第13讲垂直的判定与性质.doc

1、第 13 讲 垂直的判定与性质1. 线面垂直的定义：如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，则直线 与平面 互相垂直，记作ll. 平面 的垂线， 直线 的垂面，它们的唯一公共点 叫做垂足.（线线垂直 线面垂直）ll P2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若 ， ， B， ， ，则 mlnmnl3. 面面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作 .4. 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直 面面垂直）5. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平

2、行. （线面垂直 线线平行）6. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若 ， ， ， ，则 .（面面垂直 线面垂直）lala【例 1】四面体 中， 分别为 的中点，且 ， ，求证：ABCD,BEF,ADBC2EFAC90BD平面 .BD证明：取 的中点 ，连结 ， 分别为 的中点， ， .G,G12/12/FB又 ，在 中， ，,A12FAEF221GFAEF ， ，又 ，即 ， ，EBDC90BBDCDC 平面 .【例 2】已知棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 是 A1B1 的中点，求直线 AE 与平面 A

3、BC1D1 所成的角的正弦值.解：取 CD 的中点 F，连接 EF 交平面 于 O，连 AO.由已知正方体，易知 平面 ，所以 为所求.EO1在 中， ， ，RtA122A215()E.0sin5E所以直线 AE 与平面 所成的角的正弦值为 .1BCD105【例 3】三棱锥 中， ， 平面 ABC，垂足为PAPAC， OO，求证：O 为底面ABC 的垂心 .证明：连接 OA、 OB、 OC， 平面 ABC， .,PBCA又 ，B， ，得 ,COB平 面 ， 平 面 ， O 为底面ABC 的垂心.【例 4】已知 ，斜边 BC/平面 ， AB，AC 分别与RtA,A 平面 成 30和 45的角，已

4、知 BC=6，求 BC 到平面 的距离 .解：作 于 ， 于 ，则由 ，得1B1C1/C，且 就是 BC 到平面 的距离，C设 ，连结 ，则 ，1x1,1130,45B ，2,A在 中， ， ， ，即 BC 到平面 的距离为 Rt6,9A26x6x6【例 5】如图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形且C 1CB=C 1CD=BCD=60,（1）证明：C 1CBD； （2）当 的值为多少时，可使 A1C面C1BD？C1B1CBAB DCAEFG解：（1）证明：连结 A1C1、 AC，AC 和 BD 交于点 O，连结 C1O，四边形 ABCD 是菱形，ACBD ，BC= CD又

5、BCC 1=DCC 1，C 1C 是公共边，C 1BCC 1DC，C 1B=C1DDO= OB，C 1OBD，但 ACBD，ACC 1O=OBD平面 AC1，又 C1C 平面 AC1，C 1CBD.（2）由(1)知 BD平面 AC1，A 1O 平面 AC1，BDA 1C，当 =1 时，平行六面体的六个面1是全等的菱形，同理可证 BC1A 1C，又BDBC 1=B， A 1C平面 C1BD.【例 1】已知正方形 ABCD 的边长为 1，分别取边 BC、CD 的中点 E、F，连结 AE、EF、AF，以AE、EF、FA 为折痕，折叠使点 B、C、D 重合于一点 P.（1）求证：APEF ；（2）求证

6、：平面 APE平面 APF.证明：（1）如右图，APE=APF =90，PEPF =P， PA平面 PEF. EF 平面 PEF，PAEF.（2）APE= EPF=90 ，APPF =P，PE平面 APF.又 PE 平面 PAE，平面 APE平面 APF.【例 2】如图, 在空间四边形 ABCD 中， ,ABCDA分别是 的中点，求证：平面 平面 . EFG,CDAEFG证明： 为 AC 中点，所以 .B同理可证 面 BGD. ,GC又易知 EF/AC，则 面 BGD.EF又因为 面 BEF，所以平面 平面 .B【例 3】如图，在正方体 中，E 是 的中点，求证：1AD1C 1ABED平 面

7、平 面证明：连接 AC，交 BD 于 F，连接 ，EF， ， .A1由正方体 ，易得 ， ，F 是 BD 的中点，1BCD1B所以 ，得到 是二面角 的平面角.1,AFE1E设正方体 的棱长为 2，则1A， ，221 ()6222()3EFC.21 9 ，即 ，所以 .21FE11ABDE平 面 平 面【例 4】正三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1=2AB，D、E 分别是侧棱 BB1、CC 1 上的点，且 EC=BC=2BD，过A、 D、 E 作一截面，求： （ 1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.解：（1）延长 ED 交 CB 延长线于 F，/,.120BC

8、又 ， .30FA90 ， 为截面与底面所成二面角的平,AEC面角. 在 RtAEC 中，EC=AC，故得EAC=45 .（2）设 AB=a，则 ，3112,38ABCEDBCEDaBDaVhSa. .33,48ABCABCVS a ABCEV【例 5】如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PA 垂直于底面，E、F 分别是 AB、PC 的中点.（1）求证：CDPD ； （2）求证：EF平面PAD；（3）当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大角时，直线 EF平面 PCD？解：（1）证明：PA底面 ABCD，CD 平面 ABCD，PACD.又 CDAD，CD平面 PAD.

