1、2013 高中数学常用的数学思想一、数形结合思想方法中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是
2、研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：
3、第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。二、分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想
4、与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分 a0、a0、a2时分 a0、a0 和 a0 三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我
5、们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。三、函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题数学问题代数问题方程问题。宇宙
6、世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数 yf(x)，就可以看作关于 x、y 的二元方程f(x)y0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的1单
7、调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最
8、小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前 n 项和的公式，都可以看成 n 的函数，数列问题也可以用函数方法解决。四、等价转化思想方法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维
9、能力和技能、技巧。转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。著名的数学家，莫斯科大学教授 C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表什么叫解题的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。等价转化思想方法的特点是具有灵活
10、性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则
11、，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。定语从句及连词答题秘诀二as 与 which 均可替代整个主句在非限制性定语从句中，均可替代整个主句. 如从句在主句之后，两者皆可用；如从句在主句之前，用 as。 介词/逗号后, 永远不用 that
12、!They failed in the exam， as/which is natural.As is known to all，the earth moves around the sun.He passed the College Entrance Examination, made his parents very happy.A. as B. which C. that D. it关系代词 as 的考查。关系代词 as 引导限制性定语从句时既可指人又可指物。它只能替代由 such，the same 等修饰的先行词；as 引导非限制性定语从句时，可放于句首，句中或置于句尾，而 which
13、 则只能置于主句之后。但如果定语从句为否定句或表示否定意义，使用 which。As 引导的定性定语从句有“正如“ 之意，而 which 引导的没有。2010 全国As a child , Jack studied in a village school ,_ is named after his grandfather. A. which B. where C. what D. that空格设置在名词 school 后, 且 school 后有逗号, 此题考查非限定性定语从句。定语从句所修饰的先行词是 school, 它在定于从句中做主语, 因此使用关系代词, 选项中的关系代词只有 which
14、 和 that, 由于是非限定性定语从句, 不能使用 that, 因此选择 A。2010 四川After graduating from college, I took some time off to go travelling, turned out to be a wise decision. A. that B. which C. when D. where此处应为 which 引导的非限制性定语从句, which 代替前边整个句子。句意为： “大学毕业后, 我们休假一段时间去旅游, 这结果证明是一个明智的决定。”2009 山东Whenever I met her, _ was fai
15、rly often, she greeted me with a sweet smile. A. who B. which C. when D. that 不论何时遇见她, 她总是用甜美的微笑和我打招呼,这是非常经常的事。考查非限制性定语从句, 从句_ was fairly often 插在主句中的时间状语从句后, 关系代词 which 可代替主句整个句子的意思并在从句中作主语。答案 B。2009 辽宁Theyve won their last three matches, _I find a bit surprising A. that B. when C. what D. which 此处
16、意思是 “他们赢得了最后的三场比赛, 我觉得这确实有点让人意外”, which 代替上句 “Theyve won their last three matches”做 find 的宾语, 选 D。A 项不能用于非限制性定语从句中, B, C 此处没有他们的意思。状语从句及连词While 是解!常接持续性的动词，强调主从句谓语动作同时发生，常用 进行时 。有时还有对比意义，意为“然而” 。主句从句主语不同,表示“而” I do every single bit of housework _ my husband Bob just does the dishes now and then.A. s
