1、“高中物理参考”收集 http:/ http:/1专题四：曲线运动、万有引力考点例析。陈宏湖北枝江市一中（443200）本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。（2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。 （3）万有引力定律及其运用。 （4）运动的合成与分解。注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。本章内容常与电场、磁场、机械能等知
2、识综合成难度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养。一、夯实基础知识1、深刻理解曲线运动的条件和特点（1）曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。（2）曲线运动的特点： 在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是 1通过这一点的曲线的切线方向。曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是不断变化的。 做曲线运动的质点，其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。 32、深刻理解运动的合成与分解物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。
3、运动的合成与分解基本关系： 分运动的独立性； 运动的等效性（合运动和分运 1 2动是等效替代关系，不能并存） ； 运动的等时性； 运动的矢量性（加速度、速度、位 3 4移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。 ）3.深刻理解平抛物体的运动的规律（1） 物体做平抛运动的条件：只受重力作用，初速度不为零且沿水平方向。物体受恒力作用，且初速度与恒力垂直，物体做类平抛运动。（2） 平抛运动的处理方法通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。(3)平抛运动的规律以抛出点为坐标原点，水平初速度 V0方向
4、为沿 x 轴正方向，竖直向下的方向为 y 轴正方向，建立如图 1 所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻 t.位移分位移 , ,合位移 , .tVx021gty 220)()gtts0anVgt图 1“高中物理参考”收集 http:/ http:/2为合位移与 x 轴夹角.速度分速度 , Vy=gt, 合速度 , .0x20)(gtV0anVgt为合速度 V 与 x 轴夹角(4)平抛运动的性质做平抛运动的物体仅受重力的作用，故平抛运动是匀变速曲线运动。4.深刻理解圆周运动的规律(1)匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动就叫做匀速周圆运动。(2)描述匀速圆周运
5、动的物理量线速度 ，物体在一段时间内通过的弧长 S 与这段时间 的比值，叫做物体的线速v t度，即 V=S/t。线速度是矢量，其方向就在圆周该点的切线方向。线速度方向是时刻在变化的，所以匀速圆周运动是变速运动。角速度 ，连接运动物体和圆心的半径在一段时间内转过的角度 与这段时间的比值叫做匀速圆周运动的角速度。即 =/t。对某一确定的匀速圆周运动来说，角t 速度是恒定不变的，角速度的单位是 rad/s。周期 T 和频率 f(3)描述匀速圆周运动的各物理量间的关系: rfTrV2(4)、向心力：是按作用效果命名的力，其动力学效果在于产生向心加速度，即只改变线速度方向，不会改变线速度的大小。对于匀速
6、圆周运动物体其向心力应由其所受合外力提供。 .rmfrTrmVaFn 222245.深刻理解万有引力定律（1）万有引力定律： 自然界的一切物体都相互吸引，两个物体间的引力的大小， 1跟它们的质量乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。 公式： ， 2 21rGFG=6.6710-11N.m2/kg2. 适用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互 3作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中 r 指球心间的距离。（2）万有引力定律的应用： 讨论重力加速度 g 随离地面高度 h 的变化情况： 物 1体的重力近似为地球对物体的引力，即 mg=G 。所以重力加速度 g= 2)(hRMm“