9、 CDPD .EDC1B1A1CBA（2）证明：取 CD 中点 G，连 EG、FG， E 、F 分别是 AB、PC 的中点，EGAD ，FGPD. 平面 EFG 平面 PAD，故 EF平面 PAD.（3）当平面 PCD 与平面 ABCD 成 45角时，直线 EF面 PCD.证明：G 为 CD 中点，则 EGCD,由(1)知 FGCD，故EGF 为平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角的平面角.即EGF=45，从而得ADP=45，AD=AP .由 Rt PAERtCBE,得 PE=CE. 又 F 是 PC 的中点，EFPC ， 由 CDEG，CDFG，得 CD平面 EFG，CDEF 即 EF

10、CD，故 EF平面 PCD.【例 1】把直角三角板 ABC 的直角边 BC 放置于桌面，另一条直角边 AC 与桌面所在的平面 垂直，a 是内一条直线，若斜边 AB 与 a 垂直，则 BC 是否与 a 垂直？解：【例 2】如图，AB 是圆 O 的直径， C 是圆周上一点，PA平面 ABC. （1）求证：平面 PAC平面 PBC；（2）若 D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径 AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面. 解：（1）证明：C 是 AB 为直径的圆 O 的圆周上一点，AB 是圆 O 的直径， BCAC.又 PA平面 ABC，BC 平面 ABC，BCPA，从而 BC平面 PAC.

11、 BC 平面 PBC， 平面 PAC平面 PBC.（2）平面 PAC平面 ABCD；平面 PAC平面 PBC；平面 PAD平面 PBD；平面 PAB平面ABCD；平面 PAD平面 ABCD.【例 3】三棱锥 中， , 平面 ABC，垂足为 O，求证：PABCPBCOO 为底面ABC 的外心.证明：连接 OA、 OB、 OC， 平面 ABC， .,AP在 PAO、 PBO、 PCO 中， ,90C, PO 边公共.PAB . ,OPCOB所以，O 为底面ABC 的外心.【例 4】三棱锥 中，三个侧面与底面所成的二面角相等， 平面 ABC，垂足为 O，求证：O PO为底面ABC 的内心.【证】作

12、于 D， 于 E， 于 F，连接 OD、 OE、 OF.ABPAC 平面 ABC， ， .P,P,ABCPA又 ,ECF .O平 面 平 面 平 面得 ,A 为三个侧面与底面所成的二面角的平面角. PD即得 ，P PO 边公共， ，得 ，EFODEOF又 . ,ABC O 为底面ABC 的内心.【例 5】在斜三棱柱 A1B1C1ABC 中，底面是等腰三角形，AB=AC ，侧面 BB1C1C底面ABC.（1）若 D 是 BC 的中点，求证：ADCC 1； （2）过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M，若 AM=MA1，求证：截面 MBC1侧面 BB1C1C；（3）如果截面 M

13、BC1平面 BB1C1C，那么 AM=MA1 吗？请你叙述判断理由.aACABBCaA平 面平 面 ACB a解：（1）证明：AB=AC， D 是 BC 的中点，ADBC. 底面 ABC平面 BB1C1C， AD 侧面 BB1C1C, ADCC 1.（2）证明：延长 B1A1 与 BM 交于 N，连结 C1N.AM=MA 1， NA1=A1B1。 A 1B1=A1C1，A 1C1=A1N=A1B1。 C 1NC 1B1.底面 NB1C1侧面 BB1C1C，C 1N侧面 BB1C1C.截面 C1NB侧面 BB1C1C， 截面 MBC1侧面 BB1C1C.（3）过 M 作 MEBC 1 于 E，截

14、面 MBC1侧面 BB1C1C, ME侧面 BB1C1C，又AD侧面 BB1C1C, MEAD ，M、E、D、A 共面.AM侧面 BB1C1C，AMDE. CC 1AD，DECC 1.D 是 BC 的中点，E 是 BC1 的中点. AM=DE = AA1，AM=MA 1.129 （06 年北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥 中， ， 平面 ，PABDAPABCD且 ，点 是 的中点.PABPD（1）求证： ； （2）求证： 平面 ；B/PBEC（3）求二面角 的大小. AC解：（1） PA平面 ABCD，AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又ABAC， AC 平面 ABCD，

15、AC PB. （2）连接 BD，与 AC 相交于 O，连接 EO. ABCD 是平行四边形， O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点， EOPB . 又 PB 平面 AEC，EO 平面 AEC， PB平面 AEC.（3） .15探究创新10 （02 年北京理）如图，在多面体 ABCDA1B1C1D1 中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于 E，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为 c，d 与 a，b，且 ac，bd，两底面间的距离为 h.（1）求侧面 ABB1A1 与底面 ABCD 所成二面角的正切值；（2）证明：EF面ABCD；（3

16、）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式 V 估 =S 中截面 h 来计算.已知它的体积公式是 V= （S 上底面 +4S 中截面 +S 下底面 ） ，试判断 V 估 与 V 的大小关系，并加以6h证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）解：（1）过 B1C1 作底面 ABCD 的垂直平面，交底面于 PQ，过 B1 作 B1GPQ ，垂足为 G.平面 ABCD平面 A1B1C1D1，A 1B1C1=90，ABPQ，ABB 1P.B 1PG 为所求二面角的平面角.过 C1 作 C1HPQ，垂足为 H.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形 B1PQC1 为等腰梯形. PG= （bd ） ， 2又 B1G=h， tanB 1PG= （bd） ，2h（2）证明：AB，CD 是矩形 ABCD 的一组对边，有 ABCD，又 CD 是面 ABCD 与面 CDEF 的交线，AB面 CDEF. EF 是面 ABFE 与面 CDEF 的交线， ABEF . AB 是平面 ABCD 内的一条直线，EF 在平面 ABCD 外， EF面 ABCD.（）V 估 V.证明：ac，bd，VV 估 = = 2 cd+2ab+2（a+c） （b+d）3（a+ c） （b+ d） (4)622hacbdacbdc h1= （ac） （bd）0.12V 估 V .