1、点的轨迹的探求一课题：点的轨迹的探求(圆锥曲线复习课 4)二教学目标：使学生明确探求点的轨迹的思维出发点，初步理清解决这类问题的思路，能够准确地把握这类问题.三教学重、难点：理清点的轨迹问题的思路.四教学过程：（一）引入：求曲线的方程、通过方程研究曲线是解析几何的两大主要内容。前面我们已经简单地接触到了一些求点的轨迹的问题，今天我们将对这个问题进行更加深入的研究.（二）问题分析：问题 1如图， 是定圆 内的一个定点， 是圆上的动点，考察线段 的垂直平分BACBC线与半径 的交点 的轨迹.CE【分析】：注意到 是垂直平分线， ，DEB （ 是圆的半径） ，是定值，AR又点 在圆内， ，点 的轨迹
2、是以 为焦点， 为长轴长的椭圆。,若要进一步求轨迹方程，则以 中点 为原点， 所在直线为 轴BOABx建立坐标系，设 ， ， ，2caR12所以，点 的轨迹方程为 E2xy说明：本题所用的求轨迹的方法即为“定义法”.问题 2探求点 的轨迹。 （学生猜想，几何画板演示）D【解法 1】： ，是定值，点 的轨迹是以 为圆心， 为半径12OACRDO2R的圆，因此， 点轨迹方程是 224xya【解法 2】：点 的运动是由点 引起的，点 是控制点 运动的主动点。而点 在已CC知圆上运动，其方程是已知的。如果能够找出点 与点 的坐标之间的关系，然后再求出点 的轨迹方程就不难了。设点 ， ，则 ， ，D0(
3、,)(,)xy02xc02y又点 的坐标满足圆 的方程 ， ，0(,)CxyA2cR()R点 的轨迹方程是 224Rya问题 3将“ 是 中点”改为“ 是线段 的三等分点” ，再探求 点的轨迹.BFBCF【解法 1】：过 作 的平行线，交 于 ，则 ，当 在 上的位置FDHABC确定后， 是定值， 就是定值。因此， 点轨迹是以 为圆心，HAR (,0)3cHE DABC点的轨迹的探求半径为 的圆。23R【解法 2】：设 ， ， 分 的比为 ， ，(,)Fxy0(,)CFBC2(,0)Bc ，0 00123122cccxxyyy又 点坐标满足圆 的方程 ，CA2()xcR有 ，即2233()(c
4、x2439表示以 为圆心，半径为 的圆。,0H拓展：若 是线段 上的任意一点呢？FBC【解法 1】：与“问题 3”类似。【解法 2】：设 ， ，及 分 的比为 ，(,)xy0(,)FBC ， ，(,0)c0011ccxyy又 点坐标满足圆 的方程 ，CA22()xcR有 ，211()cx即 表示圆心为 ，半径为 的圆。2(Ry(,0)1c1R问题 4线段 上所有点的轨迹可组成什么样的图形？BC（先由学生猜测，再借助于动画演示验证结论，即为已知圆面）练习：探求线段 中点 的轨迹，并求出方程。EG【解法 1】：设 ， ，又 ， ，(,)xy(,)2xc2y由 点坐标满足方程 ，E2214cyR 642-2-4-6-8-10 -5 5 10E DOA BCF点的轨迹的探求即 221()164xcyR【解法 2】： ， ，2OGBAE12OGBAE ， ，是定值，1R所以， 点轨迹是以 为焦点的椭圆。,思考：问题 1 中，如果将点 拖到圆的外面，此时线段 与 中垂线没有交点，BCB如果设 延长线交 中垂线于点 ，这时， 的轨迹又怎样？CAE（答案：是一组双曲线）小结：通过这节课的几个轨迹的探求，我们可以体会到探求点的轨迹问题的出发点是找出约束动点变动的几何条件或者找出影响动点变动的因素。抓住这两点，就抓住了问题的本质。
