1、竞赛讲座 21应用题选讲应用题联系实际，生动地反映了现实世界的数量关系，能否从具体问题中归纳出数量关系，反映了一个人分析问题、解决问题的实际能力.列方程解应用题，一般应有审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等几个步骤.下面从几个不同的侧面选讲一部分竞赛题，从中体现解应用题的技能和技巧.1.合理选择未知元例 1 （1983 年青岛市初中数学竞赛题）某人骑自行车从 A 地先以每小时 12 千米的速度下坡后，以每小时 9 千米的速度走平路到 B 地，共用 55 分钟.回来时，他以每小时 8 千米的速度通过平路后，以每小时 4 千米的速度上坡，从 B 地到 A 地共用 小时，求 A、B 两地相距多少
2、千米？解法 1 （选间接元）设坡路长 x 千米，则下坡需依题意列方程：解之，得 x=3.答：A、B 两地相距 9 千米.解法 2（选直接元辅以间接元）设坡路长为 x 千米，A、B 两地相距 y 千米，则有如下方程组解法 3（选间接元）设下坡需 x 小时，上坡需 y 小时，依题意列方程组：例 2 （1972 年美国中学数学竞赛题）若一商人进货价便谊 8%，而售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的 x%增加到(x+10)%，x 等于多少？解 本题若用直接元 x 列方程十分不易，可引入辅助元进货价 M，则 0.92M 是打折扣的价格，x 是利润，以百分比表示，那么写出售货价（固定不变）
3、的等式，可得：M（1+0.01x）=0.92M1+0.01（x+10）.约去 M，得1+0.01x=0.921+01.1（x+10）.解之，得 x=15.例 3 在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时候重合？分析 选直接元，设两针在 3 点 x 分钟时重合，则这时分针旋转了 x 分格，时针旋转了（x-15）分析，因为分针旋转的速度是每分钟 1 分格，旋转 x 分格需要 分钟，时针旋转的速度是每分钟 分格，旋转（x-15）分格要例 4（1985 年江苏东台初中数学竞赛题）从两个重为 m 千克和 n 千克，且含铜百分数不同的合金上，切下重量相等的两块，把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一
4、起熔炼后，两者的含铜百分数相等，问切下的重量是多少千克？解 采用直接元并辅以间接元，设切下的重量为 x 千克，并设 m 千克的铜合金中含铜百分数为 q1，n 千克的铜合金中含铜百分数为 q2，则切下的两块中分别含铜 xq1千克和 xq2千克，混合熔炼后所得的两块合金中分别含铜xq 1+(n-x)q2千克和xq 2+(m-x)q1千克，依题意，有：2.多元方程和多元方程组例 5 （1986 年扬州市初一数学竞赛题）A、B、C 三人各有豆若干粒，要求互相赠送，先由 A给 B、C，所给的豆数等于 B、C 原来各有的豆数，依同法再由 B 给 A、C 现有豆数，后由 C 给A、B 现有豆数，互送后每人恰
5、好各有 64 粒，问原来三人各有豆多少粒？解 设 A、B、C 三人原来各有 x、y、z 粒豆，可列出下表：则有：解得：x=104，y=56，z=32.答：原来 A 有豆 104 粒，B 有 56 粒，C 有 32 粒.例 6（1985 年宁波市初中数学竞赛题）某工厂有九个车间，每个车间原有一样多的成品，每个车间每天能生产一样多的成品，而每个检验员检验的速度也一样快，A 组 8 个检验员在两天之间将两个车间的所有成品（所有成品指原有的和后来生产的成品）检验完毕后，再去检验另两个车间的所有成品，又用了三天检验完毕，在此五天内，B 组的检验员也检验完毕余下的五个车间的所有成品，问 B 组有几个检验员
6、？解 设每个车间原有成品 x 个，每天每个车间能生产 y 个成品；则一个车间生产两天的所有成品为（x+2y）个，一个车间生产 5 天的所有成品为(x+5y)个，由于 A 组的 8 个检验员每天的检验速度相等，可得解得：x=4y一个检验员一天的检验速度为：又因为 B 组所检验的是 5 个车间，这 5 个车间生产 5 天的所有成品为 5(x+5y)个，而这5(x+5y)个成立要 B 组的人检验 5 天，所以 B 组的人一天能检验(x+5y)个.因为所有检验员的检验速度都相等，所以，(x+5y)个成品所需的检验员为：（人）.答：B 组有 12 个检验员.3.关于不等式及不定方程的整数解例 7（198
