1、南方学科网 1电磁感应现象中的“杆+导轨”模型问题清华附中 特级教师 孟卫东解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相似原型来启发理解和变换物理模型，即把电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电路.感应电动势的大小相当于电源电动势.其余部分相当于外电路，并画出等效电路图.此时，处理问题的方法与闭合电路求解基本一致，惟一要注意的是电磁感应现象中，有时导体两端有电压，但没有电流流过，这类似电源两端有电势差但没有接入电路时，电流为零。变换物理模型，是将陌生的物理模型与熟悉的物理模型相比较，分析异同并从中挖掘其内在联系，从而建立起熟悉模型与未知现象之间相互关系的一种
2、特殊解题方法.巧妙地运用“类同”变换， “类似”变换， “类异”变换，可使复杂、陌生、抽象的问题变成简单、熟悉、具体的题型，从而使问题大为简化.电磁感应现象部分的知识历来是高考的重点、热点，出题时可将力学、电磁学等知识溶于一体，能很好地考查学生的理解、推理、分析综合及应用数学处理物理问题的能力通过近年高考题的研究，此部分每年都有“杆+导轨”模型的高考题出现。一、命题演变“杆+导轨”模型类试题命题的“基本道具”：导轨、金属棒、磁场，其变化点有：1导轨（1）导轨的形状：常见导轨的形状为 U 形，还可以为圆形、三角形、三角函数图形等；（2）导轨的闭合性：导轨本身可以不闭合，也可闭合；（3）导轨电阻：
3、不计、均匀分布或部分有电阻、串上外电阻；（4）导轨的放置：水平、竖直、倾斜放置等等例 1（2003上海22）如图 1 所示，OACO 为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O、C 处分别接有短电阻丝（图中粗线表法） ，R 1= 4、R 2=8（导轨其它部分电阻不计）导轨 OAC 的形状满足方程 y=2sin（ x） （单位：m ） 磁感强度 B=0.2T 的匀强磁场方3向垂直于导轨平面一足够长的金属棒在水平外力 F 作用下，以恒定的速率 v=5.0m/s 水平向右在导轨上从 O 点滑动到 C 点，棒与导轨接触良好且始终保持与 OC 导轨垂直，不计棒的电阻求：南方学科网 2（1）外力 F 的最大值；
4、（2）金属棒在导轨上运动时电阻丝 R1 上消耗的最大功率；（3）在滑动过程中通过金属棒的电流 I 与时间 t 的关系解析：本题难点在于导轨呈三角函数图形形状，金属棒的有效长度随时间而变化，但第（1） （2）问均求的是某一状态所对应的物理量，降低了一定的难度解第（3）问时可根据条件推导出外力 F 的表达式及电流 I 与时间 t 的关系式，由三角函数和其他条件求出需要的量即可（1）金属棒匀速运动 F 外 =F 安 ，当安培力为最大值时，外力有最大值 又E=BLv总REIF 安 =BIL= 总 vLB2即当 L 取最大值时，安培力有最大值L max=2 =2（m）sin（）38 R21总 总 vLB
5、Fmaxax代入数据得 Fmax=0.3（N）（2）R 1、R 2 相并联，由电阻丝 R1 上的功率 ，可知当 时 P1 有最大功12REPmaxL率，即（W） 40.52. 12max12axma vLBEP（3）金属棒与导轨接触点间的长度随时间变化 L=2sin（ x） （m ）且 x=vt，E=BLv3 I= = sin（ t）总总 RLv435（A） 图 1南方学科网 32金属棒（1）金属棒的受力情况：受安培力以外的拉力、阻力或仅受安培力；（2）金属棒的初始状态：静止或运动；（3）金属棒的运动状态：匀速、匀变速、非匀变速直线运动，转动；（4）金属棒割磁感线状况：整体切割磁感线或部分切割
6、磁感线；（5）金属棒与导轨的连接：金属棒可整体或部分接入电路，即金属棒的有效长度问题3磁场（1）磁场的状态：磁场可以是稳定不变的，也可以均匀变化或非均匀变化（2）磁场的分布：有界或无界二、模型转换电磁感应现象考查的知识重点是法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感应定律的表达式 ，有下列四个模型转换：tBSntE)(1B 变化，S 不变（1）B 均匀变化B 随时间均匀变化如果 B 随时间均匀变化，则可以写出 B 关于时间 t 的表达式，再用法拉第电磁感应定律解题，如例 2 第（1）问B 随位置均匀变化B 随位置均匀变化的解题方法类似于 B 随时间均匀变化的情形（2）B 非均匀变化B 非均匀变化的情
