1、两种向量的延伸理论向量有一些具有较多应用的结论，也联系着一些其他的思想方法。下面引入并介绍三角形的重心坐标与质点几何，必要时将引述相关研究性或介绍性文献。一、重心坐标（面积坐标）下面的结论在向量中是常见的：（1）如果ABC 内有一点 P 满足mPA+nPB+kPC=0,那么便有 SPBC:SPAC:SPAB=m:n:k（2）GA+GB+GC=0（G 为重心）（3）aIA+bIB+cIC=0(I 为内心) 由于（3）可利用（1）简单推导出来，想到由（1）可能会引出一个很好的方法，于是就有了下面的定义。定义 若 M 是不在一直线上的三点 A、B、C 关于定倍数 a、b、c 的平均中心，这个定倍数
2、a、b、c就称为 M 关于坐标ABC 的重心坐标，记为 MABCa、b、 c.若坐标ABC 确定时，可简记为 Ma、b、c. 重心坐标也可以用面积比来定义：S MBC:SMAC:SMAB=a：b：c，因此又称作面 积坐标.注：M 可以是平面上任意点，M 在三角形外部时，坐标出现负数。下面给出巧合点的重心坐标：重心 G1，1，1；内心 Ia,b,c;旁心 Ia-a,b,c;垂心H =tanA,tanB,tanC外心 Oa2Xa,b2Xb,c2Xc=sin2A,sin2B,sin2CXcba1,重心坐标的求法有分比法、垂距法、平方和法，此处从略。重心坐标是三角形几何学的内容，因此下面不加证明地给出
3、一些相关的结论：定理 1 三点 NiMBCai,bi,ci(i=1,2,3)共线的充要条件为 =03a2c1b过两点a i,bi,ci(i=1,2)的直线方程为 =0zycbx2a1定理 2 若 MABCa1、b1、c1，由 A、B、C 及 M 至任意直线 l 引垂线，相应的垂足分别为 D、E、F 及 N，则 a1 AD+b1 BE+c1 CF=(a1+b1+c1)MN定理 3 若 MABCa1、b1、c1，P 为任意点，高一（19）班 凌赵奇则 PM2（a1+b1+c1)=（a1 PA2+b1 PB2+c1 PC2）- a1b1AB2+b1c1BC2+c1a1CA2ca定理 4 若 MABC
4、a1、b1、c1，NMBCa2,b2,c2则 MN2=-12c2-23a2-31b2,这里 1= ，2、3 仿此.2acba若 a1+b1+c1=1，a2+b2+c2=1，这时两个坐标称为重心规范坐标，对于重心规范坐标，距离公式可简化为 MN2=-（a1-a2）(b1-b2)c2-(b1-b2)（c1-c2）a2-（c1-c2）(a1-a2)b2应用定理 4,易于求得:ABC 的重心与内心间 的距离为 9IG2=3ab+3bc+3ac-a2-b2-c2-36Rr外心与垂心间的距离为 OH2=9R2-(a2+b2+c2)内心与垂心间的距离为 IH2=4R2+2r2- (a2+b2+c2)1二、质
5、点几何这里讨论向量与质点之间的联系，主要表现其在几何问题方面的应用，由于向量与质点有深刻的物理背景，因此在介绍质点几何的概念时，着重强调其与力学方面的对比，以说 明其直观意义和理论体系的产生。向量法和质点法均是解几何问题的通法.质点法的基本公式都可以写成向量形式, 所以质点法给出的题解容易改写成向量的形式.表达向量要用两个点,表达质点只要一个点. 比较这两种不同的通法, 质点法处理问题时所考虑的对象可以具有最小的“粒度”，所以 质点法比向量法更基本.用向量解几何题,并非数学家引入向量的主要目的.向量理论的大用场,还在更多更高深、更有用、更重要的数学或物理学的分支里.向量的基本思想是把事物简化.