7、5 年武汉市初一数学竞赛题）把若干颗花生分给若干只猴子，如果每只猴子分 3 颗，就剩下 8 颗；如果每只猴子分 5 颗，那么最后一只猴子得不到 5 颗，求猴子的只数和花生的颗数.解：设有 x 只猴子和 y 颗花生，则：y-3x=8, 5x-y5， 由得：y=8+3x, 代入得 5x-(8+3x)5, x6.5因为 y 与 x 都是正整数，所以 x 可能为 6，5，4，3，2，1，相应地求出 y 的值为26，23，20，17，14，11.经检验知，只有 x=5，y=23 和 x=6，y=26 这两组解符合题意.答：有五只猴子，23 颗花生，或者有六只猴子，26 颗花生.例 8（1986 年上海初
8、中数学竞赛题）在一次射箭比赛中，已知小王与小张三次中靶环数的积都是 36，且总环数相等，还已知小王的最高环数比小张的最高环数多（中箭的环数是不超过10 的自然数），则小王的三次射箭的环数从小到大排列是多少？解 设小王和小张三次中靶的环数分别是 x、y、z 和 a、b、c,不妨设 xyz，abc，由题意，有： 因为环数为不超过 10 的自然数，首先有 z10，否则与式矛盾.若设 z=9,则由知：xy=4,x=2,y=2,或 x=1,y=4,x+y+z=13 或 x+y+z=14.又由及 cz 知，c|36，c=6，这时，ab=6.a=2，b=3，或 a=1，b=6a+b+c=11 或 a+b+c
9、=13又由知：x+y+z=a+b+c=13取 x=2，y=2，z=9.答：小王的环数分别为 2 环，2 环，9 环.例 9（1980 年苏联全俄第 6 届中学生物理数学竞赛题）一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的乘客人数相等，起初，每辆汽车乘了 22 人，结果剩下一人未上车；如果有一辆汽车空车开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上，已知每辆汽车最多只能容纳 32 人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？解 设起初有汽车 k 辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘的旅客为 n 名，显然，k2，n32，由题意，知：22k+1=n(k-1)，k-1=1，或 k-1=23,即 k=2，或 k=24.当 k
10、=2 时，n=45 不合题意，当 k=24 时,n=23 合题意，这时旅客人数为 n(k-1)=529.答：起初有 24 辆汽车，有 529 名旅客4.应用题中的推理问题竞赛中常见的应用题不一定是以求解的面目出现，而是一种逻辑推理型.解答这类题目不仅需要具备较强的分析综合能力，还要善于用准确简练的语言来表述自己正确的逻辑思维.例 10（1986 年加拿大数学竞赛题）有一种体育竞赛共含 M 个项目，有运动员 A、B、C 参加，在每个项目中，第一、二、三名分别得 p1、p 2、p 3分，其中 p1、p 2、p 3为正整数且p1p 2p 3，最后 A 得 22 分，B 与 C 均得 9 分，B 在百
11、米赛中取得第一，求 M 的值，并问在跳高中谁取得第二名？分析 考虑三个得的总分，有方程：M(p1+p2+p3)=22+9+9=40, 又 p 1+p2+p31+2+3=6， 6MM(p 1+p2+p3)=40，从而 M6.由题设知至少有百米和跳高两个项目，从而 M2，又 M|40，所以 M 可取 2、4、5.考虑 M=2，则只有跳高和百米，而 B 百米第一，但总分仅 9 分，故必有：9p 1+p3,8，这样 A 不可能得 22 分.若 M=4，由 B 可知：9p 1+3p3，又 p31，所以 p16,若 p15，那么四项最多得 20 分，A 就不可能得 22 分，故 p1=6.4（p 1+p2
12、+p3）=40,p 2+p3=4.故有：p 2=3,p3=1,A 最多得三个第一，一个第二，一共得分 36+3=2122，矛盾.若 M=5，这时由 5(p1+p2+p3)=40，得：p1+p2+p3=8.若 p32，则：p1+p2+p34+3+2=9，矛盾，故 p3=1.又 p1必须大于或等于 5,否则,A 五次最高只能得 20 分,与题设矛盾,所以 p15.若 p16，则 p2+p32，这也与题设矛盾，p 1=5，p 2+p3=3，即 p2=2，p 3=1.A=22=45+2.故 A 得了四个第一，一个第二；B=9=5+41，故 B 得了一个第一，四个第三；C=9=42+1，故 C 得了四个