7、况在高中并不多见，如例 2 第（3）问如果题目给出了 B 非均匀变化的表达式，也可用后面给出的求导法求解例 2（2000上海23）如图 2 所示，固定于水平桌面上的金属框架 cdef，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒 ab 搁在框架上，可无摩擦滑动此时 abed 构成一个边长为 l 的正方形，棒的电阻为 r，其余部分电阻不计开始磁感强度为 B0（1）若从 t=0 时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为 k，同时棒保持静止求棒中的感应电流在图上标出感应电流的方向；（2）在上述（1）情况中，始终保持棒静止，当 t=t1 末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？南方学科网 4（3）若 t=0 时刻起，磁感
8、强度逐渐减小，当棒以恒定速度 v 向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感强度应怎样随时间变化（写出 B 与 t 的关系式）？解析：将加速度的定义式和电磁感应定律的表达式类比，弄清 k 的物理意义，写出可与 相对照的 B 的表达式 ；atvt0 kt0第（3）问中 B、 S 均在变化，要能抓住产生感应电流的条件（回路闭合；回路中有磁通量的变化）解题（1）磁感强度均匀增加，每秒增量为 k，得kt感应电动势 2SltBE感应电流 rklI2 由楞次定律可判定感应电流方向为逆时针，棒 ab 上的电流方向为 ba（2）t=t 1 时，B=B 0+kt1又F=BIl rkltBF310)(（3）
9、棒中不产生感应电流回路中总磁通量不变Bl （l+vt）=B 0l2得 vtl 2B 不变，S 变化（1）金属棒运动导致 S变化金属棒在匀强磁场中做切割磁感线的运动时，其感应电动势的常用计算公式为，此类题型较常见，如例 3LvE例 3（2002上海22）如图 3 所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内， d ab图 2eB0cfma v0 B图 3 RxOl南方学科网 5距离为 l=0.2m，在导轨的一端接有阻值为 R=0.5 的电阻，在 x0 处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度 B=0.5T一质量为 m=0.1kg 的金属直杆垂直放置在导轨上，并以v0=2m/s 的初速度进入磁场，在
10、安培力和一垂直于杆的水平外力 F 的共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为 a=2m/s2、方向与初速度方向相反设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好求：（1）电流为零时金属杆所处的位置；（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力 F 的大小和方向；（3）保持其他条件不变，而初速度 v0 取不同值，求开始时 F 的方向与初速度 v0 取值的关系解析：杆在水平外力 F 和安培力的共同作用下做匀变速直线运动，加速度 a 方向向左杆的运动过程：向右匀减速运动速度为零向左匀加速运动；外力 F 方向的判断方法：先假设，再根据结果的正负号判断（1）感应电动势 E=Blv，感应电流 I= RBlvE
11、 I=0 时 v=0x= =1（m）av2（2）当杆的速度取最大速度 v0 时，杆上有最大电流 Im= RBlv0RBlvIm0安培力 F 安 =BIl= =0.02（N）l20向右运动时 F+F 安 =ma，得 F=ma- F 安 =0.18（N ） ，方向与 x 轴相反向左运动时 F- F 安 =ma，得 F=ma+F 安 =0.22（N） ，方向与 x 轴相反（3）开始时 v=v0，F 安 =BIml= RvlB02F+F 安 =ma，F=ma- F 安 =ma- l02当 v00，方向与 x 轴相反2lBaR南方学科网 6当 v0 =10m/s 时，F0，方向与 x 轴相同2lBmaR
