1、第 17 讲 函数图象及数字特征一、要点精讲1函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势） ；描点连线，画出函数的图象。运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j要把表列在关键处，要把线连在恰当处 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、
2、方程、不等式等理论和手段，是一个难点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点。（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；平移变换：、水平平移：函数 的图像可以把函数 的图像沿 轴方向向左 或向右()yfxa()yfx(0)a平移 个单位即可得到；1）y=f (x) y=f(x+h)；2）y=f (x) y=f(xh)；(0)a| h左 移h右 移、竖直平移：函数 的图像可以把函数 的图像沿 轴方向向上 或向下f平移 个单位即可得到；1）y=f (x) y=f(x)+h；2）y=f
3、 (x) y=f(x)h 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j。| h上 移 下 移对称变换：、函数 的图像可以将函数 的图像关于 轴对称即可得到；y=f(x) y=f(x)()fx)f 轴、函数 的图像可以将函数 的图像关于 轴对称即可得到；y=f(x) y= f(x)y(yx 轴x、函数 的图像可以将函数 的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) y= f(x)()f 原 点、函数 的图像可以将函数 的图像关于直线 对称得到。y=f(x) x=f(y)x(f直 线、函数 的图像可以将函数 的图像关于直线 对称即可得到；y=f(x) 2afy ay=f(2ax)。x直 线翻折变换
4、：、函数 的图像可以将函数 的图像的 轴下方部分沿 轴翻折到 轴上方，去|(|f ()yfx掉原 轴下方部分，并保留 的 轴上方部分即可得到；()yfx y=f(x) cbaoy xy=|f(x)| cbaoy x、函数 的图像可以将函数 的图像右边沿 轴翻折到 轴左边替代原 轴左边(|)yfx()yfyy部分并保留 在 轴右边部分即可得到 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j y=f(x) cbaoy xy=f(|x|) cbaoyx伸缩变换：、函数 的图像可以将函数 的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长()yafx0()yf或压缩（ ）为原来的 倍得到；y=f(x) y=af(
5、x)(1)a1a、函数 的图像可以将函数 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长f f或压缩（ ）为原来的 倍得到。f(x) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j =f(x) y=f( )0aaa（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。2幂函数在第一象限的图象，可分为如图中的三类：yx(,)01010图在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时，所涉及的幂函数 中 限于在集yx合 中取值。213123， ， ， ， ， ， ，幂函数有如下性质：它的图象都过（1，1）点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交；定义域为 R 或 的幂函数都具有奇偶性，定义域
6、为（ ， ） （ ， ）0的幂函数都不具有奇偶性；或 ，0幂函数 都是无界函数；在第一象限中，当 时为减函数，当 时为增函数；yx() 00任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1） ，至多有三个公共点；二、典例解析题型 1：作图例 1如图所示，单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的倍，则函数 y=f(x)的图象是（ ）解析：显然当 时，阴影部分的面积等于 圆的面积减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，2x41，即点 在直线 的下方，故应在 C、D 中选择。而当当)14()2f )2,(xy时，阴影部分的面积等于 圆的面积加上以圆的半径为腰的