7、高中物理参考”收集 http:/ http:/3G ，可见，g 随 h 的增大而减小。 求天体的质量：通过观天体卫星运动的周期2)(hRM 2T 和轨道半径 r 或天体表面的重力加速度 g 和天体的半径 R，就可以求出天体的质量 M。求解卫星的有关问题：根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、 3周期、动能、动量等状态量。由 G =m 得 V= ，由 G = mr(2/T) 2 得2rMmV2r2rmT=2 。由 G = mr 2 得 = ，由 Ek= mv2= G 。Mr32r31(3)三种宇宙速度： 第一宇宙速度 V1=7.9Km/s,人造卫星的最小发射速度； 第二 1 2宇
8、宙速度 V2=11.2km/s,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；（3）第三宇宙速度V3=16.7km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。二、解析典型问题问题 1：会用曲线运动的条件分析求解相关问题。例 1、质量为 m 的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力 F1时，物体可能做( )A匀加速直线运动；B匀减速直线运动；C匀变速曲线运动；D变加速曲线运动。分析与解：当撤去 F1 时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于 F1，方向与 F1 方向相反。若物体原来静止，物体一定做与 F1 相反方向的匀加速直线运动。若物体原来做匀速运动，若 F1 与初速度方向在同一
9、条直线上，则物体可能做匀加速直线运动或匀减速直线运动，故 A、B 正确。若 F1 与初速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值，故物体做匀变速曲线运动，故 C 正确， D 错误。正确答案为：A、B、C。例 2、图 1 中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b 是轨迹上的两点。若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是（ ）A 带电粒子所带电荷的符号；B 带电粒子在 a、b 两点的受力方向；C 带电粒子在 a、b 两点的速度何处较大；D 带电粒子在 a、b 两点的电势能何处较大。ab图 1“高中物理参考”
10、收集 http:/ http:/4分析与解：由于不清楚电场线的方向，所以在只知道粒子在 a、b 间受力情况是不可能判断其带电情况的。而根据带电粒子做曲线运动的条件可判定，在 a、b 两点所受到的电场力的方向都应在电场线上并大致向左。若粒子在电场中从 a 向 b 点运动，故在不间断的电场力作用下，动能不断减小，电势能不断增大。故选项 B、C 、D 正确。问题 2：会根据运动的合成与分解求解船过河问题。例 3、一条宽度为 L 的河流，水流速度为 Vs,已知船在静水中的速度为 Vc，那么：（1）怎样渡河时间最短？（2）若 VcVs,怎样渡河位移最小？（3）若 VcVs 时，船才有可能垂直于河岸横渡。
11、（3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？如图 2 丙所示，设船头 Vc 与河岸成 角，VsVcV2图 2 甲V1VsVc图 2 乙VVsVc图 2 丙VAB E“高中物理参考”收集 http:/ http:/5合速度 V 与河岸成 角。可以看出： 角越大，船漂下的距离 x 越短，那么，在什么条件下 角最大呢？以 Vs 的矢尖为圆心，以 Vc 为半径画圆，当 V 与圆相切时， 角最大，根据 cos=V c/Vs,船头与河岸的夹角应为：=arccosV c/Vs.船漂的最短距离为： .in)os(minccsLx此时渡河的最短
12、位移为： .Vcs问题 3：会根据运动的合成与分解求解绳联物体的速度问题。对于绳联问题，由于绳的弹力总是沿着绳的方向，所以当绳不可伸长时，绳联物体的速度在绳的方向上的投影相等。求绳联物体的速度关联问题时，首先要明确绳联物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出。例 4、如图 3 所示，汽车甲以速度 v1 拉汽车乙前进，乙的速度为 v2，甲、乙都在水平面上运动，求 v1v 2分析与解：如图 4 所示，甲、乙沿绳的速度分别为 v1和 v2cos ，两者应该相等，所以有 v1v 2=cos 1例 5、如图 5 所示，杆 OA 长为 R，可
13、绕过 O 点的水平轴在竖直平面内转动，其端点 A 系着一跨过定滑轮 B、C 的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块 M。滑轮的半径可忽略， B在 O 的正上方，OB 之间的距离为 H。某一时刻，当绳的 BA段与 OB 之间的夹角为 时，杆的角速度为 ，求此时物块 M 的速率 Vm.分析与解：杆的端点 A 点绕 O 点作圆周运动，其速度 VA 的方向与杆 OA 垂直，在所考察时其速度大小为：VA=R对于速度 VA 作如图 6 所示的正交分解，即沿绳 BA 方向和垂直于 BA 方向进行分解，沿绳 BA 方向的分量就是物块 M 的速率 VM，因为物块只有沿绳方向的速度，所以VM=VAcos由正弦定理知
