1、1“直线与平面”错解点击四川省乐至县吴仲良中学 毛仕理 641500 (0832)在“直线与平面”内容中，为了研究直线与直线之间，直线与平面之间，平面与平面之间的各种关系，引进了一些基本概念和数学方法，例如“异面直线” ， “直线与平面所成的角” 、 “二面角”等概念，反证法、同一法等方法，对于这类特定的概念理解不准确，对这些方法的掌握存在某些缺陷，解题时就容易出错下面通过几例，对产生错误的解法进行分析，研究纠正错误的方法，从中吸取有益的教训，以加深对知识的理解，提高解题能力例 1 证明；斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上错解 如图, 对于平面 ，直线 AB是垂线，垂足 B是点
2、A的射影；直线 AC是斜线，C 是斜足，直线 BC是斜线 AC的射影在 AC上任取一点 P，过 P作 PO 交 BC于 O，点 P在平面 上的射影在 BC上点击 这样的证明似乎有点道理，事实上这些点也是在这条斜线在该平面的射影上，但仔细分析，这些点在这条斜线在该平面的射影上的理论根据不足，过点 P作 PO 交 BC于 O，恰恰是本题要证明的是一种易犯的逻辑错误，许多同学在解题中往往错而不觉，对此应引起警觉正解 AC 是平面 的斜线，点 C是斜足，AB ，点 B是垂足则 BC是 AC在平面 上的射影在 AC上任取一点 P，过点 P作 PO ,垂足为 OAB ， PO AB，点 P在 A、B、C
3、三点确定的平面上，因此，PO 平面 ABC， OBC例 2 已知 、 是两个不重合的平面，若平面 平面 ，平面 平面 ，则平面 平面 ；若平面 内不共线的三个点到平面 的距离相等，则平面 平面 ；a、b 是平面 内的两条直线，且 a ，b ，则平面 平面 ；以上正确命题的个数为( )2(A)O个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个错解 三个命题都正确，选(D)点击 产生错误的原因是对问题不能全面的分析，缺乏把握空间元素位置关系的能力，不是用特殊代替一般，就是用一般统盖“特殊” 如判断、是真命题，只是考虑了图 1与图 2的情况，而忽略了图 3与图 4的情况(1) (2) (3) (4)而判
4、断是真命题，则是对平面与平面平行的判定定理：“如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行”没有真正理解，用任意两条直线代替了定理中的特指条件“两条相交直线” 正解 因为三个命题都不正确，所以选(A)例 3 如图 E1、E 2、F 1、F 2、G 1、G 2、H 1、H 2分别是空间四边形 ABCD的边 AB、BC、CD、DA 上的三等分点，求证：E 1H1，与 F1G2是异面直线错证 1 (直接法) 连 BD，由题设 = ， = ，AB13D1 E 1H1与 BD不平行，设其交点为 P，则 PBD = = , 则 F 1G2BD， P F1G2CF1G23又 E1P 平
5、面 BCD，且 E1E 1P， E 1 平面 BCD故平面 BCD内一点 P与平面 BCD外一点 E1的连线 E1P(即 E1H1)与平面 BCD内不过 P点的直线 F1G1是异面直线错证 2 (反证法)设 E1H1与 F1G2不是异面直线，则 E1H与 F1G相交或 E1H1F 1G2设 E1H1 F 1G2=P，3E 1H 平面 ABD，F 1G 平面 CBD，则 E1H1与 F1G2的公共点 P应在平面 ABD与平面 CBD的交线 BD上，则 F1G2 BD=P，这与 F1G2BD (CBD 中， = = )矛盾，CBF1DG23 E 1H1与 F1G2不相交设 E1H1F 1G2， F
6、 1G2BD，由公理 4知E1H1BD，这与 E1H1 BD=P(在ABD 中，= ， = ，E 1H1与 BD不平行，必相交于一点 P)矛盾，AB3D E 1H1与 F1G2不平行综合(1)、(2)知 E1H1与 F1G2是异面直线点击 采用证法 1时，有些同学往往忽略强调点 P在平面 CBD上但不在直线 F1G2上，且点 E1在直线 E1P上但不在平面 CBD上，只证 E1H1与 F1G2无公共点的一面，而忽视它们不在同一平面上，便得出 E1H1与 F1G2是异面直线的结论，这是对其判定定理的片面理解，因而是错误的在采用证法 2时，易犯的错误也是不全面，只排除了 E1H1与 F1G2不可能
7、相交而忽略了还应排除它们平行的可能因此，一定要深刻理解异面直线的定义，克服证题中的片面性例 4 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，求它的对角线 BD1与平面 A1B1CD所成的角错解 连结 A1C交 BD1于 E，则D 1EA为 BD1与平面 A1B1CD所成角设正方体的边长为 a.则 A1E=D1E= a又 A 1D1=a，23在A 1ED1中，由余弦定理得cosA 1ED1= E1222= = = aa23)()23(244A 1ED1=arccos ,即 BD1与平面 A1B1CD所成角为 arccos .3 31点击 以上证法的错误在于，A 1ED1不是直线 BD1与平面 A1B1
8、CD所成的角.平面的一条斜线与它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角，本题中 D1A1不垂直于平面 A1B1CD，所以 A1E不是 D1E在平面A1B1CD内的射影正是对“直线在平面内的射影”这个概念理解不清，导致了以上错误，所以在解此类题时，一定要先找出斜足，再作出垂足，垂足与斜足连线才得射影.正解 A 1B1平面 A1ADD1, 又 A1B1 平面 A1B1CD平面 A1ADD1平面 A1B1CD.连结 AD1交 A1D于 O,则 D1OA 1D,D 1O平面 A1B1CD.连 A1C交 BD1于 E，连 OE，则 OE为 D1E在平面 A1B1CD内的射影,D 1EO
9、为 BD1与平面 A1B1CD所成的角.设正方体的边长为 a, 则 D1O= a, OE= AB= a,22在 Rt D1OE中, tanD 1EO= = ,OE D 1E0=aretan ，即 BD1与平面 A1B1CD所成的角为 arctan .2 2例 5 已知，AB 是半径为 R的O 的直径，0CAB，P、Q 是圆上两点，且AOP=30 0，COQ=45 0,沿 OC折叠使半圆面成一直二面角(如图)，求 P、Q 两点间的距离.错解 在平面 AOC内，过点 P作 PDOC 于 D， 平面 AOC平面BOC，则 PD平面 BOC，连结 DQ，DQ 平面 BOC，PDQ 是直二面角 AOCB
10、的平面角，PDQ=90 0AOP=30 0， POD=60 0在 RtPOD 中， PD=Rsin60 0= R,23在 RtDOQ 中， DQ=Rsin45 0= R,5在 RtPDQ 中，PQ= = = ,2QDP243R5即 P、Q 两点间的距离是 R5点击 此证法的错误在于对二面角的平面角理解有误判定一个角是否是二面角的平面角，必须同时满足三个条件：顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；这两条射线都必须垂直于棱误解中忽视了条件中的“都”字，事实上，DQ 与 OC不垂直，这再次提醒我们必须搞清空间每个元素的确切含义，概念一定要清楚，解题过程中要严格按定义要求落实，不能随心所欲正解 同错解，得 PD= R.23又 0D= R在0DQ 中，由余弦定理得21DQ2=0D2+0Q2一 20DOQcos450= = R22)(45在 RtPDQ 中，由勾股定理，得 PQ= 2DQP= = .22453R8故 P、Q 两点之间的距离为 .8