6、 本来用两个数、三个数甚至一万个数表示的东西,在一定条件下可以用一个字母表示. 这样表示之后照样能运算, 必要时又可以分解成两个数、三个数甚至一万个数。19世纪, 德国数学家格拉斯曼提出质点几何的基本设想。质点法的发现基于考虑两点如何相加. 从加法想到减法, 两点相减就成了向量. 如果先讲向量, 把向量说成是两点相减的结果,再从减法说到加法,就引出了质点几何.这样,不但向量加法的首尾衔接法更为显然,而且把数直线上的有向线段、解析几何里的定比分点公式、向量坐标的计算以及力学中重心和力矩等知识都联系起来了.下面关于质点几何的介绍中，将会表现出质点法相比于向量法更有代数的演绎性，能够真正将几何要与代
7、数完美结合起来。下面简略地介绍一下质点几何的基本概念.一般来说, 我们把向量看作是有向线段. 而在向量坐标化的时候, 每个向量又对应着一个点.几何学最基本的元素是点.若将任意设置的原点O 省略掉, 用一个点来表示一个向量, 可称之为单点向量.定义 在质点几何中, 称aP(a0; a为实数)为质点, 系数为1 或-1 时“1”可以省略; 称xM - xN(x为实数 )为向量, 当x = 0 或 M = N时, 称xM - xN 为零向量.性质1 (1) 设 C 是直线AB 上的一点, 满足AC:CB=m:n,则(m+n)C=n A+mB.(2) 若点 A;B;C 满足(m+n)C=nA+mB(m
8、+n0), AC:CB=m:n注：若将(m+n)C=n A+mB化为C = A+ B，若C的位置确定 是唯一的值，nmnm令a= ,则C可以由 A、B唯一表示为C=(1-a)A +aB，这和定比分点公式一致。nm性质2 (1) 设 O 是直线 AB 与PQ（PQ 与AB 不平行）的交点, 则存在满足x+y = m+n(=t) 的 x，y，m，n 使得xA+y B=tO=mP+nQ成立.(2) 若 A，B，C，D 满足xA+y B=mP+nQ(x+y=m+n=t0), 则AB 与PQ 相交, 设O 是它们的交点, 有xA+yB=tO=mP+nQ .性质3 (1) 若AB 平行于PQ, 且 则xA
9、 -xB=yP-yQ.y(2) 若 xA-xB=yP-yQ(x，y0),则AB平行于PQ,且 xA性质4 设点C是直线AB外的一点,则 ABC 所在平面上的任意一点P都可以由A，B，C唯一地表示为 P=aA+bB+(1-a-b)C的形式 .若两组质点的线性组合相等, 则等式两端系数和相等. 从而一点表成几个点的线性组合时诸系数之和必为1. 称这种系数和为1 的线性组合为规范组合.在力学中,质点被看成具有一定位置没有大小而有质量的东西.对于一个质点, 可用一正实数k 乘它,其结果仍是一质点,其位置与原质点相同,但质量是原来的k倍.如果一个系统中有P、Q 两个质点,其质量分别为 m、n,则当m+n
10、0时,这个系统被看成一个新质点R, 其质量为m+n,其位置在P、Q的连线上,满足PR:RQ=n:m. R 所在的位置叫做P、 Q的重心所在的位置.在平面质点几何中,把上述P、Q、R系统中质点R 看成是由质点P、Q 经过一种代数运算的结果.考虑到它们的质量间的关系,这个运算可以叫做加法,记为“+”.这样, 当R是P 、Q的重心时,R=P+Q.这里的P、 Q、R的 质量分别为m; n 和m+n.若P 1、Q1、R1分别是与P 、Q、R同位置的点,且质量均为1,则P=mP 1,Q=nQ1,R=(m+n)R1,并有(m+n)R1=mP1+nQ1.减法是加法的逆运算. 将同质量的两质点相减的结果, 如r
11、P 1-rQ1, 都看成是向量. 向量与质点之间的运算是一致的.按这种方式, 首先根据力学的规律定义aA（质点的倍乘）以及A+B（质点的加法）, 然后由质点的减法引入向量, 并把向量理论结合进来,于是就能系统地发展几何.从力学意义上看,质点几何中实际上是用作用在点上并垂直于平面的力代替了质量.这样正负质量分别对应于沿平面法向及其反向的力,而向量则相当于轴平行于平面法向的力矩.把向量看成两点之差,立刻进入质点几何,马上使得许多推理过程得到简化。在任意四边形ABCD中,设M 和N分别是AB 和CD 的中点,则2M =A+B,2N=C+D.两式相减得2(N-M )=C-A+D-B,用向量表示就是2MN=AC+BD=AD+BC.证明任意四边形四条边的平方和，等于两条对角线的平方和，再加上对角线中点连线的平方和的4倍.原命题等价于(A- B)2+(B-C)2+(C-D)2+(D-A)2=(A-C)2+(B-D)2+4( - )2CADB
