1、 PD CBA A OSCB高一第一学期期末复习题必修 2一、选择题1下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A B C D【分析】： 正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为 D.2已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的体积是（ ） 340cm380cm 4【答案】：B 【分析】：如图，120.33V3已知三棱锥 的各顶点都在一个半径为 的球面上，球心 在SCr上， 底面 ， ，O2Ar则球的体积与三棱锥体积之比是（ ） 234【答案】：D【分析】：如图，,90,ABrBr31112,33ACVSr三 棱 锥 334
2、41,:.VrVr球 球 三 棱 锥4一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等设四棱锥、正方形 圆锥 三棱台 正四棱锥2020正视图20侧视图101020俯视图h1h(h2)PD CBAE三棱锥、三棱柱的高分别为 ， ， ，则 （ ）1h212:h 3:13:33:2【答案】：B 【分析】：如图，设正三棱锥 的各棱长为 ，PABEa则四棱锥 的各棱长也为 ，PACDa于是 221(),ha236,h1:2.5若 是互不相同的空间直线， 是不重合的平面，则下列命题,lmn,中为真命题的是（ ）【解析
3、】逐一判除,易得答案(D).6右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A B910C D 2解析：本小题主要考查三视图与几何体的表面积.从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为选 D.241132.S7若圆 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 和 轴相切，则该圆的标430xyx准方程是（ ）A B227(3)xy22()(1)C D21()13xy解析：本小题主要考查圆与直线相切问题.设圆心为 由已知得 选 B.(,)a|4| 11,2().5ad舍8已知圆的方程为 设该圆过点 的最长弦和最短弦分别为2680xy35，和 ，则四边形 的
4、面积为（ ）ACBDABCA B C D106036406解：化成标准方程 ，过点 的最长弦为22(3)(4)5(,)10,AC最短弦为 51,12.SAB俯视图 正(主)视图 侧(左)视图2 32 29点 P（x，y）在直线 4x + 3y = 0 上，且满足14x y7，则点 P 到坐标原点距离的取值范围是（ ）A. 0，5 B. 0，10 C. 5，10 D. 5，15【试题解析】：根据题意可知点在线段 上，有线段过原点，43063xyx故点到原点最短距离为零，最远距离为点 到原点距离且距离为，故选,8P；10已知平面 平面 ，= l，点 A，A l，直线 ABl ，直线 ACl，直线
5、m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）A. ABm B. ACm C. AB D. AC【标准答案】：【试题解析】：容易判断、三个答案都是正确的，对于，虽然 ，但不一定在平面 内，故它可以与平面 相交、平行，故不一定垂直；ACl11某几何体的一条棱长为 ，在该几何体的正视图中，这条7棱的投影是长为 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，6这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a+b 的最大值为（ ）A B C D223425解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算.如图设长方体的高宽高分别为 ，由题意得,mnk，227mnk261n， ，所以1a1b22()()6a
6、b，28b2 2()816ab当且仅当 时取等号.412.将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示 A、B、C 分别是 三边的中点）得到的几何体如图 2，则GHI该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图) 为（ ）【解析】解题时在图 2 的右边放扇墙(心中有墙), 可得答案 A.二、填空题1与直线 和曲线0xy都相切的半径最小的圆的2154标准方程是 【分析】：曲线化为 ，其圆心到22(6)()18ynmk直线 的距离为 所求的最小圆的圆心在直线 上，20xy625.d yx其到直线的距离为 ，圆心坐标为 标准方程为 .(,)22()()x2.在平面直角坐标系中，设三角形 ABC 的顶点坐标
