1、第 18 讲 函数与方程一、要点精讲1方程的根与函数的零点（1）函数零点：概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数)(Dxfy0)(xfx的零点。函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数)(Dxfy y0)(f的图象与 轴交点的横坐标。即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交fyx点 函数 有零点。f二次函数 的零点：)0(2acbxy），方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有x两个零点；），方程 有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与 轴有一个2 x交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；），方程 无实根，二次函数的图02cba象与 轴无交点，
2、二次函数无零点。x零点存在性定理：如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有)(xfy,ba，那么函数 在区间 内有零点。既存在 ，使得 ，这个0)(bfa ),()(f也就是方程的根。c2.二分法二分法及步骤：对于在区间 ， 上连续不断，且满足 的函数 ，通过不ab)(afbf0)(xfy断地把函数 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的)(xf方法叫做二分法给定精度 ，用二分法求函数 的零点近似值的步骤如下：)(xf（1）确定区间 ， ，验证 ，给定精度 ；（2）求区间 ， 的中点 ；（3）计abab0a()b1x算 ：)(xf若 = ，则
3、 就是函数的零点；若 0，f(x) 在区间p，q上的最大值 M，最小值 m，令 x0= (p+q)。1若 p，则 f(p)=m，f(q)=M；若 p x0，则 f( )=m，f(q)=M；bb2b若 x0 q，则 f(p)=M， f( )=m；若 q，则 f(p)=M，f(q)=m。a2aa（3）二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件。方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小 af(r)0；二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r 0)(,2,4rfabc二次方程 f(x)=0 在区间(p，q)内有两根 ;0)(,2,4pfaqbac二次方程 f(x)=
4、0 在区间(p，q)内只有一根 f(p)f(q)0，或 f(p)=0(检验) 或 f(q)=0(检验)检验另一根若在( p， q)内成立。二、典例解析题型 1：方程的根与函数零点例 1 （1）方程 lgx+x=3 的解所在区间为（ ）A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，+)（2）设 a 为常数，试讨论方程 的实根的个数。)lg()3l()1lg(xax题型 2：零点存在性定理例 2若函数 在区间a,b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）)(xfyA若 ，不存在实数 使得 ；0),(bac0)(cfB若 ，存在且只存在一个实数 使得 ；,)(fC若 ，有可能存在
5、实数 使得 ； )(fD若 ，有可能不存在实数 使得 ；ba),(题型 3：二分法的概念例 3关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）A“二分法”求方程的近似解一定可将 在a,b 内的所有零点得到；)(xfyB“二分法”求方程的近似解有可能得不到 在a,b 内的零点；C应用“二分法”求方程的近似解， 在a,b内有可能无零点；D“二分法”求方程的近似解 可能得到 在 a,b内的精确解；0)(f例 4方程 在0，1内的近似解，用“二分法” 计算到 达到精确度要求。那么所取0)(xf 45.01x误差限 是（ ）A0.05 B0.005 C0.0005 D0.00005题型 4：一元二次方程的
6、根与一元二次函数的零点例 5 设二次函数 ，方程 的两个根 满足 . faxbc20fx12,120xa当 时，证明 。x01,fx1例 6已知二次函数 ，设方程 的两个实数根为 和 . )0,(1)(2aRbxaxf xf)(1x2（1）如果 ，设函数 的对称轴为 ，求证： ；41)fx10（2）如果 ， ，求 的取值范围.12题型 5：一元二次函数与一元二次不等式例 7设 ，若 ， ， , 试证明：对于任意fxabxc20f1ff 1，有 。1f54例 8已知二次函数 ，当 时，有 ，求证：当fxabxc()21x1fx()时，有2x7题型 6：二次函数的图像与性质例 9在下列图象中，二次
7、函数 y=ax2+bx 与指数函数 y=（ ） x的图象只可能是（ ）ab例 10设 aR，函数 f(x)=x2+|xa|+1,x R. （1）讨论 f(x)的奇偶性；（2）求 f(x)的最小值.题型 7：二次函数的综合问题例 11已知函数 和 的图象关于原点对称，且 。fxg2fx()求函数 的解析式； () 解不等式 ；g1gx()若 在 上是增函数，求实数 的取值范围。1hf,例 12已知函数 。()2xaf（1）将 的图象向右平移两个单位，得到函数 ，求函数 的解析式；y )(xgy)(xgy（2）函数 与函数 的图象关于直线 对称，求函数 的解析式；h)(xgy1h（3）设 ，已知 的最小值是 且 ，求实数 的取值范围。)(1)(xfaFFm72a