14、， RHsin)2sin(由以上各式得 VM=Hsin.甲乙v1v2图 3v1甲乙v1v2图 4 BMCARO 图 5MCARO 图 6 VAB“高中物理参考”收集 http:/ http:/6问题 4：会根据运动的合成与分解求解面接触物体的速度问题。求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。例 6、一个半径为 R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度 V0匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图 7 所示。当杆与半圆柱体接触点 P 与柱心的
15、连线与竖直方向的夹角为 ，求竖直杆运动的速度。分析与解：设竖直杆运动的速度为 V1，方向竖直向上，由于弹力方向沿 OP 方向，所以 V0、V 1 在 OP 方向的投影相等，即有 ，解得cossin1V1=V0.tg.问题 5：会根据运动的合成与分解求解平抛物体的运动问题。例 7、如图 8 在倾角为 的斜面顶端 A 处以速度 V0 水平抛出一小球，落在斜面上的某一点 B 处，设空气阻力不计，求（1）小球从 A 运动到 B 处所需的时间；（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？分析与解：（1）小球做平抛运动，同时受到斜面体的限制，设从小球从 A 运动到 B 处所需的时间为 t,
16、则：水平位移为 x=V0t竖直位移为 y= 21g由数学关系得到: gVttt tan2,an)(002（2）从抛出开始计时，经过 t1 时间小球离斜面的距离达到最大,当小球的速度与斜面平行时，小球离斜面的距离达到最大。因 Vy1=gt1=V0tan,所以 。gVtan01例 8、如图 9 所示，一高度为 h=0.2m 的水平面在 A 点处与一倾角为 =30的斜面连接，一小球以 V0=5m/s 的速度在平面上向右运动。求小球从 A 点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取 g=10m/s2） 。某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则由此可求得落地的时间 t。,sin21sin20tgth
17、问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需的时间；若不同意，则说明理由并求出你认为正确的结果。分析与解：不同意。小球应在 A 点离开平面做平抛R OP V0图 7V1图 8BAV0V0Vy1BAh图 9A“高中物理参考”收集 http:/ http:/7运动，而不是沿斜面下滑。正确做法为：落地点与 A 点的水平距离 )(102.520 mghVts 斜面底宽 )(35.02.mhctgl因为 ,所以小球离开 A 点后不会落到斜面，因此落地时间即为平抛运动时间。s )(.1st问题 6：会根据匀速圆周运动的特点分析求解皮带传动和摩擦传动问题。凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两
18、轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外） 。例 9、如图 10 所示装置中，三个轮的半径分别为 r、2r、4r，b 点到圆心的距离为r，求图中 a、b、c 、d 各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。分析与解：因 va= vc，而 vbv cv d =124，所以va vbv cv d =2124； a b=21，而 b= c= d ，所以 a b c d =2111；再利用 a=v ，可得 aaa ba ca d=4124例 10、如图 11 所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径 r0=1.0cm 的摩擦小
19、轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径 R1=35cm，小齿轮的半径 R2=4.0cm，大齿轮的半径R3=10.0cm。求大齿轮的转速 n1 和摩擦小轮的转速 n2 之比。 （假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动）分析与解：大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速度大小相等，由 v=2 nr 可知转速 n 和半径 r 成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比 n1n 2=2175问题 7：会求解在水平面内的圆周运动问题。abcd图 10大齿
