1、英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念， 优质课程资源学习方法报社 第 1 页 共 5 页2.5.1 等比数列的前 n 项和学习目的：1掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路2会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 奎 屯王 新 敞新 疆学习重点：等比数列的前 n 项和公式推导学习难点：灵活应用公式解决有关问题课堂过程：一、复习引入：首先回忆一下前两节课所学主要内容：1等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示（q0） ，即： =q
2、（q 0）1na2.等比数列的通项公式: ， )(11nn )0(1qaamn3 成等比数列 =q（ ,q0）nanN“ 0”是数列 成等比数列的必要非充分条件na4既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 5等比中项 ：G 为 a 与 b 的等比中项. 即 G= （a,b 同号）.6性质：若 m+n=p+q， qpnma7判断等比数列的方法 ：定义法，中项法，通项公式法8等比数列的增减性：当 q1, 0 或 01, 11na0 时, 是递减数列; 当 q=1 时, 是常数列;当 q0 时, 是1a1an n na摆动数列;二、讲解新课： 例如求数列 1，2，4，2 62，2 63 的各项和 奎
3、 屯王 新 敞新 疆即求以 1 为首项，2 为公比的等比数列的前 64 项的和，可表示为：63648S2 42英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念， 优质课程资源学习方法报社 第 2 页 共 5 页由可得： 1264S这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法” ，是研究数列求和的一个重要方法 奎 屯王 新 敞新 疆等比数列的前 n 项和公式：当 时， 或 1qqaSnn1)( qaSnn1当 q=1 时， n当已知 , q, n 时用公式；当已知 , q, 时，用公式.1a1an公式的推导方法一：一般地，设等比数列 它的前 n 项和是 n,321nSaa1由 1
4、32nnq得 nnn qaqaSa1131212nq)(当 时， 或 1qSnn1)( qSnn1当 q=1 时， an公式的推导方法二：有等比数列的定义， qan1231根据等比的性质，有 Sann11213 即 （结论同上）qSn1qaSnn1)(围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式公式的推导方法三：nSnaa321 )(1321naq英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念， 优质课程资源学习方法报社 第 3 页 共 5 页 1nqSa)(naS（结论同上）)(“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方
5、程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决 奎 屯王 新 敞新 疆三、例题讲解例 1 求等比数列 1，2，4，从第 5 项到第 10 项的和.解：由 ,qa得， 21)(44S 1023)(10S从第 5 项到第 10 项的和为 - =1008104例 2 一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项 的等比数列2,1qa则：一天内获知此信息的人数为： 424S例 3 已知 为等比数列，且 =a， =b， （ab0） ，求 nann2nS3分析：要求 ，需知
6、，q，而已知条件为 和 能否进一步挖掘题目的条件，S31an2使已知和未知沟通起来？当 时 a 1qqnn1)( b nS2n)(2qn1)(/得 abq1将代入，得 21 nS3qan)(31a1)(3nqba2)1(3以下再化简即可英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念， 优质课程资源学习方法报社 第 4 页 共 5 页这样处理问题很巧妙没有分别求得 与 q 的值，而改为求 与 的值，这样1anqa1使问题变得简单 奎 屯王 新 敞新 疆 但在分析的过程中是否完备？第式就有问题，附加了条件 q1而对 q=1 情况没有考虑使用等比数列前 n 项和公式时，要特别注意适
7、用条件，即q=1 时， =n ；当 时， 或S1aqaSnn1 qaSnn1)(（含字母已知数的等比数列求和题目，学生常忽略 q=1 情况，要引起足够重视，以培养学生思维的严密性）解法 1：设等比数列 的公比为 qna若 q=1（此时数列为常数列） ，则 =n =a， =b，nS1a12na从而有 2a=b （或 ）n313233bn若 q1（即 2ab） ，由已知a b Snn)( qaSnn1)(22又 ab 0, /得 , bq1将代入，得 a2 nS3qan1)(31)(3nqb2)1(3a ab22解法 2：由 ， ， 成等比数列（练习中证此结论），nS2nS3n2即 a,b-a,
8、b 成等比，所以 a( b)=( b-a)3 32从而有 （包含了 q=1 的情况）nS3a22四、练习：是等比数列， 是其前 n 项和，数列 （ ）是否nan kkkSS232,N仍成等比数列？英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念， 优质课程资源学习方法报社 第 5 页 共 5 页解：设 首项是 ，公比为 q,na1当 q=1 且 k 为偶数时， 不是等比数列.kkkSS232,此时， =0.kkS32例如：数列 1,1,1,1,是公比为1 的等比数列， S2=0,46242当 q1 或 k 为奇数时，kSkaa3202 )(321kkk3q（ ）成等比数列 奎 屯王 新 敞新 疆kSS232,N评述：应注意等比数列中的公比 q 的各种取值情况的讨论，还易忽视等比数列的各项应全不为 0 的前提条件.五、小结 1. 等比数列求和公式：当 q=1 时， 1naS当 时， 或 ； 1qqaSnn1qn)(2 是等比数列 的前 n 项和，nS当 q=1 且 k 为偶数时， 不是等比数列.kkkSS232,当 q1 或 k 为奇数时， 仍成等比数列 奎 屯王 新 敞新 疆3这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前 n 项和公式，并在应用中加深了对公式的认识六、课后作业：课本 67 页 A 组 16