13、第二，一个第三.练 习五1.选择题（1）打开 A、B、C 每一个阀门，水就以各自不变的速度注入水槽.当所有三个阀门都打开时，注满水槽需 1 小时；只打开 A、C 两个阀门，需要 1.5 小时；如果只打开 B、C 两个阀门，需要 2 小时，若只打开 A、B 两个阀门时，注满水槽所需的小时数是（ ）.（A）1.1 （B）1.1 （C）1.2 （D）1.25 (E)1.75（2）两个孩子在圆形跑道上从同一点 A 出发，按相反方向运动，他们的速度是每秒 5 英尺和每秒 9 英尺，如果他们同时出发并当他们在 A 点第一次再相遇的时候结束，那么他们从出发到结束之间相遇的次数是（ ）.（A）13 （B）25
14、 （C）44 （D）无穷多 （E）这些都不是（3）某超级市场有 128 箱苹果，每箱至少 120 只，至多 144 只，装苹果只数相同的箱子称为一组，问其中最大一组的箱子的个数 n，最小是（ ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）24 （E）25（4）两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是 p:1，而在另一个瓶子中是 q:1，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的容积之比是（ ）.（5）汽车 A 和 B 行驶同样的距离，汽车 A 以每小时 u 千米行驶距离的一半并以每小时 千米行驶另一半，汽车 B 以每小时 u 千米行驶所行时间的一半并以每小时 千米行驶另一半，汽车
15、 A 的平均速度是每小时 x 千米，汽车 B 的平均速度是每小时 y 千米，那么我们总有（ ）（A）xy (B)xy (C)xy (D)xy (E)xy2.填空题（1）已知闹钟每小时慢 4 分钟，且在 3 点半时对准，现在正确时间是 12 点，则过正确时间_分钟，闹钟才指到 12 点上.（2）若 b 个人 c 天砌 f 块砖，则 c 个人用相同的速度砌 b 块砖需要的天数是_.（3）某人上下班可乘火车或汽车，若他早晨上班乘火车则下午回家乘汽车；又假若他下午回家乘火车则早晨上班乘汽车，在 x 天中这个人乘火车 9 次，早晨乘汽车 8 次，下午乘汽车 15次，则 x=_.（4）一个年龄在 13 至
16、 19 岁之间的孩子把他自己的年龄写在他父亲年龄的后面，从这个新的四位数中减去他们年龄差的绝对值得到 4289，他们年龄的和为_.（5）一个城镇的人口增加了 1200 人，然后这新的人口又减少了 11%，现在镇上的人数比增加 1200 人以前还少 32 人，则原有人口为_人.3.（1982-1983 年福建省初中数学竞赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字小于其余各位数字，而第二位数字大于其余各位数字，第三位数字等于首末两位数字之和的二倍，求此四位数.4.（第 2 届祖冲之杯）甲乙两人合养了几头羊，而每头羊的卖价又恰为 n 元，两人分钱方法如下：先由甲拿 10 元，再由乙拿 10 元，如此轮流，
17、拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该分给乙多少钱？5.（1986 年湖北省荆州地区初中数学竞赛题）完成同一工作，A 独做所需时间为 B 与 C 共同工作所需时间的 m 倍，B 独做所需时间为 A 与 C 共同工作所需时间的 n 倍，C 独做所需时间为A 与 B 共同工作所需时间的 x 倍，用 m，n 表示出 x 来.6.（1988 年江苏省初中数学竞赛题）今有一个三位数，其各位数字不尽相同，如将此三位数的各位数字重新排列，必可得一个最大数和一个最小数（例如，427，经重新排列得最大数742，最小数 247），如果所得最大数与最小数之差就是原来的那个三位数，试求这个三位数.7
18、.（1978 年四川省数学竞赛题）某煤矿某一年产煤总量中，除每年以一定数量的煤作为民用、出口等非工业用途外，其余留作工业用煤，按照该年度某一工业城市的工业用煤总量为标准计算，可供这样的三个工业城市用六年，四个这样的城市用五年（当然每年都要除去非工业用煤的那一个定量），问如果只供一个城市的工业用煤，可以用多少年？练习五 岁 设从首位起，各位数字顺次为，则，且，又（）且，故（）为奇数，这时（），略设、单独完成同一工作所需时间分别为、，则单位时间他们可分别完成全部工作的 、 、 ，依题意有：由上面三式，可得：设三位数为 ，重排后最大数为 则最小数为 于是有由于，由上式有，（），（）可求得，设该煤矿该年度产煤总量为，每年非工业用煤量为，该工业城市该年工业用煤量为，并设只供这样一个城市工业用煤可用年，由题意得方程组： 由与得 从、三式中消去、，得