20、轮 小齿轮车轮小发电机摩擦小轮链条图 11图 12“高中物理参考”收集 http:/ http:/8例 11、如图 12 所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（ ）A、物体所受弹力增大，摩擦力也增大了B、物体所受弹力增大，摩擦力减小了C、物体所受弹力和摩擦力都减小了D、物体所受弹力增大，摩擦力不变分析与解：物体随圆筒一起转动时，受到三个力的作用：重力G、筒壁对它的弹力 FN、和筒壁对它的摩擦力 F1（如图 13 所示） 。其中 G 和 F1 是一对平衡力，筒壁对它的弹力 FN 提供它做匀速圆周运动的向心力。当圆筒匀速转动时，不管
21、其角速度多大，只要物体随圆筒一起转动而未滑动，则物体所受的（静）摩擦力 F1 大小等于其重力。而根据向心力公式， ，当角速度 较大时2mrN也较大。故本题应选 D。NF例 12、如图 14 所示，在光滑水平桌面 ABCD 中央固定有一边长为 04m 光滑小方柱 abcd。长为 L=1m 的细线，一端拴在 a 上，另一端拴住一个质量为 m=05kg 的小球。小球的初始位置在 ad 连线上 a 的一侧，把细线拉直，并给小球以 V0=2m/s 的垂直于细线方向的水平速度使它作圆周运动。由于光滑小方柱 abcd 的存在，使线逐步缠在 abcd 上。若细线能承受的最大张力为 7N（即绳所受的拉力大于或等
22、于 7N 时绳立即断开） ，那么从开始运动到细线断裂应经过多长时间？小球从桌面的哪一边飞离桌面?分析与解：当绳长为 L0 时，绳将断裂。据向心力公式得：T0=mV02/L0所以 L0=0.29m 绕 a 点转 1/4 周的时间 t1=0.785S; 绕 b 点转 1/4 周的时间 t2=0.471S; 绳接触 c 点后，小球做圆周运动的半径为 r=0.2m,小于L0=0.29m,所以绳立即断裂。所以从开始运动到绳断裂经过 t=1.256S,小球从桌面的 AD 边飞离桌面问题 8：会求解在竖直平面内的圆周运动问题。 物体在竖直面上做圆周运动，过最高点时的速度 ，常称为临界速度，gRV其物理意义在
23、不同过程中是不同的在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动轨道的类型，可分为无支撑（如球与绳连结，沿内轨道的“过山车” ）和有支撑（如球与杆连接，车过拱桥）两种前者因无支撑，在最高点物体受到的重力和弹力的方向都向下图 13AB CDab cdV0图 14“高中物理参考”收集 http:/ http:/9当弹力为零时，物体的向心力最小，仅由重力提供， 由牛顿定律知 mg= ，得RVm20临界速度 当物体运动速度 V2R）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度 V0，才能使列车通过圆形轨道？分析与解：列车开上圆轨道时速度开始减慢，
24、当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达到DdLOmBCA图 15图 16V0R“高中物理参考”收集 http:/ http:/10最小值 V，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道，然后列车开始加速。由于轨道光滑，列车机械能守恒，设单位长列车的质量为 ，则有：gRLV.2120要使列车能通过圆形轨道，则必有 V0,解得 。LgV20问题 9：会讨论重力加速度 g 随离地面高度 h 的变化情况。例 15、设地球表面的重力加速度为 g,物体在距地心 4R（R 是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度 g,，则 g/g,为A、1； B、1/9； C、1/4； D、1/16。分
25、析与解：因为 g= G ,g, = G ,所以 g/g,=1/16,即 D 选项正确。2RM2)3(问题 10：会用万有引力定律求天体的质量。通过观天体卫星运动的周期 T 和轨道半径 r 或天体表面的重力加速度 g 和天体的半径 R，就可以求出天体的质量 M。例 16、已知地球绕太阳公转的轨道半径 r=1.49 1011m, 公转的周期 T=3.16 107s,求太阳的质量 M。分析与解：根据地球绕太阳做圆周运动的向心力来源于万有引力得：G =mr(2/T) 2 2rmM=4 2r3/GT2=1.96 1030kg.例 17 、宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间 t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为 L。若抛出时初速度增大到 2 倍，则抛出点与落地点之间的距离为 L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为 G。求该星球的质量 M。分析与解：设抛出点的高度为 h,第一次平抛的水平射程为 x,则有x2+h2=L2 由平抛运动规律得知，当初速度增大到 2 倍时，其水平射程也增大到 2x,可得 （2x） 2+h2=( L)2 3设该星球上的重力加速度为 g，由平抛运动的规律得：h= gt2 1由万有引力定律与牛顿第二定律得：
