1、新课标八年级数学竞赛讲座飞飞数学资源网 http:/ 分解方法的延拓换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法一些复杂的因式分解问题常用到换元法和主元法所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元) ，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构例题求解【
2、例 1】 分解因式： = 10)3)(4(22xx( “五羊杯”竞赛题)思路点拨 视 为一个整体用一个新字母代替，从而能简化式子的结构24【例 2】 多项式 因式分解后的结果是( )xyzyzxzyx 22A(yz)(x+y)(xz) B(yz)(x y)(xz) C (y+z)(x 一 y)(x+z) D (y 十 z)(x+y)(x 一 z)(上海市竞赛题)思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口【例 3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题
3、)(2)1999x2 一(1999 2 一 1)x 一 1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y2xy)(x+y 2)(xy 1) 2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x3y) 3 十(3x2y) 3125(xy) 3 (第 13 届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如 abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把 4 个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示； (3)式中 x+y；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系【例 4】把下列各式分解因式：(1)a2(b 一 c)+b2(ca)
4、+c 2 (a 一 b)；(2)x2+xy2y 2x+7y 6思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2) 式是形如 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解【例 5】证明：对任何整数 x 和 y，下式的值都不会等于 33x5+3x4y5x 3y2 一 15x2y3+4xy4+12y5(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33 不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可新课标八年级数学竞赛讲座飞飞数学资源网 http:/ ；)(223baba(2) )(2acbccc
5、学力训练1分解因式：(x 2+3x)2-2(x2+3x)8 2分解因式：(x 2+x+1)(x2+x+2)12= 3分解因式：x 2xy2y 2xy= (重庆市中考题)4已知二次三项式 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数 m 的可m能取值为 5将多项式 分解因式，结果正确的是（ ） 324xA B C D )1(2)3(12x)1()(2xx )3()1(2xx(北京中考题)6下列 5 个多项式： ； ； ；122ba 32379axax bdcbdycbx 2)()( ；)(6)(3mn4)(其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（ ） A、 B、 、 C 、 D、7下列各式分解
6、因式后，可表示为一次因式乘积的是( )A B C D27923xx 2723xx 2734xx 2793x(“希望杯”邀请赛试题 )8若 ， ，则 的值为( )51baba5912baA B C D0 (大连市“育英杯”竞赛题)9232549分解因式（1）(x 2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2；(2)(2x23x+1) 2 一 22x2+33x1；(3)x4+2001x2+2000x+2001；(4)(6x1)(2 x1)(3 x1)( x1)+x 2；(5) ；bcacba5432新课标八年级数学竞赛讲座飞飞数学资源网 http:/ (“希望杯”邀请赛试题)613622yxy
7、x10分解因式： = 12)5()(11分解因式： = 263yxy12分解因式： = （ “五羊杯”竞赛题）3)()()(13在 1100 之间若存在整数 n，使 能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的nx2n 有 个 (北京市竞赛题 )14 的因式是( )61323xxA B C D E231212x15已知 ，M= ，N= ，则 M 与 N 的大小关系是( )cbaacba2cabAM N CMN D不能确定(第 “希望杯”邀请赛试题)16把下列各式分解因式：(1) ；2221)6)(1( aa(2) ； (湖北省黄冈市竞赛题)975(3) ； (天津市竞赛题)212()3()1( yxyxyxy(4) ；（“五羊杯”竞赛题）4424 0)1(5) (天津市竞赛题)zyxyzxzx23 17已知乘法公式：；)( 432345 bababa利用或者不利用上述公式，分解因式： (“祖冲之杯”邀请赛试题)12468xx18已知在 ABC 中， (a、b、c 是三角形三边的长) 011622abca求证： (天津市竞赛题)bca新课标八年级数学竞赛讲座飞飞数学资源网 http:/
