1、10- 1第十章 多属性决策问题(Multi-attribute Decision-making Problem)即: 有限方案多目标决策问题主要参考文献: 68， 112， 15210.1 概述MAMC MO一、决策矩阵(属性矩阵、属性值表)方案集 X = xm12,方案 的属性向量 = , i Yiyi1in当目标函数为 时, = ( )fjjfjx各方的属性值可列成表(或称 为决策矩阵):y1 yj ynx 1 1 ii1 ij in xmy ymj ym例: 学校扩建学校序号 费用(万元) 平均就读距离 km1 60 1.02 50 0.83 44 1.24 36 2.05 44 1.
2、56 30 2.4例：表 10.1 研究生院试评估的部分原始数据ji 人均专著(本/人) y1生师比 2科研经费(万元/年) y3逾期毕业率(%) 41 0.1 5 5000 4.72 0.2 7 4000 2.23 0.6 10 1260 3.04 0.3 4 3000 3.95 2.8 2 284 1.2二、数据预处理数据的预处理(又称规范化 )主要有如下三种作用。首先，属性值有多种类型。有些指标的属性值越大越好，如科研成果数、科研经费等是10- 2效益型；有些指标的值越小越好，称作成本型。另有一些指标的属性值既非效益型又非成本型。例如研究生院的生师比，一个指导教师指导 4 至 6 名研究
3、生既可保 证教师满工作量， 也能使导师有充分的科研时间和对研究生的指导时间，生 师 比值过高，学生的培养 质量难以保证；比值过低；教师的工作量不饱满。这几类属性放在同一表中不便于直接从数 值大小来判断方案的优劣，因此需要对属性表中的数据 进行预处理，使表中任一属性下性能越优的值在变换后的属性表中的值越大。其次是非量纲化。多目标评估的困 难之一是指标间不可公度，即在属性值表中的每一列数具有不同的单位(量纲)。即使 对同一属性，采用不同的计量单位，表中的数值也就不同。在用各种多目标评估方法 进行评价时，需要排除量 纲的 选用对评估结果的影响，这就是非量纲化，亦即设法消去(而不是简单删去)量纲，仅用
4、数值的大小来反映属性值的优劣。第三是归一化。原属性值表中不同指标的属性值的数值大小差别很大，如总经费即使以万元为单位，其数量级往往在千 ( )、万( )间，而生均在学期间发表的论文、专著1034的数量、生均获奖成果的数量 级在个位( )或小数( )之间，为了直观，更 为了便于10采用各种多目标评估方法进行比较，需要把属性 值表中的数 值归一化，即把表中数均 变换到0，1区间上。此外，还可在数据预处理时用非线性变换或其他办法来解决或部分解决目标间的不完全补偿性。常用的数据预处理方法有下列几种。(1)线性变换效益型属性： = / (10-1) zijyijmax变换后的属性值最差不为 0，最佳 为
5、 1成本型属性 = 1 - / (10-2) ijija变换后的属性值最佳不为 1，最差 为 0或 = / (10-2)zijyjminij变换后的属性值最差不为 0，最佳 为 1, 且是非线 性变换表 10.2 表 10.1 经线性变换后的属性值ji ( )z1 ( )z3y ( )z4y ( )z4y1 0.0357 1.0000 0.0000 0.25532 0.0714 0.8000 0.5319 0.54553 0.2143 0.2520 0.3617 0.40004 0.1071 0.6000 0.1702 0.30775 1.0000 0.0568 0.7447 1.0000(2
6、) 标准 0-1 变换效益型： = (10.3)zijyijjminax成本型: = (10.4)ijyjijaxn特点：每一属性，最佳值为 1，最差值为 0，而且变换后的差值是线性的.10- 3表 10.3 表 10.1 经标准 0-1 变换后的属性值ji ( )z1y ( )z3y ( )z4y1 0.0000 1.0000 0.00002 0.0370 0.7880 0.71423 0.1852 0.2070 0.48574 0.0741 0.5759 0.22865 1.0000 0.0000 1.0000(3)最优值为给定区间时的变换设给定的最优属性区间为 , yj0*1- ( -
