1、1抽象函数性质综述抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.一、基本定义1、定义 1：（周期函数）对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域的每一个值时，()fxTx都有 ，那么，函数 就叫做周期函数.非零常数 叫做这个函数的周
2、期.()(fxTf2、定义 2：（同一函数图象的对称性）若函数 图象上任一点关于点 （或直线 ）的对称点仍)(xfyPl在函数 的图象上，则称函数 的图象关于点 （或直线 ）对称.yf l3、定义 3：（两个函数图象的对称性）若函数 图象上任一点关于点 （或直线 ）的对称点在函数 的图象上；反过来，函数 图象上任一点关于点 （或直线 ）的对称点也在函数()gx()gl的图象上，则称函数 与 的图象关于点 （或直线 ）对称.fxfy二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明1、若函数 的定义域为 ，且 恒成立，则函数 是以 为周期)(fyR()()fafxb)(xfyTab的周期函数；2、若函数
3、 的定义域为 ，且 恒成立，则函数 的图象关于直线x对称；abx3、若函数 的定义域为 ，且 恒成立，则函数 的图象关于点)(fyR()()faxfbx)(xfy对称；(,0)24、若函数 的定义域为 ，且 恒成立，则函数 是以 为周)(xf()()ff )(f2()Tab期的周期函数；5、若函数 的定义域为 ，则函数 与 的图象关于直线 对称；fyRyfax()yfbxx6、若函数 的定义域为 ，则函数 与 的图象关于点 对称.)(xf()f()f(,0)2ba略证：1、 ， 函数 是以 为周期ab()fxaxbxxfyT的周期函数.2、函数 图象上的任一点 （满足 ）关于直线 的对称点为)
4、(xfy0,Py0()fya，0(,Qab)()xfx00)()xfy点 仍在函数 的图象上，从而函数 的图象关于直线 对称.(f (f 2b3、函数 图象上的任一点 （满足 ）关于点 的对称点为)xfy0(,)Py0)y(,)a，0(,ab(fabxfxa00()fbxfy点 仍在函数 的图象上，从而函数 的图象关于点 对称.Q) )(,2b4、 (2(2)fxf 2()ffa, 函数 是以 为周期的周期函数.)(baxbxxfyT25、函数 图象上的任一点 （满足 ）关于直线 的对称点为()yfax0(,)Pxy0()faxy2bax，0(,Qb()baf点 在函数 的图象上；反之函数 的
5、图象上任一点关于直线 的对称)f ()fb点也在函数 图象上.从而函数 与 的图象关于直线 对称.(yxyax()yfx2bax6、函数 图象上的任一点 （满足 ）关于点 的对称点为)fa0(,)Px0)f(,0)2ba，0(,Qbx(fbaf点 在函数 的图象上；反之函数 的图象上任一点关于点 的对)yx()yfbx(,)称点也在函数 图象上.从而函数 与 的图象关于点 对称.(fa()f02ba三、关于周期性、对称性的若干易混淆的常用结论1、若函数 满足 ，则函数 的图象关于 轴对称；函数 和函数)(xfy()fx)(xfyy)(xfy的图象也关于 轴对称.(fy2、若函数 满足 ，则函数
6、 的图象关于原点对称；函数 和函数)f的图象也关于原点对称.)3、若函数 满足 ，则函数 的图象关于 轴对称；而函数(xfy(fax)(xfyy和函数 的图象关于直线 对称.(fa)a4、若函数 满足 ，则函数 的图象关于原点对称.而函数 和)f ()yfxa函数 的图象关于点 对称.(,05、若函数 满足 ，则函数 的图象关于直线 对称；而函数(xfy)xmf)(xfymx和函数 的图象关于 轴对称.()fm6、若函数 满足 ，则函数 的图象关于点 对称；而函数()f )0,(和函数 的图象关于原点对称.7、若函数 满足 ，则函数 的图象关于直线 对称；函数)(xfy2)fbx)(xfyxb
7、和函数 的图象也关于直线 对称.()f )b8、若函数 满足 ，则函数 的图象关于点 对称；函数 和( (,0)()yfx函数 的图象也关于点 对称.2)b(,0)9、若函数 满足 ，则函数 是以 为周期的周期函数；若函数(xfy)fmxf)(xfy2Tm满足 ，则函数 是以 为周期的周期函数.)(f 4四、函数周期性与对称性的关系1、定义在 上的函数 ,若同时关于直线 和 对称,即对于任意的实数 ,函数R()fxa()bx同时满足 ， ，则函数 是以 为周期的周期()fxax()()fbffx2()Tab函数.2、定义在 上的函数 ,若同时关于点 和点 对称,即对于任意的实数 ,函数()f,
8、0,()同时满足 ， ，则函数 是以 为周期的周期()f ()fxff()函数.3、定义在 上的函数 ,若同时关于直线 和点 对称,即对于任意的实数 ,函数R()fxa(,)bx同时满足 ， ，则函数 是以 为周期的周期函()fxa()fbf(fx4Tab数.3略证：1、 =2()fxab(2)fxab(2)fxab()fx， 函数 是以 为周期的周期函数.ffyTab2、3 同理可证.五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系1、定义在 上的函数 ,若同时关于直线 和 对称,即对于任意的实数 ,函数 同时R()fxxa2x()f满足 ， ，则函数 是以 为周期的周期函数，且是偶函数.()faxf2