17、ince B. while C. when D. asWhile 置于句首可表示 As long as 或 AlthoughWhile there is life there is hope.While I admit his good points, I can see his bad ones.（2008 湖南)_ the Internet is of great help, I dont think its a good idea to spend too much time on it. A. If B. While C. Because D. As2011 四川卷 volleybal
18、l is her main focus, shes also great at basketball.A. Since B. Once C. Unless D. While虽然排球是她的主要项目，但她还擅长篮球。while“虽然，尽管”。答案 D。2010 全国Mary made coffee _ her guests were finishing their meal .A. so that B. although C. while D. as ifso that 译为 “以便 ”表示目的, although 译为 “尽管, 虽然”, as if 译为 “好像”, while 译为 “当.的
19、时候”, 因此 while 符合句意 , 选择 C。2009 安徽I wonder how much you charge for your services.The first two are free the third costs $30.A. while B. until C. when D. beforewhile 表转折 “而, 然而” 。根据句子意思 , 前两份免费, 而第三份要$30。2006 全国We thought there were 35 students in the dining hall, , in fact, there were 40.A.while B.wh
20、ether C.what D.which此题考查连词的用法。while 在此表示转折, 意为 “但是, 而”。2006 天津The cost of living in Glasgow is among the lowest in Britain, the quality of life is probably one of the highest.A.since B.when C.as D.while根据句中 among the lowest in Britain 和 probably one of the highest 可知前后的意义存在对比；while 用作连词, 可用于表示对比或相反的
21、情况, “而；但是”。名词性从句区别什么从句应看主句，主句不完整时从句肯定是名词性从句。主句完整时，从句可能是定语从句，状语从句，或者同位语从句。需要用什么引导词看从句。名词性从句中缺什么意思用什么意思的引导词; 缺名词性成份时，指人用 who/whom，指物用 what; 不缺意思和成份时用 that。That 只有在宾语从句中可以省略。缺成分时,what 和 whatever 是第一高频答案!引导主、宾、表语从句时，what 要充当主语、宾语或表语等句子成分，that 不作任何成分，只在语法上起连接的作用。_ we cant get seems better than _ we have.
22、A. What; what B. what; that C. That; that D. That; what本句包含一个主语从句和一个宾语从句，且两个从句都缺乏宾语，可见两个引导词都必须充当成分，所以答案是 A。_ caused the accident is still a complete mystery.A. What B. That C. How D. Where该题答案是 A，what 在主语从句中作主语，即作谓语动词 caused 的执行者。在下面的例句中，that 不充当任何成份，只起语法连接作用（因为句子本身不缺成分）：That the former Iraq preside
23、nt Saddam was captured has been proved.2011 江西卷The villagers have already known well do is to rebuild the bridge.Athis Bthat Cwhat Dwhich考察宾语从句和主语从句。村民们已经知道我们将要做的事情是重建这座桥，后面的宾语从句的主语从句中缺少主语且指物，所以选择 what。答案：C2011 四川卷Our teachers always tell us to believe in we do and who we are if we want to succeed.A
24、. why B. how C. what D. whichin 介词后面接宾语从句，且从句中缺 do 的宾语，故选 C 项。why 、how 在句中作状语；which 在名词性从句中作定语。选 C.2011 陕西卷Id like to start my own business thats Id do if I had the money. A.why B.when C.which D.what所填词引导的从句位于系动词之后，是表语从句，所填词在从句中做宾语，指物，用what，选 D。其余选项与题意不符。2011 北京卷 Barbara Jones offers to her fans is
25、honesty and happiness.A. Which B. What C. That D. Whom考察名词性从句中的主语从句。主语从句中缺少 offer 的宾语，选择 what。冠词和某些抽象名词连用，使其具体化,一般以 What 和 It 做主语!抽象名词前加 aan 表具体的人或物。抽象名词表示一般概念时，通常不加冠词，如 Failure is the mother of success. success(抽象名词 ) a success(具体化) 成功的人或事a failure 失败的人或事 a shame 带来耻辱的人或事a pity 可惜或遗憾的事 a must 必需必备的
26、东西 2011 山东卷Take your time its just_short distance from here to_restaurant.A.不填；the B. a; the C. the; a D.不填；a句意为“别急从这儿到餐馆只不过短短的距离而已。”a short distance 短距离，是固定搭配的短语；the restaurant 指双方都知道的餐馆，故用 the 特指。答案：B2011 浙江卷 Experts think that _recently discovered painting may be _ Picsso. A.the ;不填 B. a ;the C.