7、分别为 ，点0,(,0)AaBbCc在线段 OA 上（异于端点） ，设 均为非零实数，直线 分别交(,)Pp,abcpP于点 E，F，一同学已正确算出 的方程： ，请你ACBOE11xycp求 OF 的方程： .【解析】本小题考查直线方程的求法.画草图，由对称性可猜想 .()()0ba事实上，由截距式可得直线 ，直线 ，两式相减得:1xyABab:1xyCDcp，显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程，又原点 O 也满足11()()0xycbpa此方程，故为所求的直线 OF 的方程.答案 .()()0xycbpa3一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一
8、个球面上，且该六棱柱的高为 ，底面周长为 3，那么这个球的体积为 _3【标准答案】： 【试题解析】正六边形周长为，得边长为 ，故其主对角4V 12线为，从而球的直径 球的体积21R1R43V4一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为 3，则这个球的体积为 98解：令球的半径为 ，六棱柱的底面边长为 ，高为 ，显然有 ，且Rah2()haR213962483aVahR34VR5经过圆 的圆心 ，且与直线 垂直的直线方程是 220xyC0xy【解析】易知点 C 为 ，而直线与 垂直，我们设待求的直线的方程为(1,)，将点 C 的
9、坐标代入马上就能求出参数 的值为 ，故待求的直线的方程为yb b1.10x三、解答题1 如图，在直四棱柱 中，已知1ABDCBCDA1AD1C1B， 12DCABDCAB ， （1）求证： ；1（2）设 是 上一点，试确定 的位置，EE使 平面 ，并说明理由1（1）证明：在直四棱柱 中，1连结 ， ， 四边形 是正方形C1C1D又 ， ，A 1DD ， 平面 ， 平面 ， 11平面 ，且 ，C， 1AC平面 ，又 平面 ， 1A1（2）连结 ，连结 ，设 ，DEDM，连结 ，BN平面 平面 ，11ABN要使 平面 ，须使 ， 1E又 是 的中点 是 的中点M又易知 ， E 即 是 的中点EDC
10、综上所述，当 是 的中点时，可使 平面 1D 1AB2如图,在直四棱柱 中,已知1ABC, , .12B(I)设 是 的中点,求证: ;1EA平 面(II)求二面角 的余弦值. 1解：:(I)连结 ，则四边形 为正方形， ，且 ，1EA1BEDA为平行四边形， .1ADB四 边 形 1DBA1E平 面 ， 平 面 ， 1.平 面(II) 以 D 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标,Cxyz系，不妨设 ，则 1(0,)(,0)(,)(0,2)(,).CA1(,02).设 为平面 的一个法向量，由 得 ，nxyz1AB1,nDB0xy取 ，则 .(,) B CDA1D1C1
11、M EBCDA1AD1C1B设 为平面 的一个法向量，由 得 ，1(,)mxyz1CBD,mDCB120yzx取 ,则 .1z,3cos, .9n由于该二面角 为锐角，所以所求的二面角 的余弦值为11AB11AB3.3如图， 为空间四点在 中， CD， C 22C，等边三角形 以 为轴运动（）当平面 平面 时，求 ；（）当 转动时，是否总有 ？ ABD证明你的结论解：（）取 的中点 ，连结 ，ABEE因为 是等边三角形，所以 当平面 平面 时，DC因为平面 平面 ，所以 平面 ，可知E由已知可得 ，在 中，31，DCRt2C（）当 以 为轴转动时，总有 AB AB证明：（）当 在平面 内时，因
12、为D，=，所以 都在线段 的垂直平分线上，即 （）当 不在平面 内时，由（）知 又因 ，所以CDEACBE又 为相交直线，所以 平面 ，由 平面 ，得， ABDE综上所述，总有 AB4在平面直角坐标系 中，已知圆 的圆心为 ，过点xOy21320xyQ(02)P，且斜率为 的直线与圆 相交于不同的两点 求 的取值范围kQ，k解： 圆的方程可写成 ，所以圆心为 ，过2(6)4(6)，(2)，且斜率为 的直线方程为 代入圆方程得 ，k213xx整理得 直线与圆交于两个不同的点 等价于2(1)(3)0kxxAB，2243614(86)0k解得 ，即 的取值范围为 03，5如图，在三棱锥 中，侧面 与
13、侧面SABCSAC均为等边三角形， ， 为 中点9O（）证明： 平面 ；DBACECAOSBAC（）求二面角 的余弦值ASCB证明：（）由题设 ，连结 ，S=AO为等腰直角三角形，B所以 ，且 ，2OC又 为等腰三角形，故 ，S OB且 ，从而 2A22SA所以 为直角三角形， 又 所以 平面 BC（）解法一：取 中点 ，连结 ，CM由（）知 ，得 SO，OSMC为二面角 的平面角A B由 得 平面 S， AB所以 ，又 ，故 3226sin3所以二面角 的余弦值为 C解法二：以 为坐标原点，射线 分别为 轴、 轴的正半轴，OOBA，xy建立如图的空间直角坐标系 xyz设 ，则 (10)B，(
