1、1自适应笛卡尔网格 Ghost Cell 方法研究刘剑明 1,2 赵宁 1 胡偶 1 王东红 11 南京航空航天大学航空宇航学院,江苏南京 2100162 徐州师范大学数学系, 江苏徐州 221116摘 要:本文在笛卡尔网格下，利用 Ghost Cell 方法处理浸入边界 , 模拟二维无粘可压缩流。针对静止物体，比较了各种不同的 Ghost Cell 边界条件下的熵误差及总压误差。此外为提高激波分辨率，将 Ghost Cell 方法与基于叉树结构的自适应笛卡尔网格算法相结合，数值结果显示本文的方法是切实可行的。关键词:Ghost Cell 方法;笛卡尔网格;自适应;欧拉方程中图分类号:V211
2、.3 文献标识码 : A0 引 言众所周知, 计算流体力学中一个持续的障碍是复杂几何外形的网格生成。现今存在的流场离散方法主要包括非结构网格方法、结构网格方法和笛卡尔网格方法 1。虽然如今网格生成技术得到了进一步的发展, 但网格生成过程仍然是一个费时费事的工作。非结构网格主要在二维流场使用三角网格，三维使用四面体或棱柱，其主要优点是易于生成复杂外形的网格，但非结构网格生成费时，计算时间存储量一般都比结构网格高。结构网格单独使用单一的贴体网格很难处理复杂外形, 而且会导致网格的高度倾斜, 因而一般不会使用单一的结构网格处理高度复杂的几何外形, 通常使用嵌套网格和多块对接网格等, 虽然这些方法已经
3、得到了成功的使用, 但它们需要交换不同网格间的数据, 以及处理其他的一些复杂问题。使用笛卡尔网格方法, 物体与背景网格切割, 或者使用物体内部的虚拟控制体利用嵌入边界来处理与物体的相交。切割网格需要考虑不同情形的复杂切割单元形状, 而且切割单元可能会任意小, 从而会产生刚性以及时间步长稳定性问题。使用浸入边界 Ghost Cell 方法可以克服小网格稳定性限制问题，而且更易于实现。笛卡尔网格相对于结构网格、非结构网格来说, 具有更多的优势, 其网格生成简单, 易于实现自动本文得到国家自然科学基金项目（10728026）资助。化、具有更强的自适应能力, 更适合于处理复杂几何外形的绕流和由于物体运
4、动或变形等产生的非定常问题，故本文采用笛卡尔网格。最近 Dadone 和 Grossman 在他们的一系列文章 2,3,4中, 系统研究了结构网格中的 Ghost Cell 方法, 并把他们命名为ST(Symmetry Technique)方法以及CCST(Curvature Corrected Symmetry Technique)方法, 而且这些有效的边界处理方法也被他们推广用于笛卡尔网格 5,6,7, 并取名为 GBCM 方法。后来, Dadone 等 6利用远场网格加粗, 以及 Iblanking 方法 8进行自适应。在 Wang 的文章 9中, 此类方法也被用于二维非结构网格, 得到
5、了很好的结果。此外，Forrer 10，11 等提出了一种有趣的浸入 Ghost Cell 边界方法求解二维静止与运动物体。本文把 ST 方法以及 GBCM方法用于自适应叉树结构的笛卡尔网格, 比较了 Forrer 的浸入边界方法, Dadone的 GBCM 方法, 以及其他的一些可用的边界处理方法。数值结果显示 GBCM 方法熵误差最小，但总压误差和其他的边界方法基本差不多。此外，本文利用基于叉树结构的自适应笛卡尔网格 Ghost Cell 方法, 求解一个强激波问题以及翼型，数值结果显示本文所使用的自适应方法具有很好的分辨2率, 且易于实现。1 控制方程和数值方法本文仅研究无粘可压流体,
6、考虑二维欧拉方程(1)()0,txyUFG其中 22,()()uvupvvpEE21().puv计算使用 MUSCL 方法加 MINMOD 限制器获得高阶精度, 采用 HLLC 离散数值通量 12(2)*,0(),lLMHLCrRFSU其中 * *()(),()(),)KKKxK yKMMxKKySqupnUvESSupnFvE1*(),()KMLLLRRRSpqSp这里 , 中间波速,xyunv估计以及最大最小波速估计采用如下方法13 ()()MRRLLRSqqSp144min(),),ax(RoeLLeRSU其中 分别是 矩阵 14的1(),()oeRo最小最大特征值。在本文的模拟中, 利
7、用空间分裂法求解多维问题，使用最优二阶TVD Runge-Kutta 方法 15进行时间推进。2 Ghost Cell 方法利用笛卡尔网格, 物体与网格相交, 如图 1 所示. 本文使用 Ghost Cell 方法需要给出浸入边界(Immersed Boundary)内部网格点处的物理量, 比如点 A 处的值. 最直接最简单的方法就是使用一般的对称反射边界条件(ST)(3),2()ABpvn这样给出的边界条件能够满足无穿透边界条件 。Forrer 等人 11对于浸入0waln固体内部的 Ghost Cell 值建议速度仍然使用一般的反射, 而压强密度使用如下公式 (4)()()|,|,hwAw
