1、 http:/ 交大家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！三角形内外角平分线有关命题的证明及应用在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的下面来一起学习一下命题1 如图，点 D 是ABC 两个内角平分线的交点，则D=90+ A证明：如图：1 ， ，2122A18012D=180得：12AD由得：12=180D把代入得：180DADD=90 + A点评 利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180，不难证明.命题2 如图，点 D 是ABC 两个内角平分线的交点，则D=90 A证明：如图：DB 和 DC 是ABC 的两条外角
2、平分线，D=180 12http:/ 交大家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！=180 （DBE+ DCF）=180 （A+ 4+A+3）=180 （A+180 ）=180 A90=90 A；点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180，可以证明.命题3 如图3，点 E 是ABC 一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则E= A证明：如图3：1=2，3= 4，A+2 1=2 41+E=4 代入得：E= A点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.http:/ 交大家教http:/
3、10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！命题4 如图，点 E 是ABC 一个内角平分线 BE 与一个外角平分线 CE 的交点，证明:AE 是ABC 的外角平分线.证明：如图3：BE 是ABC 的平分线,可得：EH=EFCE 是ACD 的平分线, 可得：EG=EF过点 E 分别向 AB、AC、BC 所在的直线引垂线，所得的垂线段相等 .即 EF=EG=EHEG=EHAE 是ABC 的外角平分线点评 利用角平分线的性质和判定能够证明应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看例1如图5，PB 和 PC 是ABC 的两条外角平分线已知A=60，请直接写出P 的度数.三角形的三
4、条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：由命题2的结论直接得：P=90 A=90 60=60根据命题2的结论P=90 A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形点评 此题直接运用命题2的结论很简单同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形例 如图6，在ABC 中，延长 BC 到 D,ABC 与ACD 的角平分线相较于 点， BC 与CD 的平分线交与 点，以此类推，若A=96，则 = 度http:/ 交大家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！解析：由命题的结论不难发现规律 A 可以直
5、接得： = 96=3 点评 此题是要找出规律的但对要有命题的结论作为基础知识例（2011湖北鄂州市中考第一大题填空题第八小题，此题分）如图7，ABC 的外角ACD 的平分线 CP 的内角 ABC 平分线 BP 交于点 P，若BPC=40，则CAP=_解析：此题直接运用命题的结论可以知道是ABC 的一个外角平分线，结合命题的结论知道BAC=2BPC, CAP= (180BAC )= (1802BPC )=50点评 对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目例 (2003年山东省“KLT 快乐灵通杯”初中数学竞赛试题 )如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，BAC=30，ACB 的平分线与 ABC 的外角平分线交与 E 点，连接 AE，则AEB= 度http:/ 交大家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！解析：有题目和命题的结论可以知道 AE 是ABC 的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道AEB=ACB ACB=90 90=45点评 从上面的做题过程来看题目中给出的“A=30”这个条件是可以不用的
