1、板块一、相似三角形的判定及性质【例 1】 （2007 年北师大附中期末试题）如图， 、 是 的边 、 上的点，且DEABCABADC，求证： .AEBADEB BAE DC【巩固】如图，在 中， 于 ， 于 ， 的面积是 面积ABCDCEABCDE的 4 倍， ，求 的长.6E BAED C【例 2】 （重庆市中考题）如图，已知在矩形 中， 为 的中点， 交 于 ，连接 ABCDEAEFCAF（ ）.ABE（1） 与 是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.FC（2）设 是否存在这样的 值，使得 ，若存在，证明你的结论并求出 值；kkF k若不存在，说明理由.EBA DCF【例
2、3】 如图，已知梯形 中， ， ， , , ( ), ,ABCD/B90ABaADb2BCabDE交 于点 ，连接 .DEE（1）判断 与 ， 与 是否分别一定相似，若相似，请加以证明 .CE（2）如果不一定相似，请指出 、 满足什么关系时，它们就能相似.abDCEBA【例 4】 （厦门市中考题） 中，正方形 的两个顶点 、 在 上，另两个顶点 、 分别ABCEFGHEFBCGH在 、 上， , 边上的高 ,求 .AC1510ADGHSA H GFE D CBA【例 5】 （2007 年北师大附中、2004 年四川省乐山市中考试题）如图，已知 中， ， ， ， ， 点在 上，与点 、 不重合，
3、ABC53BC4A/PQABCA在 上.Q（1）当 的面积与四边形 的面积相等时，求 的长；PPQ（2）当 的面积与四边形 的周长相等时，求 的长；CABCP（3）试问：在 上是否存在一点 ，使得 为等腰直角三角形？若不存在，请简要的说明ABM理由；若存在，请求出 的长.PQ P QCBA【巩固】 （全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形 和 均为正方形，求ABCDEFG_.:AGDFCE AB CDEFGGFEDCBA【例 6】 如图，在矩形 中， ，点 沿 边从点 开始向点 以 秒的速度移动，ABCD126BC， PAB2/点 沿 边以 秒的速度从点 开始移动，如果 同时出发，用 （
4、秒）表示移动的时间Q1/ Q， t(06)t 当 为何值时， 为等腰直角三角形？tQAP 求四边形 面积，提出一个与计算结果相关的正确结论C 当 为何值时，以点 为顶点的三角形与 相似t， ， ABC QPD CBA【巩固】如图：矩形 的面积是 36，在 边上分别取点 ，使得 ， ，ABCDABD， EF， 3E2DFA且 与 的交点为点 ，求 的面积。EFOF KAB CDEF OOFEDCBA板块二、相似中的角平分线问题【例 7】 如图， 是 的角平分线，求证：ADBCABDC D CBA【变式 1】已知 中， 的外角平分线交对边 的延长线于 ，求证：ABCBCDAC DCBA【变式 2】
5、已知条件同变式 1，求证： 2ADBCA【例 8】 已知： 、 分别为 的内、外角平分线， 为 的中点，求证：ADEABCMDE2ABMC M ED CBA【巩固】已知： 、 分别为 的内、外角平分线，求证： .ADEABC12E ED CBA【例 9】 已知四边形 ， 、 分别为一组对边 、 的两点，若ABCDEFBCADEAF求证： 、 与 成等角 .FEDCBA【例 10】 如图，已知 是 的平分线上的定点，过点 任作一条直线分别交 、 于 、 .AXOYAOXYPQ1 证明： 是定值； 求 的最小值1PQ21POQQPYXOA【巩固】在 中， ， 平分 交 于点 ，求证：ABC120A
6、DBCD1ABCD CBA板块三、 型结论的证明2abc【例 11】 （2002 宁夏中考试题）如图，直角 中， ， ，证明： ，ABCAC2AB， .ACDB2AD BAD C【例 12】 （2007 年北师大附中试题）如图， 中， 于 ， 于 ，ABCDEAC于 ，交 于 ， 、 的延长线交于点 ，求证： .DFABEGFDH2FGH GHBAF ED C【巩固】 （河南省初三数学竞赛题）如图， ，点 在 上， ， 是 的90RtABC中 ， DACMAB中点， 于 ，点 是 的中点，连接 。求证： 。AECPMEPBEP ABCDEMPPMEDCB A【巩固】 （2001 青岛市中考题）