7、)/( - ) 若 jijjjyijj0= 1 若 (10.5)zij *1 - ( - )/ ( ”- ) 若 yij*jj*ijj其中, 为 无法容忍下限 , ”为无法容忍上限。yj j表 10.4 表 10.1 之属性 2 的数据处理ji 生师比 y2z1 5 1.00002 7 0.83333 10 0.33334 4 0.66665 2 0.0000(4)向量规范化(10.6)zyijijijm21特点：规范化后，各方案的同一属性 值的平方和为 1；无论 成本型或效益型，从属性 值的大小上无法分辨。常用于计算各方案与某种虚 拟方案(如理想点或负理想点)的欧氏距离的场合。表中最右一列是
8、属性 2 经式(10.5)变换后的值再向量规范化的 结果.表 10.5 表 10.1 经向量规范化后的属性值10- 4ji ( )z1y ( )z3y ( )z4y ( )z21 0.0346 0.6956 0.6482 0.66662 0.0693 0.5565 0.3034 0.55553 0.2078 0.1753 0.4137 0.22224 0.1039 0.4174 0.5378 0.44445 0.9695 0.0398 0.1655 0.0000(5) 原始数据的统计处理= (1.00 - M) + M (10.7)zijyijjjj_max其中, = 是各方案属性 j 的均值
9、, m 为方案数 , M 的取值可在 0.5-0.75 之间.j_1ij式(10.7)可以有多种变形, 例如:= (10.7)zij0075.()/._yijjj其中 为属性 j 的均方差,当高端均方差大于 2.5 时变换后的值均为 1.00.这种变换j的结果与专家打分的结果比较吻合.表 10.6 表 10.1 之属性 1 用不同方法处理结果比较ji 人均专著(本/ 人 ) y1线性变换 用 10.7 式(M=0.7)用 10.7式1 0.1 0.0357 0.5950 0.66252 0.2 0.0714 0.6100 0.67503 0.6 0.2143 0.6700 0.72504 0.
10、3 0.1071 0.6250 0.68755 2.8 1.0000 1.0000 1.0000三、方案筛选1.优选法(Dominance)淘汰劣解2.满意值法(逻辑乘 即与门 Conjunctive)规定 j=1,2,n (切除值)yj0当 j=1 且 j=2 且 j=n 均满足时,方案 被接受i xi主要缺点：目标间不能补偿，例研究生 录取时教委规定的单 科分数线.3.逻辑和法(Disjunctive 或门)规定 j=1,2,n 若 j=1 或 2 或n 时方案 被接受。往往作为上法的补充.yj*yij* xi这些方法用于初始方案过的预选,不能用于方案排序 ordering 次序，优先序也
11、不能用于方案分等 Ranking 量化优先程度.10.2 加权和法10- 5一、引言多目标决策的特点: 目标间的矛盾性 , 各属性值不可公度.这二难点不可公度虽可通过属性矩阵的规范化得到部分解决, 但前述规范化过程不能反映目标的重要性权：目标重要性的度量, 即衡量目标重要性的手段.权的三重含义: 决策人对目标的重视程度;各目标属性值的差异程度;各目标属性值的可靠程度;权应综合反映三种因素的作用.通过权，将多目标决策问题化 为单目标求解.二、字典序法与一般加权和法1. 字典序法 时的加权和法w12即某个目标特别重要, 实质上是单目标决策, 最重要目标的属性值相同时，再比较第二重要的属性, 如此继
12、续.2. 一般加权和法加权和法的求解步骤很简单： 属性表 规范化，得 i=1, , m; j=1, , n.zij 确定各指 标的权系数 j=1, , n.w 根据指 标 的大小排出方案 i(i=1, m)的优劣Cijijn1加权和法，包括评分打点，由于其简单、明了(直观)，是人们最经常使用的多目标评价方法。采用加权和法的关键在于确定指 标体系并设定各最低 层指标的权系数：有了指标体系就可以设法利用统计数据或专家打分给出属性值表；有了权系数，具体的计算和排序就十分简单了。正因为此，以往的各种实际评估过程中总要把相当大的精力和 时间用在确定指标体系和设定权上。加权和法常常被人们不适当地使用， 这