12、（2）导轨变形导致 S变化常常根据法拉第电磁感应定律解题，如例 4.例 4 （2001上海22）如图 4 所示，半径为 a 的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为B0.2T，磁场方向垂直纸面向里，半径为 b 的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中 a0.4m，b0.6m，金属环上分别接有灯 L1、L 2，两灯的电阻均为 R02，一金属棒 MN 与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计（1）若棒以 v05m/s 的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径 OO的瞬时（如图所示） ，MN 中的电动势和流过灯L1 的电流（2）撤去中间的金属棒 MN 将右面的半圆环 OL2O以 OO为轴向上翻转
13、 90，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为（T/s ） ，求 L1 的功率4tB解析：（1）当棒滑过圆环直径 OO的瞬时，棒的有效长度为 2a，灯 L1、 L2 是并联的E1B2av0.20.85 0.8（V ）（A）4.08RI（2）将右面的半圆环 OL2O以 OO为轴向上翻转 90 后，圆环的有效面积为半圆其中 B 随时间是均匀变化的，注意此时灯 L1、L 2 是串联的（V ）3.02atE1.2810 2（W）RP21)(另外还可在 S 不规则变化上做文章，如金属棒旋转、导轨呈三角形等等3. “双杆+导轨”模型例 5足够长的光滑金属导轨 E F，P Q 水平放置，质量为 m 电阻为 R
14、 的相同金属棒ab，cd 与导轨垂直且接触良好，磁感强度为 B 的匀强磁场垂直导轨平面向里如图 5 所示。现用恒力 F 作用于 ab 棒上，使它向右运动。则图 4南方学科网 7A安培力对 cd 做正功使它向右加速运动B外力 F 做的功等于克服 ab 棒上安培力的功C外力作的功等于回路产生的总热量和系统的动能D回路电动势先增后减两棒共速时为零解析：开始时 ab 棒在外力 F 作用下向右切割磁感线产生电磁感应，ab 棒相当于电源，由右手定则，b 端电势较低，a 端电势高，形成由 bacdb 逆时转电流。电流通过 ab 和 cd 棒，由左手定则，ab 棒安培力向左，做负功，阻碍速度 增加；cd 棒安
15、培力向右，做正功，使 cd 棒动能增加速度 增大。外1v 2v力除克服 ab 棒上安培力做功外，还要对 cd 棒做正功。故 A 对 B 错。由于外力和安培力的作用，开始时 ab 棒加速度大于 cd 棒，两者速度差增大，回路感应电动势增大，感应电流增大，使 ab 加速度减小，cd 加速度增大，当两棒加速度)(21vBlE相等时速度差最大，回路感应电动势最大。以后 ab 和 cd 棒在外力 F 作用下以相同加速度运动，速度差恒定不可能共速，电动势恒定不会等于零，故 D 错。根据能量守恒整个过程外力做的功等于回路产生的总热量和系统的动能，C 项正确。所以正确选项为 A、C。题后：电磁感应中的金属棒导
16、轨问题，可以用力学中滑块 A 在滑板 B 上运动作为物理模型。滑板 B 与地面光滑接触，摩擦力分别对 A、B 做负功和正功,使部分机械能转化为内能，相当于双金属棒情景。若 B 固定于地面，则类似单金属棒。摩擦力做的总功等于系统内能增量，相当于安培力做功的情景。例 6如图 6 相距为 L 的两光滑平行导轨，平行放置在倾角为 的斜面上，导轨的右端接有电阻 R（轨道电阻不计） ，斜面处在一匀强磁场 B 中，磁场方向垂直于斜面向上，质量为 m，电阻为 2R 的金属棒 ab 放在导轨上，与导轨接触良好，由静止释放，下滑距离 S后速度最大，则A下滑过程电阻 R 消耗的最大功率为 ；LBSing2B下滑过程
17、电阻 R 消耗的最大功率为 ；Rim23图 5 E FP Qd bc aFRB图 6S南方学科网 8C下滑过程安培力做功 ；24239RLBSingmD下滑过程安培力做功 。i24239Sing解析：ab 棒下滑过程受重力，轨道支持力和安培力作用。加速度 a=0 时速度最大，感应电动势最大，电路中电流最大，电阻消耗热功率最大。当 a=0，有 mgsin =BIL= ， 。mvRLB32 2sin3LBgR ；gvREImsin总回路总功率 ，RLBIP22si3总总电阻消耗功率 。总PgRI31in22所以 A 答案正确，B 为回路总功率。在下滑过程中，安培力 是变力，不能用功定义式vLBIF