9、()af()fTa2、定义在 上的函数 ,若同时关于直线 和点 对称,即对于任意的实数 ,函数 同0x时满足 ， ，则函数 是以 为周期的周期函数，且是奇()2f x4函数.3、定义在 上的函数 ,若同时关于点 和直线 对称,即对于任意的实数 ,函数 同Rx(,0)a2a()f时满足 ， ，则函数 是以 为周期的周期函数，且是偶()()faf()ffx()fT函数.4、定义在 上的函数 ,若同时关于点 和点 对称,即对于任意的实数 ,函数 同时(,) x()f满足 ， ，则函数 是以 为周期的周期函数，且是奇函()()fxf(2)faxf()f2a数.5、若偶函数 关于直线 对称，即对于任意的
10、实数 ,函数 满足 ，则x()f()()ffa是以 为周期的周期函数.()f2T6、若偶函数 关于点 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则()fx(,0)a xx是以 为周期的周期函数.x47、若奇函数 关于直线 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则x()f()()faf是以 为周期的周期函数.()f8、若奇函数 关于点 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则()fx(,0)a xx是以 为周期的周期函数.x2T略证：1、由上述四中的第 1 点即可得函数 是以 为周期的周期函数,()fx2Ta又 ()f()faxfa)fx()fx()fax()(faxf函数 是偶函数.y2、3
11、、4 同理可证.5、6、7、8 可利用上述四中的结论证得.以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解.六、其它结论1、若函数 为偶函数，则函数 的图象关于直线 对称.()yfxa)(xfyxa2、若函数 为奇函数，则函数 的图象关于点 对称.(,0)注：上述两个结论可以通过图象的平移来理解.3、定义在 上的函数 满足 ，且方程 恰有 个实根，则这 个实根R()f()()faff2n2n的和为 .na4、定义在 上的函数 满足 ，则函数 的图象关于xy(,)xbca为 常 数 )(xfy点 对称.(,)2bc略证；任取 ，令 ，则 ， ，xR12,ab1212()fxfc由中点公式知点
12、与点 关于点 对称.由 的任意性，知函数 的图(,)f()xf(,abc )(xfy4象关于点 对称.(,)2abc5、能得出函数为周期函数的常见结论还有：函数 满足对定义域内任一实数 （其中 为常数）yfxxa, ，则 是以 为周期的周期函数；fxfayfxTa ，则 是以 为周期的周期函数；2 ，则 是以 为周期的周期函数；1fff ，则 是以 为周期的周期函数；fxaxf2Ta ，则 是以 为周期的周期函数.1()()fff ，则 是以 为周期的周期函数.()()fxfxaf4Ta ，则 是以 为周期的周期函数.1()()ffxf注：上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.七、知识运用1
13、、 （2005广东 19）设函数 在（ ， ）上满足 ， ，且()fx(2)()fxf(7)()fxf在闭区间0，7上，只有 。130试判断函数 的奇偶性；()yfx试求方程 在闭区间2005，2005 上的根的个数，并证明你的结论。0解：由 ， 得函数 的对称轴为 ， 。由前面的知(2)()fxf(7)()fxf()yfx2x7识可知函数的一个周期为 T=10。因为函数 在0，7上只有 可知 ，()yfx(1)30f ()0f(7)f又 ，30,(307ff且 ()f而 且 ，则 ，(7)()f7()f因此，函数 既不是奇函数，也不是偶函数。(yfx由 ，可得(3)10f(1)3(7)90f
14、fff5故函数 在0，10和10，0 上均有两个解，满足 ；从而可知函数 在0 ，2005()yfx ()0fx()yfx上有 402 个解，在2005，0上有 400 个解。所以，函数 在2005，2005上共有 802 个解。y2、函数 f(x)在定义域 R 上不是常函数，且 f(x)满足条件：对任意 x ,都有 f(x+4)=f(4-x),f(x+1)=f(x-1)则Rf(x)是( )A 奇函数但非偶函数 B 偶函数但非奇函数 C 是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数解答：由已知条件可得，该函数关于 x=4 对称,且周期为 2，由提问（3）直接可得。事实上，f(-x)=f(x+8),f(x)=f(x+8),所以 f(-x)= f(x)，故选 B3、已知函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x+1)-f(x),( x )且 f(1)=1,f(2005)= R解答：用 x+1 替换条件中的 x 得，f(x+3)=f(x+2)- f(x+1) , f(x+2)=f(x+1)-f(x) , + 可得 f(x+3)= -f(x)，用 x+3 替换 x,得 f(x+6)= -f(x+3),所以 f(x+6)= f(x)，故 6 是它的一个周期，则 f(2005)=f(334 =f(1)=1)16