27、a ; 不填 D. the; a句意为“专家认为，最近发现的油画可能是毕加索的作品。”the painting 特指最近发现的油画；a Picsso 意为 a Picssos painting，指毕加索的一件作品，有 one 的含义。答案：D2010 福建Its good feeling for people to admire the Shanghai World Expo that gives them pleasure.A. 不填, a B. a, 不填 C. the, a D. a, thegood feeling 并非特指, 故用 a；pleasure 是抽象名词, 无需冠词。句意为
28、 “人们喜欢上海世博会给它们的快乐, 这是（一）种不错的感觉 ” a good feeling , 一种不错的感觉, give sb pleasure。答案Baan 与专有名词连用表示“一个叫什么的人”“一个像什么的人”“的作品制品”或表示不确定，如 a Sunday,a Monday 等。 (2006 全国卷) Hello， could I speak to Mr Smith? Sorry,wrong number, There isnt_ Mr Smith here A不填 Ba Cthe Done 题意为：这儿没有一个叫史密斯的。史密斯是姓氏，史密斯先生很多，aMr Smith 表示其中
29、一位。 【答案】B(2005 山东卷)I knew_John Lennon，but not_famous one A不填;a Ba ；the C. 不填;the Dthe；a 题意为：我原先认识一个叫约翰列农的人，不是那个著名的约翰列农。据题意可知叫约翰列农的人很多他只是其中一位，故用 a；那位著名的也即是特指的，应用 the。 aan 与专有名词连用表示“一个叫什么的人”“一个像什么的人”“的作品制品”或表示不确定，如 a Sunday,a Monday 等。 (2005 山东卷)I knew_John Lennon，but not_famous one A不填;a Ba ；the C. 不
30、填;the Dthe；a 题意为：我原先认识一个叫约翰列农的人，不是那个著名的约翰列农。据题意可知叫约翰列农的人很多他只是其中一位，故用 a；那位著名的也即是特指的，应用 the。 (2005 湖南卷)I cant remember when exactly the Robinsons left_cityI only remember it was_Monday Athe，the Ba ，the Ca，a Dthe，a 题意为：我记不清罗宾逊一家人何时离开这坐城市了。我只记得是星期一。第一空用the 表示双方都明白的人或物；第二空用 a 表示不确定的某个周一。【答案】D2010 江苏The v
31、isitors here are greatly impressed by the fact that_ people from all walks of life are working hard for_ new Jiangsu.A.不填； a B. 不填；the C. the； a D. the； the第一空,来自社会各阶层的人. 是不特指,不用冠词. 第二空, 在 Jiangsu 前有形容词 new 因此,应加冠词 a.表示一个全新的江苏.答案A.具有动词意义的名词前用 aan 其意义相当于动词，如 take a look=look(2007 四川卷)How about taking
32、_short break?I want to make_call Athe；a Ba;the Cthe;the Da；a 稍稍休息如何?我想打个电话。break 相当于 rest，make a call 相当于 call【答案】D(2007 天津卷)I wanted to catch_early train,but couldt get_ride to the station Aan；the B；the C an； Dthe ；a 题意为：我想赶早班车但没能找到到车站去的车。第一空用 the 表示双方都明白的人或物；第二空用 a，get a ride=ride【答案】D (2007 浙江卷)I
33、 like_color of your skirtIt is_ _good match for your blouse A. a;the Ba；a C.the ； a Dthe;the 我喜欢你的衬衫的颜色,与你的短裙极相配。a good match 相当于 match well. 答案 C2010 四川In most countries, a university degree can give you flying start in life.A. the; a B. the; 不填 C.不填; 不填 D.不填; amost countries 此处表泛指, most 前不加定冠词 the
34、.第二个空处应为 “一个高起点的开始”, 故用 a ,正确答案为 D。It：作形式主语和形式宾语当动词不定式,动名词或从句作主语时,通常把它们放在谓语之后,而用 it作句子的形式主语:It is not easy to finish the work in two days.It is no use crying over split milk.It is a pity that you didnt read the book.当复合宾语中的宾语是不定式,动名词,宾语从句时,往往把宾语放在它的补足语后面,而用 it 作形式宾语,放在宾语补足语之前:I think it no use argui
