1、1解题方法 函数与方程思想【考情分析】观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一。在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在 20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题。函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：（1）解方程；（2）含参数方程讨论；（3）转化为对方程的研究，
2、如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；（4）构造方程求解。预测高考函数与方程思想的命题主要体现在三个方面：是建立函数关系式，构造函数模型或通过方程、方程组解决实际问题；是运用函数、方程、不等式相互转化的观点处理函数、方程、不等式问题；是利用函数与方程思想研究数列、解析几何、立体几何等问题在构建函数模型时仍然十分注重“三个二次”的考查特别注意客观形题目，大题一般难度略大。【知识归纳】函数与方程（不等式）的思想贯穿于高中学习的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程（不等式）思想的运用使我们解决问题的重要手段。函数与
3、方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程 f(x)0 的解就是函数 yf(x)的图像与 x 轴的交点的横坐标，函数 yf(x)也可以看作二元方程 f(x)y0 通过方程进行研究。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证) 不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考
4、的重点。1函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题；2方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3函数的思想与方程的思想的关系在中学数学中，很多函数的问题需
5、要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决对于函数 yf(x)，当 y0 时，就转化为方程 f(x)0，也可以把函数 yf(x)看作二元方程 yf(x) 0，函数与方程可相互转化。4函数方程思想的几种重要形式（1）函数和方程是密切相关的，对于函数 yf(x)，当 y0 时，就转化为方程 f(x)0，也可以把函2数式 yf(x) 看做二元方程 y f(x)0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程 f(x)0，就是求函数 yf(x) 的零点；（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数 yf(x)，
6、当 y0 时，就转化为不等式 f(x)0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；（3）数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；（4）函数 f(x) （ nN *）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系bax)(数法可以解决很多二项式定理的问题；（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。【考点例析】题型 1：函数思想在方程中
7、应用例 1 （2012 高考山东）设函数 21(),()(,0)fxgaxbRa，若 ()yfx的图象与()ygx图象有且仅有两个不同的公共点 12,)AyB,则下列判断正确的是（ ）A当 0a时， 12120,xy B当 0时， 1212,xyC当 时， D当 a时， 0【答案】B；【解析】：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当 时，要想满足条件，则有如图，做出点 A 关于原点的对称点 C,则 C 点坐标为),(1yx，由图象知 ,2121yx即 0,2121yx，同理当 0a时，则有 0，故答案选 B。另法： 32()1Fxb，则方程 ()Fx与 ()fxg同解，故其有且仅有两个不同零
8、点 12,.由 ()0得 或 23b.这样，必须且只须 (0)F或 2()03b，因为(0)1，故必有 ()3b由此得 32b.不妨设 12x，则 32xb.所以 231)xx，比较系数得 14x，故 1x. 310x，由此知 121120y，故答案为B。题型 2：函数思想在不等式中的应用例 2 （2012 高考浙江）设 a 大于 0，b 大于 0.A若 2a+2a=2b+3b，则 ab B若 2a+2a=2b+3b，则 abC若 2a-2a=2b-3b，则 ab D若 2a-2a=ab-3b，则 ab3【答案】A；【解析】若 23ab，必有 22ab构造函数： 2xf，则ln0xf恒成立，故
9、有函数 xf在 x0 上单调递增，即 ab 成立其余选项用同样方法排除故选 A。点评：当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决。当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决。题型 3：函数思想在实际问题中的应用例 3 （2011 陕西理 14) 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小
10、值为 （米） 【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题；【解】 （方法一）设树苗放在第 个树坑旁边（如图） ，i1 2 19 20i那么各个树坑到第 i 个树坑距离的和是：()0(2)1()10()10(2)10si ii i 。210ii 2i所以当 或 时， 的值最小，最小值是 1000，所以往返路程的最小值是 2000 米。is（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第 10 个和第 11 个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放
11、在第一个树坑旁，则有路程总和是；树苗放在第 10 个（或第 11 个）树坑旁边时，路程19()10(2)02380总和是： ()() ，911002290120所以路程总和最小为 2000 米.点评：构造的二次函数形式在解题过程中起到了关键作用，函数是解决具体问题的有效工具。该题通过分析实际模型建立了函数解析式，研究函数的性质，解释问题。题型 4：函数思想在数列中的应用例 4设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 ， 0， 0， g( a)g( b)成立的是（ ）Aa b0Ba0Dab0 （ ）10ABC 中,a、b、c 分别为A 、B、C 的对边.如果 a、b、c 成等差数列，B=30
12、 ,ABC的面积为 ，那么 b=（ ）23A B C D132311两个正数 a、b 的等差中项是 5，等比中项是 4。若 ab，则双曲线 的离心率 e 等于（ 12byax）A B C D23412312天文台用 3.2 万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第 n 天的维修保10养费为 元（nN *） ，使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最1049少）为止，一共使用了（ ）A800 天 B1000 天 C1200 天 D1400 天二、填空题（本题每小题 4 分，共 16 分）13若 的展开式中常数项为20，则自然数 n .(2)nx14x
13、 0 是 x 的方程 ax=logax(0a1)的解，则 x0,1,a 这三个数的大小关系是 .15已知函数 互为反函数，又 的图象关于直线yff()()与 1yfxygx1()()与对称，若 _ _， _ y flog()12 1， 则 6。16已知矩形 的边 平面 现有以下五个数据： ABCDPABCa,2, ,2,PABCD当在 边上存在点 ，使4)5(;)4(;3)(;1)(;2)1(aaa Q时，则 可以取_。 （填上一个正确的数据序号即可）QP三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 12 分）已知集合 A=x|x2a
14、x+a 219=0，集合 B=x|log2(x25x+8)=1，集合C=x|m =1,m0，|m| 1满足 AB , AC= ，求实数 a 的值.82 18 （本小题满分 12 分）有一组数据 的算术平均值为 10，若去掉其)(,:2121 nnxxx中最大的一个，余下数据的算术平均值为 9；若去掉其中最小的一个，余下数据 的算术平均值为 11.（1）求出第一个数 关于 的表达式及第 个数 关于 的表达式;1xn（2）若 都是正整数，试求第 个数 的最大值，并举出满足题目要求且 取到最大值x,21 n nx的一组数据.19 （本小题满分 12 分）某公司生产的 A 型商品通过租赁柜台进入某商场
15、销售.第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年 A 型商品定价为每件 70 元，年销售量为 11.8 万件.第二年，商场开始对该商品征收比率为 p%的管理费（即销售 100 元要征收 p 元） ，于是该商品的定价上升为每件元，预计年销售量将减少 p 万件.%170p（1）将第二年商场对该商品征收的管理费 y（万元）表示成 p 的函数，并指出这个函数的定义域；（2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于 14 万元，则商场对该商品征收管理费的比率 p%的范围是多少？（3）第二年，商场在所收管理费不少于 14 万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则 p 应为多少？20 （本小题满分 12 分）求函数 在0，2 上的最大值和最小值.241)ln()xxf21 （本小题满分 12 分）已知二次函数 f(x)=ax2+bx（a，b 为常数，且 a0）满足条件：f(x1)