13、是因为许多人并不清楚：使用加 权和法意味着承认如下假设： 指标 体系为树状结构，即每个下 级指标只与一个上级指标相关联； 每个属性的边际价值是线性的(优劣与属性值大小成比例)，每两个属性都是相互价值独立的； 属性 间的完全可补偿性：一个方案的某属性无论多差都可用其他属性来补偿。事实上，这些假设往往都不成立。首先，指标体系通常是网状的，即至少有一个下级指标同时与二个或二个以上的上级指标相关联，也就是 说某个属性可同 时反映两个上级目标达到的程度。其次，属性的边际 价值的线性常常是局部的，甚至有最优值为给定区间或点的情况存在；属性间的价值独立性条件也极难满足，至少是极难验证其满足。至于属性 间的可
14、补偿性通常只是部分的、有条件的。因此，使用加权和法要十分小心。不过， 对网状指标体系，可以用层次分析法中的权重设定和网状指标的权重递推法设定最低层权重(见下节) 。当属性的边际价值函数为非线性时可以用适当的数学方法进行数据预处理；属性间的不完全补偿性也可通过适当处理，例如用逻辑 乘法预先删除具有不可补偿 属性的方案等。只要 认识到加权和法本身存在的种种局限性并采取相应的补救措施， 则加 权和法仍不失为一种简明而有效的多目标评价方法。10- 6三、确定权的常用方法1. 最小平方误差法见教材第 174 页.与主观慨率中的方法类似.2. 本征向量法/ / / w112w1n1/ / / 2 2Aw
15、= / / / n1n2nn= nw即 (A - nI) w = 0如 A 的估计不够准确, 则 A 中元素的小的摄动意味本征 值的摄动,从而Aw = w max由此可求得 w .四、层次分析法 AHP1. 由决策人利用 P177 之表 10.2 构造矩阵 A;2. 用本征向量法求 wmax3.矩阵 A 的一致性检验:i, 一致性指标(Consistence Index)C I = axn1ii,同阶矩阵的随机性指标(Random Index)n 3 4 5 6 7 8 9 10RI 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49max03.116 4.07 5.
16、45 6.62 7.79 8.99 10.16 11.34iii,一致性比率(Consistance Rate)CR=CI/RICR0.1( 即 大于同阶矩阵相应的 )时不能通过一致性检验,应该重新估计矩阵 A. axmax0CR0.1 通过一致性 检验, 求得的 w 有效. 4. 方案排序(1). 各方案在各目标下属性 值已知时, 可以根据指标 的大小排出方案 i Cwzijijn1(i=1, m)的优劣.(2). 各方案在各目标下属性值难以量化时, 可以通过在各目标下优劣的两两比较(仍利用表 10.2)求得每个目标下各方案的 权, 再计算各方案的总权重, 根据总权重的大小排出方案的优劣(参
17、见教材之 182 页例 10.5). 五、最低层目标权重的设定1.网状结构(见教材10.5.2, 第 181-182 页)有了最第层目标的权重 1kW10- 7设: 最第层目标的规范化了的属性 值为 , 则 可用作评价方案优劣的ijznjijkizwC1依据, 越大方案 i 越优. iC2.树状结构: 当最低层目标过多,不便直接设定时,可以分组自上而下地逐步设定。10.3 TOPSIS 法步骤一. 用向量规法求得规范决策矩阵 Z= zijmiijijy1/步骤二. 构成加权规范阵 X= xijjwijz步骤三.确定理想和负理想解效益型属性ijixa理想解 = xj*成本型属性ijimn效益型属
18、性iijx负理想解 =xj0aij成本型属性iji步骤四.计算各方案到理想解与负理想解的距离到理想解的距离 dxiijjjn*()21到负理想解的距离 iijjjn0021()步骤五.计算各方案与理想解的接近程度= Ci*dii0()*第六步.按 由大到小排列方案的优劣次序i10.4 基于相对位置的方案排对法优点:需要的信息少,不必事先 给出决策矩阵只需给出各目标下方案间的优先序(0-1 矩阵或指向 图)第一步:确定各方案两两间 的总体优先关系1.设定各目标的权 j=1,2,n 且令wj wj12.对每一目标 j，进行方案的成对比较, 给出优先关系矩阵或指向图10- 8的第 j 个属性值优于