35、ng with him.I found it very interesting to study English.He made it clear that he was not interested in this subject.注意：see to it that（务必）和 take it for granted that（想当然）句型中的 it，以及词组 make it 中的 it（做事成功，搞定）。2011 北京卷The employment rate has continued to rise in big cities thanks to the efforts of the lo
36、cal governments to increase .A. them B. those C. it D. that句意为“由于当地政府的努力，大城市里的就业率持续升高。”it 代指前面交代过的“the employment rate”，是单数，而 them 和 those 是复数。答案：C2011 江西卷Why dont you bring _ to his attention that youre too ill to work on?A. that B.it C.his D.him考查代词 it 作形式宾语的用法。句意为“为什么你不让他注意到你病得太严重了以至于不能工作？”it 作形式
37、宾语，指代句子后面 that 引导的宾语从句。答案：B2011 山东卷The two girls are so alike that strangers find _ difficult to tell one from the other.A. it B. them C. her D. that句意为“这两个女孩长得很相似，不熟悉的人很难将她俩区分开来。”it 在此句中充当形式宾语，代指“to tell one from the other”。 答案：A2011 天津卷We feel our duty to make our country a better place.A. it B. t
38、his C. that D. one句意为“我们觉得将我们的国家变得更好是我们的职责。”it 在此句中充当形式宾语，代指“to make our country a better place”。答案：A2010 全国The doctor thought _would be good for you to have a holiday.A. this B. that C. one D. itIt 的两个重要用法是作形式主语和形式宾语。本题考查形式宾语, it 在这里代指后面的真正宾语 to have a holiday。one 的 用 法常 用 来 代 替 与 上 文 所 提 到 人 或 物 相
39、 类 似 的 不 确 定 的 另 一 人 或 物 （ 泛 指 ） ， 且 被 替 代 者 为可 数 名 词 单 数 形 式 。若 下 文 替 代 者 表 示 非 特 指 含 义 ， 则 用 a/anadjone 形 式 表 示 ； 若 下 文 替 代 者为 另 一 特 指 含 义 ， 则 用 the one 或 theadjone 表 示 ； 若 下 文 替 代 时 为 复 数 含 义 ，则 用 theadjones 或 the ones 表 示 。2011 福建卷We have various summer camps for your holidays. You can choose _
40、based on your own interests. A. either B. each C. one D. it 句意为“在你们的假期里，我们这儿有各种暑期夏令营，你们可以根据自己的兴趣任选一个。”one 代替单数可数名词，表泛指，相当于“a/an + 单数名词” 。这里泛指某个 summer camp 夏令营。答案：C2010 山东Helping others is a habit, _ you can learn even at an early age. A. it B. that C. what D. one句意应为”帮助别人是一种习惯, 一个你在很小时就能学会的习惯。” 空格处
41、与前句中的habit 构成同位关系, 所以选择 D 项。句中 you can learn even at an early age 是省略了关系代词 that 的定语从句 , that 在定语从句中作 learn 的宾语使用。that 的 用 法t hat 用 来 指 前 文 中 确 定 的 非 同 一 事 物 ， 常 用 来 替 代 与 定 冠 词 或 形 容 词 性 物 主 代 词 连 用的 单 数 可 数 名 词 或 不 可 数 名 词 ， 相 当 于 “the+名 词 ”， 其 复 数 形 式 为 those。t hat 表 替 代 时 为 始 终 是 特 指 （ 作 指 示 代 词 和 关 系 代 词 用 时 另 论 ） ， 可 指 上 文 谈 到 的 人 、物 或 情 况 （ 均 为 单 数 ） ， 可 代 替 可 数 名 词 和 不 可 数 名 词 。若 that 所 代 替 的 内 容 为 前 置 用 法 ， 即 要 代 替 的 内 容 将 出 现 在 下 文 中 ， 一 般 用this,these 或 the following 表 示 。