8、Apxpx这里 , 墙压强 ,以及hwxn()wpx通过线性或双线性插值得到, 我们()称此方法为 FGCM(Forrers Ghost Cell Method).3图 1 笛卡尔网格 5,6,7Fig.1 Cartesian grid5,6,7近来, Dadone 与 Grossman5,6,7系统的给出了一个新颖的 Ghost Cell 方法(GBCM)处理笛卡尔网格下的静止物体. 在他们的文章中, Ghost Cell 物理量在墙附近通过一个法向假想的具有局部对称分布的熵(S)与总焓(H)涡流场来得到。这种流体模型满足如下法向动量方程(5)2()punR这里 是带符号的局部曲率半径, 如
9、果曲R率中心在物体内部为正, 反之为负。 是u切向速度, 满足无穿透边界条件 , 此外沿着物体的表面法向强0walvn加反对称的熵与总焓的法向导数 。,SHn这种熵与总焓分布使得当流动是无旋时, 产生零法向导数, 甚至在墙壁出现涡时也能满足 Crocco 关系。比如对于二维问题, 如图 1 所示,采用如下边界条件(6)21/2(),BAABAABpuRnpuv这里 分别指切向与法向速度分量。在,uvDadone 的文章中, 他们比较了 GBCM 方法与贴体网格下的 CCST 方法以及二阶压力外插(P-II)方法, 得出 GBCM 方法具有和贴体网格中 CCST 相同的解精度, 而且要比 P-I
10、I方法具有更好的收敛精度。Lhner 等人文章 16保留 GBCM 方法中压强的曲率修正，以及密度的熵修正，但速度使用简单的对称反射边界条件, 简记为 LGBCM 方法. 此外如果结合 Forrer 的压强外插, 以及Dadone 的等熵策略, 可以给出如下 Ghost Cell 边界条件(7)1/()()|,2().hwAwABApxpxvn我们称此方法为 ECFGCM(Entropy Correction Forrers Ghost Cell Method)方法, 给出这个边界条件的目的在于研究加了熵修正后是否真的能达到熵的改善。在数值计算中 Ghost Cell 中心 A 所对应的法向对
11、称点 B 变量的值可以通过一般插值得到, 比如可以使用双线性插值 5,6, 对于三维使用三线性插值 7等, 在我们的代码中始终使用流体内部网格点来插值。3 各种 Ghost Cell 方法的数值比较为了能够比较各种不同的边界方法, 考虑亚音速无粘流体吹向单位圆柱, 来流马赫数取为 0.38, 初始背景网格取为 1/4个圆半径, 在圆柱附近作四次局部加密, 如图 2 所示. 图 3-7 给出了利用不同方法得到的等马赫图, 从这些图可以发现 GBCM方法结果稍好。表 1 中给出了各种不同边界方法所产生的熵与总压相对误差, 从表中可以发现使用 GBCM 方法熵相对误差要比其他方法约减少 50%, 加
12、了熵修正后的ECFGCM 方法比 FGCM 稍好, 但变化不大，LGBCM 方法性能最差。总压误差这几种方法4都差不多, LGBCM 情形稍微大一些。此外ST, FGCM, ECFGCM 方法都很容易推广到三维, 而 GBCM 与 LGBCM 方法就不那么直接了。从计算复杂度考虑, ST 方法计算最简单, GBCM 方法最复杂, 尤其是在三维时, 使用GBCM 方法 7需要计算物面与由流线在物面投影方向与物面法向所组成的平面交线的曲率, 此外每一步需要进行坐标变换, Dadone 的文章 7给出了详细的叙述。虽然Dadone 的文章中指出 GBCM 方法具有稍好的结果。但对于一些复杂的几何体,
13、 为了减少处理曲率的复杂性, 尤其是三维问题, 以及一些繁琐的坐标变换, 可以直接使用ST 方法, 一般就能得到可以接受的结果。图 2. 圆柱笛卡尔网格局部加密Fig.2 Local refined Cartesian gird图 3 ST 方法(3)等马赫线Fig.3 Mach contours of ST(3)图 4 GBCM 方法(6)等马赫线Fig.4 Mach contours of GBCM(6)图 5 FGCM 方法(4)等马赫线Fig.5 Mach contours of FGCM(4)图 6 LGBCM 方法等马赫线Fig.6 Mach contours of LGBCM5图
14、 7 ECFGCM 方法(7)等马赫线Fig.7 Mach contours of ECFGCM(7)图 9 压强等值线Fig.9 Pressure contours图 8 三次解自适应加细后的网格Fig.8 Adaptive Cartesian grid表 1 熵与总压相对误差边界条件相对误差ST (3) GBCM (6) FGCM (4) LGBCM ECFGCM (7)熵 3.42e-3 1.62e-3 3.15e-3 5.62e-3 3.10e-3总 压 6.59e-2 6.14e-2 6.55e-2 6.70e-2 6.55e-24 叉树结构的自适应笛卡尔网格为了更有效的处理一些复杂
