1、竞赛讲座 09圆基础知识如果没有圆，平面几何将黯然失色圆是一种特殊的几何图形，应当掌握圆的基本性质，垂线定理，直线与圆的位置关系，和圆有关的角，切线长定理，圆幂定理，圆和圆的位置关系，多边形与圆的位置关系圆的几何问题不是独立的，它与直线形结合起来，将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何问题， “三角形的心” ， “几何著名的几何定理” ， “共圆、共线、共点” ， “直线形” 将构成圆的综合问题的基础本部分着重研究下面几个问题：1角的相等及其和、差、倍、分；2线段的相等及其和、差、倍、分；3二直线的平行、垂直；4线段的比例式或等积式；5直线与圆相切；6竞赛数学中几何命题的等价性命题分析例 1已知 为
2、平面上两个半径不等的 和 的一个交点，两圆的外公切线分别为A1O2， 、 分别为 、 的中点，求证： 2,QP1M21QP2 2121AM例 2证明：唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形例 3延长 至 ，以 为直径作半圆，圆心为 ， 是半圆上一点， 为锐BDHGBG角 在线段 上， 在半圆上， ，且 ， 求证：EHZEZB2EZDTHAGT1例 4求证：若一个圆外切四边形有两条对边相等，则圆心到另外两边的距离相等例 5设 是 中最小的内角，点 和 将这个三角形的外接圆分成两段弧，CC是落在不含 的那段弧上且不等于 与 的一个点，线段 和 的垂直平分线分别交线UBABC段
3、于 和 ，直线 和 相交于 证明： VWVTTU例 6菱形 的内切圆 与各边分别切于 ，在 与 上分别作 切ABDOHGFE,O线交 于 ，交 于 ，交 于 ，交 于 ，求证： MCNPDQMNP例 7 和 与 的三边所在直线都相切， 为切点，并且1O2 ,的延长线交于点 求证：直线 与 垂直FHEG, ABC例 8在圆中，两条弦 相交于 点， 为弦 上严格在 、 之间的点过CDB,EEB的圆在 点的切线分别交直线 、 于 已知 ，求 （用 表示） MD, GF,tAMFCt例 9设点 和 是 的边 上的两点，使得 又设 和 分别EABDN是 、 的内切圆与 的切点求证： AB EN11例 1
4、0设 满足 ， ，过 作 外接圆 的切线，交直线C90CBW于 ，设 关于直线 的对称点为 ，由 到 所作垂线的垂足为 ， 的中点为CBEAXA， 交 于 点，证明直线 为 外接圆的切线YWZDZ例 11两个圆 和 被包含在圆 内，且分别现圆 相切于两个不同的点12和 经过 的圆心经过 和 的两个交点的直线与 相交于点 和 ，直线MN1212 AB和直线 分别与 相交于点 和 求证： 与 相切AB1CD2例 12已知两个半径不相等的 和 相交于 、 两点，且 、 分别与1O2MN1O2 内切于 、 两点求证： 的充要条件是 、 、 三点共线OSTNMST例 13在凸四边形 中， 与 不平行，
5、过 、 且与边 相切于点 ，ABCD1ABCDP 过 、 且与边 相切于点 和 相交于 、 ，求证： 平分线段2CQ1O2EFE的充要条件是 PQ例 14设凸四边形 的两条对角线 与 互相垂直，且两对边 与 不平ABCACBDABC行点 为线段 与 的垂直平分线的交点，且在四边形的内部求证： 、 、 、D四点共圆的充要条件为 DPDS训练题1 内接于 ， ，过 、 两点 的切线交于 ， 为 的中O90OPM点，求证：（1） ；（2） BACPMcosPACBM2已知 分别是 外接圆上不包含 的弧 的中点， 分别A, ,AB,， C和 、 相交于 、 两点， 分别和 、 相交于 、 两点， 分别
6、和CBNQ、 相交于 、 两点求证： 的充要条件是 为等边三角形 RSRSPQ3以 的边 为直径作半圆，与 、 分别 交于点 和 ，过 、 作ACABCDE的垂线，垂足分别为 、 线段 、 交于点 求证： FGDEFMBCA4在 中，已知 内的旁切圆与 相切于 ， 内的旁切圆与 相切于 ，BE过 和 的中点 和 作一直线，求证：直线 平分 的周长，且与 的平分DEMNN线平行5在 中，已知，过该三角形的内心 作直线平行于 交 于 在 边上I F取点 使得 求证： PC3BFP216半圆圆心为 ，直径为 ，一直线交半圆于 ，交 于 （OADC,ABM） 设 是 与 的外接圆除点 外之另一交点求证
7、：MDAB,KCO为直角 K7已知， 是锐角 的角平分线， ， ，BB且 求证： 2cosDA28 为 的边 上任一点， 分别为 、 、 的内切圆MCr,21AMCBAC半径； 分别为这三个三角形的旁切圆半径（在 内部） ,21求证： r219设 是 的边 上的一个内点， 交 外接圆于 ， 、 是 分别DABCADBCXPQ到 和 的垂足， 是直径为 的圆证明： 与 相切当且仅当 ABOXPQOACB10若 是圆的弦， 是 的中点，过 任意作弦 和 ，连 分别交MMEFD,于 ，则 YX,Y11设 为 的垂心， 为该三角形外接圆上的一点， 是高 的垂足，并设HABCPBH与 都是平行四边形， 与 交于 证明： PAQBRAQBRXAP12在 中， 的平分线分别交 及三角形的外接圆于 和 ， 是内切圆圆DKI心证明：（1） ；（2） IKID11IKDC