18、32计算。也不等于系统动能sinsin322 mgSgRLFSW。故 C 错。232i91LBmvEK考虑到安培力做功等于系统（回路）产生总热量，由能量守恒，重力势能转化为棒动能和系统内能 mgh = + Q2v 2)sin3(21sin1LBmgRgSghWF 安选项 D 正确。所以本题正确答案为 A. D题后：犹如滑动摩擦力对系统做功，使系统内能增加一样，安培力做功也使系统内能南方学科网 9增加。当电源内阻不计时，系统热量就是外电路电阻上热量。否则外电阻热量只是总热量的一部分。其次，安培力与摩擦力又有区别。滑动摩擦力 与压力成正比，通常表现为NF恒力。而安培力 正比于速度 v，通常为变力。
19、因此，求安培力做的功，除非vRLBF总 2恒力，一般不能用功的定义式计算，这时用能量知识（如动能定理或能量守恒）可方便求出 或，再依两者关系按题意求出答案。安W例 7两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为 L，导轨上面横放着两根导体棒 ab 和 cd，构成矩形回路。如图 7 所示，两根导体棒的质量皆为 m 电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨面内都有竖直向上的匀强磁场，磁场强度为 B。设两导棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时，棒 cd 静止，棒 ab 有指向 cd 的速度 V0如图。若两根导体棒在运动中始终不接触。求（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少？（
20、2）当棒 ab 的速度变为初速度的 3/4 时，棒 cd 的加速度时多少？解析：开始时 ab 向 cd 靠近，穿过回路的磁通量在减少，回路发生电磁感应现象，电流方向由楞次定律可判断从 abdca。于是电路中产生焦耳楞次热。同时感应电流产生的安培力对 ab 棒作负功使速度减小，对 cd 棒做正功使其向右加速运动。随着 cd 棒的运动，ab、cd 相对运动速度减小，感应电流 也减小，当两棒共速时，回路磁vrRlBI2通量不变，感应电动势消失，电流消失，至此回路产生热量最多。按上述分析，取两棒为系统，其运动过程等效于力学中光滑水平面上滑板滑块模型。因两棒长度相等安培力等值反向合力为零，系统动量守恒，
21、机械能的减少量即为系统产生的总热量。其次只需求出 vab=3v0/4 时 ab 棒所受安培力即可由牛顿定律求出加速度 a 。取 ab 棒 v0 为初态，共速 v 为末态，由动量守恒有mv0=2mv ， v=v0/2 。再由能量守恒，求得整个过程产生热量 20220411mvmvEQK。图 7南方学科网 10取初态 v0 及 ab 速度 v=3v 0/4 为末态，由动量守恒，可求 cd 棒速度。Mv0=3mv0/4 + mv v=v 0/4 。回路感应电动势： ， 0021)43(BlvvBlE回路电流： ，RlrRI2cd 受安培力： ，04vlF由牛顿定律得加速度： 。02RmlBa三、预测
22、如火如荼的新课程改革体现了培养高素质人才的基本框架从“知识与技能” 、 “过程与方法” 、 “情感态度与价值观”三个方面设计课程目标、课程的内容、结构和实施机制高考的命题趋势也必将体现新课改的精神根据考纲要求掌握的知识， “杆+导轨”模型试题往往以选择题和计算题的题型出现，且多以计算题的面目出现，高考命题也不出乎以上所介绍的四个模型转换的角度，将多个命题变化点进行不同的组合，从而能命出角度多样的新题而多个命题变化点的组合，凸现了对学生能力的考查除考查学生的理解、分析、推理、综合、计算等能力外，试题常常还可以借助函数图象，考查学生的读图、画图能力，以计算题的题型加强对学生进行了这方面的考查例 8
23、（2004上海22）如图 8 所示，水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为 L，一端通过导线与阻值为 R的电阻连接；导轨上放一质量为 m 的金属杆，金属杆与导轨的电阻忽略不计；均匀磁场竖直向下，用与导轨平行的恒定拉力F 作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度 v 也会变化，v 和 F 的关系如右下图.（取重力加速度 g=10 m/s2）（1）金属杆在匀速运动之前做什么运动？（2）若 m=0.5 kg，L=0.5 m， R=0.5，磁感应强度 B 为多大？（3）由 v-F 图线的截距可求得什么物理量？其值为多少？ (m/s) (N)0 4 8 12816图 8
