 m所以 v= ThR)(2= m/s43601
14、0)58.1.7=3.07103 m/s.【答案】 3.5810 7 m；3.0710 3 m/s7.如图 1-5-5 所示， A、 B 分别为竖直固定光滑轨道的最低点和最高点.已知质量为 m 的小球通过 A 点的速率为 2 5m/s，试求它通过 B 点速率的最小值.图 1-5-5【解析】 由机械能守恒定律知，轨道半径越大，小球通过 B 点速率越小，但小球能通过最高点的速率应受圆周运动规律的制约，当小球通过最高点重力恰好充当向心力时，其对应的速度即为所求.设轨道半径为 R 时小球恰通过 B 点的速率为 v，则由机械能守恒定律，得：mv2+2mgR= mv021又因： mg=m v解得： v=2
15、 m/s【答案】 2 m/s8.如图 1-5-6 所示，长为 1 m 的轻杆可绕距右端 0.6 m 的 O 轴在竖直平面内无摩擦地转动.质量均为 m=20 g 的A、 B 两球分别固定在杆的两端.现将杆由水平位置释放问轻杆转到竖直位置时两球速度各多大？杆对轴的作用力如何？图 1-5-6【解析】 两球系统在转动过程中机械能守恒，即：6mg -mg = mvB2+ mvA2OB1又 AvB代入数据解得： vA=1.1 m/s,vB=1.66 m/s分别对 A、 B 两球应用牛顿第二定律，得：FB-mg=mO2FA+mg=m vA2解得： FB=0.29 N,FA=-0.14 N， “-”号说明杆对
16、 A 的作用力为支持力.所以杆对轴的作用力大小为：FN=FA+ FB=| FA|+FB=0.43 N,方向向下.【答案】 vA=1.1 m/s,vB=1.66 m/s；杆对轴的作用力大小为 0.43 N，方向竖直向下9.如图 1-5-7 所示，在竖直平面内，一光滑圆环固定于一水平向右的匀强电场中，在最低点有一个初速度为 v0、质量为 m、带电量为+ q 的小球，已知 qE=mg.试求：图 1-5-7（1）为使小球能完成圆周运动而不脱离圆环，圆环的半径 R 最大为多大？（2）小球在运动过程中的最大速率.【解析】 （1）等效重力的大小： mg= ,等效重力的方向为右偏下 45，最易脱离轨道mgqE
17、g2)(2处在圆环上偏左 45处.设恰不脱离轨道时轨道半径为 R，则有：mg= m Rv2由动能定理，得：-mg R(1+cos45)= mv2- mv021解得： R= gv)3(20（2）小球在环的右偏下 45处时速率最大.由动能定理，得：mg R(1-cos45)= mvm2- mv0217所以， vm= )45cos1(20Rg= v0751【答案】 （1） v02/(3 +2)g（2） v07510.1997 年 8 月 26 日在日本举行的国际学术大会上，德国 Max Planck 学会的一个研究组宣布了他们的研究结果：银河系的中心可能存在一个大“黑洞”.所谓“黑洞” ，它是某些天
18、体的最后演变结果. （1）根据长期观测发现，距离某“黑洞”6.010 12 m 的另一个星体（设其质量为 m）以 2106 m/s 的速度绕“黑洞”旋转，求该“黑洞”的质量 M；（结果要求两位有效数字）（2）根据天体物理学知识，物体从某天体上的逃逸速度公式为 v= ,其中引力常量 G=6.6710-11 Nkg-RGM22,M 为天体质量， R 为天体半径，且已知逃逸速度大于真空中光速的天体叫“黑洞”.请估算（1）中“黑洞”的可能最大半径.（结果只要求一位有效数字）【解析】 （1）设“黑洞”质量为 M，天体质量为 m，它们之间的距离为 r，根据万有引力等于向心力，有,rvmG22M= kg12
19、2607.)(=3.61035 kg.（2）设“黑洞”的可能半径为 R，质量为 M，依题意，须满足 c,即有 R ,GM22cG所以“黑洞”的可能最大半径Rmax= m28351)03(6.7.6=5108 m.【答案】 (1)3.610 35 kg (2)5108 m教学参考链接因竖直面上物体的圆周运动一般为变速的圆周运动，在中学阶段只能讨论物体在圆周上特殊点最“高”点或最“低”点的运动情况，因此，讨论物体在轨道的最“高”点或最“低”点的运动情况、受力情况及其间关系，是本专题内容的重点；而对物体完成圆周运动临界状态的分析（特别是在复合场中）是本专题的特点.对带电摆球在复合场中的圆周运动的问题