7、已知，如图正方形 内接于 ， 在斜边 上， 于DEFGRtACEFCH。求证：（1） ；（2） 。HADGH 2BH GFEDCBA【例 13】 （据 06 淄博市中考题改编）已知，如图， 为等边三角形， 且 的两ABC120AA边交直线 于 两点，求证： BCDE， 2DE ED CBA【巩固】上题中，将等边 改为一般等腰三角形（ ） ，在不添加辅助线的条件下：ABCAC 当 与 满足什么关系时， (括号里填图中已有线段)DE2(_)E 证明你的结论【例 14】 如图，等腰 中， ， 于 ， ，延长 交 于 ，交 于ABADBFAB PACEF，F求证： 2PEFFPED CBA【例 15】
8、 如图，在 中， 平分 ， 的垂直平分线交 于 ，交 的延长线于 ，ABCDBACDADEF求证： 2FD EFD CBA【巩固】如上图，在 中， ， 的垂直平分线交 于 ，交 的延长线于 ，ABC2FDBCAA求证： 平分 板块四、三角形内接矩形问题【例 16】 已知，如图， 中， ，四边形 为正方形，其中 在ABC3490BC， ， DEGFDE，边 上， 在 上，求正方形的边长AC， FG， GF EDCBA【变式 1】 若将例题中正方形改为矩形， ，则矩形的边长为多少？（不需要计算结果，说说思2DEF路即可） 若例题中的三角形不是直角三角形，且 ，则正方形 的边长为5145ACBC，
9、， DEF多少？【变式 2】同例题图，四边形 为正方形， 在线段 上， 在 上，如果ABCDE， AB， FG， AB， ，求 的面积1ADFCES3EGSAB【例 17】 (2007 年内江)如图，在 中， ， ， ，动点 (与点 ， 不重合) 在ABC53BC4AEAC边上， 交 于 点ACEFF 当 的面积与四边形 的面积相等时，求 的长EE 当 的周长与四边形 的周长相等时，求 的长 试问在 上是否存在点 ，使得 为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存BP在，请求出 的长FECBA【习题 1】 （2008 年湖北省荆州市）如图，直角梯形 中， ， ， ，ABCD90DBC D
10、为梯形内一点，且 ，将 绕 点旋转 使 与 重合，得到 ，连E90BECBEC90BCDCF交 于 已知 ，则 的值为 （ ）FCDM53F， :DMA B C D 5:33:4:3:4 MFEDCBA【习题 2】 如图，在直角梯形 中， ，对角线 ，垂足为 ，ABCDABC ， ADE，过 的直线 交 于 ADBEF F ，F 2 F ED CBA【习题 3】 如图，在矩形 中， ，点 沿 边从点 开始向点 以 秒的速度移ABCD126BC， PABB2/动，点 沿 边以 秒的速度从点 开始移动，如果 同时出发，用 （秒）表示移动的时Q1/ Q， t间(06)t 当 为何值时， 为等腰直角三
11、角形？AP 求四边形 面积，提出一个与计算结果相关的正确结论QC 当 为何值时，以点 为顶点的三角形与 相似t， ， ABC QPD CBA【备选 1】 如图， 中， ， 于 为 的中点， 的延长线交ABC90CDABE， CDEAC，于 F求证： D 321FDECBA【备选 2】 如图， 中， ，点 从 出发，沿 方向以 的速度移动，ABC39085ACB， ， PBC2/s点 从 出发，沿 方向也以 的速度移动，若 分别从 出发，经过多少时间Q1/sQ， ，与 相似？P QP CBA【备选 3】 （07 扬州）如图，矩形 中， 厘米， 厘米（ ） 动点 同时从ABCD3ABa3MN，点B出发，分别沿 ， 运动，速度是 厘米秒过 作直线垂直于 ，分别交 ，1MA于 当点 到达终点 时，点 也随之停止运动设运动时间为 秒CDPQ， N t 若 厘米， 秒，则 _厘米；4a1tPM 若 厘米，求时间 ，使 ，并求出它们的相似比；5tBA 若在运动过程中，存在某时刻使梯形 与梯形 的面积相等，求 的取值范围；NPQDAa 是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形 ，梯形 ，梯形 BNPQDACN的面积都相等？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由aD Q CP NBMAD Q CP NBMA