14、10)()(01)S，的中点 ， S2M 1(01)22MSC，CAS， 故 等于,OOA二面角 的平面角B，3cos，所以二面角 的余弦值为 ASC6已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形(1)求该儿何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S【解析】画出直观图并就该图作必要的说明. (1) (2)402SOSBACMOSBACMxzy7在平面直角坐标系xOy巾，已知圆心在第二象限、半径为 的圆C与直线 相切2yx于坐标原点0求圆C的方程.【解析】(1)设圆的方程为 2()8xsy
15、t依题意 , , 28st|2t0解得 ,故所求圆的方程为 2()xy8如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， 是PABCDPABCDA PAD等边三角形，已知 ， 845（）设 是 上的一点，证明：平面 平面 ；MM（）求四棱锥 的体积（）证明：在 中，由于 ， ， ， 8所以 故 22ADBAB又平面 平面 ，平面 平面 ，PCPDACD平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，故平面 平面 （）解：过 作 交 于 ，O由于平面 平面 ，所以 平面 因此 为四棱锥 的高，AB又 是边长为 4 的等边三角形因此 PD 342PO在底面四边形 中， ， ，CD ABC所以四边形 是梯形，在 中，斜边
16、边上的高为 ，Rt 85此即为梯形 的高，所以四边形 的面积为 AB25424S故 124316PCDV9如图，已知四棱锥 ，底面 为菱形， 平面PCDABPA， ， 分别是 的中点0EF， ，（）证明： ；A（）若 为 上的动点， 与平面 所成最大角的正切值为HH，求二面角 的余弦值62解：（）证明：由四边形 为菱形， ，可得 为正三角形BCD60ABCABC因为 为 的中点，所以 又 ，因此 EBCAE ED因为 平面 ， 平面 ，所以 PAP而 平面 ， 平面 且 ，P所以 平面 又 平面 ，所以 （）解：设 ， 为 上任意一点，连接 2HH， A BCMPDOA BCMPDPB E C
17、 DFA由（）知 平面 ，则 为 与平面 所成的角AEPDEHAPAD在 中， ，所以当 最短时， 最大，RtH 3E即当 时， 最大此时 ，6tan2因此 又 ，所以 ，所以 2A45A2PA解法一：因为 平面 ， 平面 ，PBCDPC所以平面 平面 过 作 于 ，则 平面 ，EOEOC过 作 于 ，连接 ，则 为二面角 的平面角，OSFSF在 中， ， ，RtE 3sin02A3cos02A又 是 的中点，在 中， ，PCRt in45又 ，23948SOS在 中， ，即所求二面角的余弦值为 RtE215cos304SOE 15解法二：由（）知 两两垂直，以 为坐标原点，建立如图所示的空间
18、ADP， ， A直角坐标系，又 分别为 的中点，所以F， BC，(0)(310)()(2)AB， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，212PE， ， ， ， ， ， ， ，所以 3(30)AF， ， ， ， ，设平面 的一法向量为 ，则 因此E11()xyz， ，m0AEF，m11302xyz， 取 ，则 ，1z(2)， ，因为 ， ， ，所以 平面 ，BDACPACBDAFC故 为平面 的一法向量又 ，F(30)， ，PB E CDFAHOSPB E C DFAyzx所以 2315cosBDA， m因为二面角 为锐角，所以所求二面角的余弦值为 EFC 1510在四面体 ABCD 中，CB
19、=CD， ，且 E，F 分别是 AB，BD 的中点，B求证（I）直线 ； （II） .A面 CD面 面证明：（I）E ， F 分别为 AB，BD 的中点 A.DCED面 面面（II）AFBDCEFCFBE面为 的 中 点又 ，所以面 FD面 面 B11.设平面直角坐标系 中，设二次函数 的图象与坐标轴有三xoy2()()fxbxR个交点，经过这三个交点的圆记为 C.（1） 求实数 的取值范围；b（2） 求圆 的方程；C（3） 问圆 是否经过某定点（其坐标与 无关）？请证明你的结论.b【解析】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.（1） 010()bf且（1） 设所求圆的方程为 .20xyDEF令 得2,xDF22,xDFb又 时 ，从而 .0yE所以圆的方程为 .2(1)b（3） 整理为 ，过曲线2()0xy2(1)0yy与 的交点，即过定点 与 .:Cx:l 0,2,12如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结 ，证明： 面 EFG.BCD EFC AB224侧侧侧侧侧侧624GEFCBDCA BD