7、等腰直角三角形的面积，x，即点 在直线 的上方，故应选择 D。32)()3f )3,(xyA BC D例 2在下列图象中，二次函数 y=ax2+bx 与指数函数 y=（ ） x的图象只可能是（ ）ab解析一：由指数函数图象可以看出 02 时，f(x )0，从而有 a0，b0。题型 5：函数图像变换的应用例 9已知 ，方程 的实根个数为（ ）0|log|axA2 B3 C4 D2 或 3 或 4解：根据函数与方程的关系，知方程 的根的个数即为函数 与函数 的图|l|xax |xay|log|xya像交点的个数。该题通过作图很可能选错答案为 A，这是我们作图的易错点。若作图标准的话，在同一个直角坐
8、标系下画出这两个函数的图像，由图知当 时，图像的交点个数为 3 个；当10e时，图像的交点个数为 4 个；当 时，图像的交点个数为 2 个。选项为 D。16a 21例 10设 ，若 ，且 ，则 的取值范围是（ ）2()|fxab()fabaA B C D0,(0,0,4(0,)解析：保留函数 在 x 轴上方的图像，将其在 x 轴下方的图像翻折到 x 轴上方区即可得到函数y的图像。2()|fx通过观察图像，可知 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数，由 ，()f(,22,0ab且 可知 ，所以 ， ，从而 ，即()fab20ab)fa()fb2a，又 ，所以 。选项为 A。24|4b题型 6：
9、幂函数概念及性质例 11函数 互质）图像如图所示，则（ ）nmxy|,|,(nmZA 均为奇数 B 一奇一偶,00C 均为奇数 D 一奇一偶,解析：该题考察了幂函数的性质，由于幂函数在第一象限的图像趋势表明函数在上单调递减，此时只需保证 ，即 ，有 ；同),(n0|nmxy时函数只在第一象限有图像，则函数的定义域为 ，此时 定为偶数，),(|即为偶数，由于两个数互质，则 定为奇数。答案：选项为 B。nm例 12画出函数 的图象，试分析其性质。yx32解析：先找出它是哪一种函数平移而来的，它应是由反比例函数平移而来，（这种变换是解决这类问题的关键） ，yx32()32x由此说明， 是由 图象向右
10、平移 3 个单位，再向下平移 2 个单3y位得到的，如图所示：具体画图时对于图象与坐标轴的交点位置要大致准确，即。故图象一定过（0，1）和 两个关键点。再xyx,1,0220,观察其图象可以得到如下性质：定义域，单调区间 上单调递,|,3|RyR值 域 (,)(,)3和增；既不是奇函数也不是偶函数，但图象是中心对称图形，对称中心是（3，2） 。题型 7：抽象函数问题例 13函数 的定义域为 D： 且满足对于任意 ，有)(xf 0|xDx21, ).()(2121xfxf21oy xO xy（）求 的值；（）判断 的奇偶性并证明；)1(f )(xf（）如果 上是增函数，求 x 的取值范围。),0
11、(),36213(,4 在且 xff（）解：令 .12 fx解 得有（）证明：令 1,)(,10f有 解 得令 为偶函数。).(,(,1 fxff有 x（） 34)641,4)4(ff （1）2(3623x即 上是增函数， （1）等价于不等式组：,0)在x.64)2(3,0)(,64)2(13x或 Rxx,31,537,或或 .175xx或或x 的取值范 围为 .3|x或或例 14设函数 上满足 ，且在闭区间0，7 上，),()在f )7()(),2()( xfffxf 只有 （）试判断函数 的奇偶性；.03)1(f y（）试求方程 在闭区间2005，2005 上的根的个数，并证明你的结论。x
12、解析：（）由 ，(2)()()4)()(14)71ffxffxf )10(xff从而知函数 的周期为 ，又 ，y10T3(0,7f而，所以 ，故函数 是非奇非偶函数；(3)10)(fff()fy(II) 又 ，故 f(x)在0,10 和10,0上均有有两个解，,)79)fff从而可知函数 在0,2005上有 402 个解，x在2005.0 上有 400 个解,所以函数 在2005,2005上有 802 个解。(xy题型 8：函数图象综合问题例 15设曲线 的方程是 ，将 沿 轴、 轴正方向分别平移 、 个单位长度后得C3Cyts(0)到曲线 ， （1）写出曲线 的方程；（2）证明曲线 与 关于
13、点 对称；1 1(,)2A（3）如果曲线 与 有且仅有一个公共点，证明： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4s解析：（1）曲线 的方程为 ；13()()yxtt（2）证明：在曲线 上任意取一点 ，C1,By设 是 关于点 的对称点，则有 ， 。2(,)Bxy1A1212,xys1212,xtys代入曲线 的方程，得 的方程： 。2,xy3()()stt即 可知点 在曲线 上。32()()tts2,y1C反过来，同样证明，在曲线 上的点 的对称点在曲线 上。因此，曲线 与 关于点 对称。1 C1A（3）证明：因为曲线 与 有且仅有一个公共点，方程组 有且仅有一组解，C3()()yxtts消去 ，整理得 ，这个关于 的一元二次方程有且仅有一个根，y233()0txts ，即得 ，因为 ，所以 。491()ts34)ts0t34ts