19、的第 j 个属性值 记作 ( )xi xk xikj的第 j 个属性值优于 的第 j 个属性值 记作 ( ) k i ij与 的第 j 个属性 值无差异或不可比 记作 ( )xi xikj3. 把 的各目标的权相加，记作 w( )ik ik把 的各目标的权相加，记作 w( )i i把 的各目标的权相加，记作 w( )xik xik4. 计算方案的优劣指示值= Aik(,)wxxikik()() 值的大小反映 与 无差异的目标的重要性i5. 选定阀值 A1，判定方案总体优劣A 则 xik1/A )(kixi其它 ik第二步 计算排队指标值比 优的方案个数 记为xi qi比 差的方案个数 记为i
20、pi的排队指标值： = -vii第三步 按 的大小排定方案的优劣次序i缺点：因无决策矩阵，不能反映 优先程度例： y12x100 121 1.01设 =0.4 =0.6 A=1.2 =0w1=1.5A 所以 , 这与加权和法的结果大相径庭A()x21凡是属性值均能定量来表示的，不宜用此法10.5 ELECTRE 法国人： B.Roy 提出的一、级别高于关系(Outranking Relation)1.定义10- 9给定决策人的偏好次序 和属性矩 阵 当人们有理由相信 x优于 x”，称 x的级别高于 x”, yij记作 xSx”Notes:i, 决策人愿望承担 x x”所产生的风险;ii,理由：
21、同基于相对位置的方案排队法2.定义：(P193 定义 10.2)给定方案集 X , x, x”X ,当且仅当 X 中存在 , , ; , , ; j1, k 1, 使 x1u2jv12kSx” (或者 xS , S , S x”) 且 x”Sx(或者 x”S , S , Sx) 则称 x”与1u2uj vx级别无差异，记作 x x”。二、级别高于关系的性质：1. 弱传递性：xS 且 ( ) (x”) xSx”x0y0或 ( x) ( ) 且 Sx” xSx”x02. 自反性 XSX X XS3. 是 对称的S4. 允许不可比性三. 级别高于关系的构造以决策矩阵为基础(不作规范化)第一步：设定各
22、属性的权 w第二步：进行和谐性检验(Concordance Test)1.构造指示集(属性序号分类)不失一般性, 假设各属性值愈大愈优.( , ) = j | 1jn, ( ) ( )Jxikyjxijk( , ) = j | 1jn, ( )= ( )i jij( , ) = j | 1jn, ( ) ( )ikjijk2. 计算和谐性指数= ( + )IikJjjwjJ/wjjn110- 10= /IikwjjJjJ3.选定 0.51，若 1, ，则通过和谐性检验Iikik 愈大，级别高于的关系要求越高第三步 进行非不和谐性检验(non-discordance test)对各属性间的补偿加
23、以限制规定 j=1,ndj若对任一 j ( ) - ( ) 则不承认 Syjxkjidjxik第四步 确定级别高于关系若 1, 且 对 所有 j ( ) - ( ) Iikikyxkjidj则 Sxi四、级别高于关系的使用1. 通过方案成对比较确定级别高于关系后，找出最小 优势 子集。定义 i, X 若对每个 x 存在 使 S x 则称 为最小优势子集。11x*X1*X1ii, 各方案间不存在级别高于关系的最小优势子集称 为核2. 若 足够小，决策人直接进行价值判断， 择一实施; 若 中包含较多方案， 调整 重复1 1上述步骤.五、ELECTRE-1.定义高、中、低三阀值0.5 1 和 0*djj0j*2. 定义三个不和谐集= ( , ) | - i, k=1,m ik Djhyijkjyij*= ( , )| - i, k=1,m ik jmijj*kjij0= ( , ) | - i, k=1,m ik ljijkjidj2.定义强级别高于 和弱级别高于SFSf1 且Iik i. 且 - 对所有 jxiSFki*ykjidj*或者 ii. 且 - 对所有 jIik0jij0