20、，可通过引入“等效重力场”的方法予以解决.另外应使学生明白，处理圆周运动问题的基本方程仍是牛顿第二定律方程.实际上，对圆周运动问题的处理，就是牛顿运动定律应用的继续，处理问题的基本方法与处理直线运动的动力学问题大致相同.人造地球卫星问题，既涉及自然界中一个重要的力学定律万有引力定律，又涉及一些现代高科技的知识.正是高考命题的热点之一，特别是同步卫星问题，几乎各种形式的高考，每年都有考题出现，因此应当把该专题作为重点对8待.题目不一定要做太多，关键是掌握处理问题的方法.9能力提升检测 运动和力（A 卷）一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符
21、合要求，选对得 5 分，选错或不答得 0 分）1.如图 1 所示，一质点做曲线运动从 M 点到 N 点，当它通过 P 点时，其速率 v 和加速度 a 的方向关系可能正确的是图 1【解析】 物体做曲线运动时，由于速度方向变化，所以，它所受的合外力及其加速度均指向轨迹的内侧.【答案】 C2.如图 2 所示，在细绳的下端挂一物体，用力 F 拉物体，使细绳偏离竖直方向 角，且保持 角不变，当拉力 F与水平方向夹角 为多大时，拉力 F 的值最小图 2A. =0 B. = C. = D. =2 2【解析】 选节点 O 研究其受向下的力 F1（大小恒等于悬挂物的重力） 、倾斜绳的拉力 F2和 F 作用.由平
22、衡条件知，F2和 F 的合力大小等于竖直悬绳的拉力 F1，但方向相反，由力合 成 的 平 行 四 边 形 定 则 或 三 角 形 定 则 可 知 ， 当 F 和 F2垂 直 ，即 = 时 ， F 有 最 小 值 如 图 所 示 .【答案】 C3.如图 3 所示，套在竖直细杆上的环 A 由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物 B 相连，由于 B 的质量较大，故在释放 B 后， A 将沿杆上升.当 A 上升至环与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度 vA0，这时 B 的速度为 vB，则10图 3A.vA vB0 B.vA=vB C.vA vB D.vB=0【解析】 按 A 运动的实际效果， vA可分
23、解为沿绳和垂直于绳的两个分速度 v 和 v ，其中 v =vB.当 A 运动至与定滑轮等高位置时， vB=v =0.【答案】 D4.一个物体受到三个在同一平面内而不在同一直线上的力 F1、 F2、 F3作用而处于平衡状态，下面说法中正确的是A.三个力同时增加相同值，物体不一定处于平衡状态B.若 F2增加了 F，则物体必将沿 F2的方向做匀加速直线运动C.若各力的大小不变，仅将 F2的方向稍微改变，则物体一定做直线运动D.当 F2突然变小时，物体一定做匀减速直线运动【解析】 物体平衡，可能静止，也可能做匀速直线运动.物体所受三力中任何一力发生变化时，必导致合力发生变化从而使合力不为零.考虑到若原
24、物体处于匀速直线运动状态，则合力与原速度方向间关系无法确定，因而合力变化后物体的具体运动形式无法确定，故可排除 B、C、D.由于三力大小、方向具体关系不确定，当三力都增大相同的数值后，合力不一定为零（只有当原三力互成 120角平衡时，各力增大相同值后合力仍为零） ，故物体不一定处于平衡状态.【答案】 A5.做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是A.大小相等，方向相同 B.大小不等，方向不同C.大小相等，方向不同 D.大小不等，方向相同【解析】 因为平抛运动中，物体只受恒定的重力作用，所以物体每秒内速度的增量恒等于重力的加速度的大小，方向恒为向下.【答案】 A6.（2000 年高考科研测试）设月球
25、绕地球运动的周期为 27 d，则地球的同步卫星到地球中心的距离 r 与月球中心到地球中心的距离 R 之比 r/R 为A. B. C. D. 319127181【解析】 月球和地球同步卫星绕地球做圆周运动的向心力都由地球的万有引力提供，即：,所以 T=2 ,可见 r ,所以 r/R= =1/9. 22)(mrMGGM33T32【答案】 B7.一颗人造地球卫星以初速度 v 发射后，恰可绕地球表面做匀速圆周运动，若使发射速度为 2v，则该卫星可能A.绕地球做匀速圆周运动，周期变大B.绕地球运动，轨道变为椭圆C.不绕地球运动，成为太阳系的人造行星D.挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙【解析】 因 v7.9 km/s,所以 2v15.8 km/s，大于第二宇宙速度 11.2 km/s，小于第三宇宙速度 16.7 km/s，故
