1、三角函数的图象和性质典型例题解：在单位圆中，作出锐角 在正弦线 MP，如图 2-9 所示在MPO 中，MP+OMOP=1 即 MP+OM1sin+cos1于 P1，P 2两点，过 P1，P 2分别作 P1M1x 轴，P 2M2x 轴，垂足分kZ【说明】 学会利用单位圆求解三角函数的一些问题，借助单位圆求解不等式的一般方法是：用边界值定出角的终边位置；根据不等式定出角的范围；在0，2中找出角的代表；求交集，找单位圆中重叠的部分；写出角的范围的表达式，注意加周期【例 3】 求下列函数的定义域：解：(1)为使函数有意义，需满足 2sin2x+cosx-10由单位圆，如图 2-12 所示kZ【说明】
2、求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成(4)为使函数有意义，需满足：取 k=0 和-1 时，得交集为-4x- 或 0x函数的定义域为(-4，-0，【说明】 求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围【例 4】 求下列函数的值域：此函数的值域为y|
3、0y11+sinx+cosx0 t-1【说明】 求三角函数的值域，除正确运用必要的变换外，还要注意函数的概念的指导作用，注意利用正、余弦函数的有界性【例 5】 判断下列函数的奇偶性：【分析】 先确定函数的定义域，然后根据奇函数成偶函数的定义判断函数的奇偶性f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)(2)函数的定义域为 R，且f(-x)=sincos(-x)=sin(cosx)=f(x)函数 f(x)=sin(cosx)是偶函数(3)因 1+sinx0，sinx-1，函数的定义域为x|xR 且 x2k既不是奇函数，也不是偶函数【例 6】 求下列函数的最小正周期：【分析】 欲求三角函
4、数的周期，一般是把三角函数 f(x)化成易求周期的函数 y=Asin(x+)+b 或 y=Acos(x+ )+b 的等形式函数 y=Asin(“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数(2)y=cos4x+sin4x=(cos2x+sin2x)2-2sin2xcos2x=|cosx|+|sinx|=f(x)正周期(x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|都成立特别当 x=0 时，有|sinT|+|cosT|=sinT【例 8】 求下列各函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的 x 的集合使 y 取得最大值的 x 的集合为x|x=(2k+1)，kZ使
5、y 取得最小值的 x 的集合为x|x=2k，kZ当 cosx=1，即 x=2k(kZ)时，y 取得最大值 3【说明】 求三角函数的最值的类型与方法：1形如 y=asinx+b 或 y=acosx+b，可根据 sinx，cosx 的有界性来求最值；2形如 y=asin2x+bsinx+c 或 y=acos2x+bcosx+c 看成是关于 sinx 或cosx 的二次函数，变为 y=a(sinx+m)2+k 或 y=a(cosx+m)2+k，但要注意它与二次函数求最值的区别，此时|sinx|1，|cosx|1【例 9】 求下列函数的单调区间：【分析】 复杂三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及
6、单调区间得出的(2)函数 y=sin2x-2sinx+2，是由 y=u2-2u+2 及 u=sinx 及复合而成，|u|1【例 10】 当 a0，求函数 f(x)=(sinx+a)(cosx+a)的最大值、最小值，及相应的 x 的取值【分析】 本题对 f(x)解析式的变换关键在于认识解析式中两项间的内在联系，从而断定 f(x)解析式中的平方关系，另外本题含字母系数，要分清常数和变量，还要有对字母 a 作分类讨论的准备解：f(x)=(sinx+a)(cosx+a)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a 2由于 a 是常数，故这里只要求 y=(sinx+cosx+a)2的最大值、最小值合物线的图象如图 2-14 所示两种可能