15、问题, 本文把上述一些边界处理方法用于基于叉树结构的自适应笛卡尔网格, 为了自动进行解自适应, 使用如下自适应判据 17(8)3/23/2|,|ciidiiVA这里 是控制体的总数目, 1,N(V 是控制体的体积)。这里旋度d 被用来捕捉剪切层, 散度 用来捕捉激cidi波. 两个参数的标准偏差定义如下 (9)2211,NNci dii icd应用如下条件判定网格是否需要自适应：1. 如果 或者 , 控制体 icidi被标记需要加细。62. 如果 且 , 控1/0cic1/0did制体 i 需要加粗。为了验证本文自适应加密代码的有效性, 考虑来流马赫数为 3 的超音速圆柱绕流问题, 使用 GB
16、CM 方法。图 8 显示了几何局部加密三次, 解自适应加密三次后的网格图, 图中清晰地显示了激波的位置, 以及尾部需要加密的区域。图 9 显示了压强等值线图。从图中可以发现 GBCM 方法以及叉树自适应方法能够有效结合提高解的分辨率，尤其是激波的分辨率。此外为了显示处理复杂几何的能力，用本文方法计算了 NACA0012 翼型跨声速绕流问题，这里取来流马赫数 , 攻角 , 0.8Ma1.25自适应判据仅仅使用了速度散度。图 10 是初始网格图, 图 11 是解自适应加密三次后的网格图, 图形清晰的显示了强激波以及弱激波需要加密的位置, 图 12 给出了等压线图, 图 13 是压力系数图，图形具有
17、很好的激波分辨率。图 10 NACA0012 翼型初始网格Fig.10 Initial Cartesian grid for Naca0012 airfoil图 11 解自适应加密三次后网格Fig.11 Adaptive Cartesian grid for airfoil图 12 NACA0012 翼型等压线图Fig.12 Pressure contours of airfoil图 13 翼型表面压强系数图Fig.13 Pressure distribution on the surfaces of the airfoil5 结论本文主要研究了 Ghost Cell 方法，比较了各种不同的
18、Ghost Cell 边界条件的数7值结果，并将其应用于叉树结构的自适应笛卡尔网格, 得到了理想的结果。数值实验显示本文方法是十分有效的, 并且这些方法可以直接推广到三维问题。参考文献1E.P.C.Koh, H.M.Tsai, Euler solution using Cartesian grid with a gridless least-squares boundary treatment J. AIAA Journal, 2005(43):246-255. 2A.Dadone, B.Grossman, Surface boundary conditions for the numeric
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27、ngsu 210016, China2 Department of Mathematics, Xuzhou Normal University, Jiangsu 221116, ChinaAbstractIn this paper, we use the local refined Cartesian grid to simulate stationary objects. Various Ghost cell methods are described, and we use those methods to evaluate inviscid compressible flow with
28、immersed boundary. In order to get further information, we compare the various Ghost cell boundary conditions under the consideration of relative entropy and total pressure error. To improve the resolutions of the shock and wake flow, tree structure adaptive Cartesian grid is adopted, and the adaptive criterion of solution is presented. Numerical results show that this method is very effective.Keywords: Ghost cell method, Cartesian grid, Adaptive grid, Euler equation作者简介：刘剑明(1977)男，江苏扬州人，讲师，博士研究生，主要从事计算流体力学研究通信地址：江苏省南京市南京航空航天大学航空宇航学院空气动力学系281信箱，210016Email:
