1、 1 利用压缩变换解决 竞赛与自主招生中的 椭圆 问题 张晓东（桐乡市高级中学 浙江桐乡 314500） 椭圆是到两定点 21,FF 距离之和等于定值 |)|2(2 21FFaa 的点的轨迹，是到定点与定直线（定点不在定直线上）距离之比等于常数 )10( ee 的点的轨迹，是到两定点斜率之积为常数)1,0( KKK 的点的轨迹 而在压缩变换视角下，椭圆是压扁了的圆，利用这个角度，有时可以快捷的解题并看到问题 的本质 定义压缩变换 ： yox 平面上的所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的 ),0,0( nmnmmn 得到 xoy 平面 显然在压缩变换 下， yox 平面上的圆 222 : myxC
2、 就压缩 为 xoy 平面上的椭圆12222 nymx ，于是我们可以利用圆的几何性质和压缩变换的性质来研究椭圆，通常研究三类问题 一 研究横坐标（或纵坐标）之间的关系 在压缩变换 下， xoy 平面上点 P 与原来 yox 平面上对应点 P 的横坐标相同，即PP xx 例 1.（ 2009 清华 大学自主 招生 ） 如图 1-1， 已知椭圆)0(12222 babyax ，过椭圆左顶点 )0,( aA 的直线 l 与椭圆交于 Q ，与 y 轴交于 R ，过原点与 l 平行的直线与椭圆交于 P 。 求证： AROPAQ ,2, 成等比数列。 证明：把 xoy 平面 上所有点横坐标不变，纵坐标变
3、为原来的ba倍，得到 yox 平面 ，于是椭圆 )0(12222 babyax 还原成圆222 ayx ，如图 1-2。 因为 AROP/ ，所以 AROP ，即 ),(),( RAPP yxyx , 所以 ),(),(RAPP ybaxybax ，即 RAPO ，所以 / RAPO 于是 AROPAQ ,2, 成等比数列 2|2| OPARAQ 2222 |)|1(2|1|1 PAQ xkxkaxk 2|2| PAQ xxax 2 |2| PORAQA xyOQRAP图 1-1 xyOQRAP图 1-2 2 设 dRO | ，由圆幂定理 22 | adRARQ ， 又 22 ad 2 | R
4、A | RAQA | RARQ = | RAQA 22 ad , 所以 2 2| aRAQA ，即 成立。 评注： 把椭圆还原成圆后并可利用圆幂定理。 例 2.（ 2012 全国高中数学联赛贵州省预赛） 如图 2-1，已知 BA, 是椭圆 )0(12222 babyax 的左右顶点， QP, 是椭圆上不同于顶点的两点，且直线 AP 与 QB 、 PB 与 AQ 分别交于点 NM, 。 （ 1）求证： ABMN ； （ 2）若弦 PQ 过椭圆的右焦点 2F ，求直线 MN 的方程。 解： 把椭圆所在平面 xOy 上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的ba得到 Oyx 平面， 于是椭圆 )0(122
5、22 babyax 还原成圆 222 ayx ，如图 2-2。 （ 1） NM xxABMN BANM , 显然，因为 BA 是直径， 所以 MAPN ， NAQM ， 所以 B 是 NMA 的垂心， 所以 BANM 。 (2)设 NM 与 x 轴交于 R ， 并设弧 QA 为 弧度，弧 PB 为 弧度， 于是2 BMP，22 FPO, 又 , MRBP 四点共圆，所以 BMPBRP ， 所以 2 FPO BRP ， 所以 2 FPO PRO ， 所以 | 22 ROFOPO ,所以caRO 2 | ， 所以直线 NM 的方程为 xca2，所以直线 MN 的方程为 xca2。 评注： 把椭圆还
6、原成圆后可利用圆中的角的关系证明相似。 二 研究直线的斜率 A BPQMNO图 2-1 xy2FA BPQMNO图 2-2 xy2FR3 在压缩变换 下， xoy 平面上直线的斜率 k 变为原来 yox 平面上对应直线斜率 k 的mn倍，即kmnk 例 3 （ 2011 年全国联赛） 如图 3-1，作斜率为31的直线 l 与椭圆 1436: 22 yxC交于 BA, 两点，且 )2,23(P 在直线 l 的左上方 （ 1）证明： PAB 的内切圆的圆心在一 条定直线上； （ 2）若 60APB ，求 PAB 的面积 解：作 xPQ 轴交椭圆于另一点 Q ，连结 OQ 把 xoy 平面 上所有点
7、横坐标不变，纵坐标变为原来的 3 倍，得到 yox 平面 ，如图 3-2 于是 椭圆 1436: 22 yxC还原成圆36: 22 yxC 。 （ 1）点 Q 的坐标为 )23,23( ，直线 BA 的斜率为 1331 ， 所以 1 BAQO kk，所以 BAQO ，由垂径定理知点 Q 平分弧 BA ，所以 QP 平分 BPA ，因为 xQP 轴，所以 AP与 BP 斜率互为相反数 所以 xoy 平面 上直线 PA 与 PB 的斜率也互为相反数，即 PQ 平分 APB ，所以 PAB 的内切圆的圆心在定直线 23x 上 （ 2）易得 PAB 的面积为493117评注： 把椭圆还原成圆后可利用垂
8、径定理。 例 4 （ 2013 全国高中数学联赛湖北省预赛） 如图 4-1， 设 ),( 00 yxP 为椭圆 14 22 yx内一定点（不在坐标轴上），过点 P 的两条直线分别与椭圆交于 CA, 和 DB, ，若 CDAB/ 。 （ 1）证明： 直线 AB 的斜率为定值； （ 2）过点 P 作 AB 的平行线，与椭圆交于 FE, 两点，证明：点 P 平分线段 EF 。 证明 ：把 xoy 平面 上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得到 yox 平面 ，如图 4-2 于是 椭圆 14 22 yx还原成圆 422 yx 。 (1)连结 , CBDA ，因为 CDAB/ ，所以 / DC
9、BA ， OPABxyQ图 3-2 OPAB xy图 3-1 QOPABxy图 4-1 CDEF4 所以 CBDA ,即 DCBA 为等腰梯形 所以 PBPA ,又 OBOA , 所以直线 PO 垂直平分弦 BA ， 因为 )2,( 00 yxP ，所以002 xyk PO ， 所以002 yxk BA ，所以004yxkAB 。 （ 2）直线 PO 垂直弦 BA ， /FE BA , 所以 PO 垂直弦 FE ，所以 点 P 平分线段 FE ， 所以 点 P 平分线 段 EF 。 评注： 把椭圆还原成圆后可利用圆中平行弦所夹弧相等。 例 5（ 2012 卓越 联盟 ）如图 5-1， 设椭圆
10、)2(14222 ayax的离心率为33。斜率为 k 的直线 l 过点 )1,0(E ，且与椭圆交于 DC, 两点。 （ 1）求椭圆方程； （ 2）若直线 l 与 x 轴交于 G ，且 DEGC ，求 k 的值； （ 3）设 A 是椭圆的下顶点， ADACkk , 分别为直线 ADAC, 的斜率。证明：对任意 k ，恒有 2 ADAC kk 。 解 ：（ 1）易得 椭圆方程 为 146 22 yx； （ 2）把 xoy 平面 上所有点横坐标变为原来的36，纵坐标不变，得到 yox 平面 ，如图 5-2 于是 椭圆 146 22 yx还原成圆 422 yx 。 取 GE 的中点 M ，因为 DE
11、GC ，所以 M 平分弦 CD ， 所以 DCMO ，又 GOMOGM , 设 l 的斜率为 k ， 所以 kk GM ，所以 1)( kk ， 得 1 k ，所以36k； （ 3） 2 ADAC kk 3 DACA kk， 设圆与 y 轴的交点为 B ，连结 , DBCB ，直线 CA 交 x 轴于 P ， 直线 DA 交 x 轴于 Q Oxy图 4-2 ABCDEFPOMAG xy图 5-1 CDEO xy图 5-2 AMCDEBP QG5 t a nt a n CB CACBAOPAk CA , t a nt a n DB DADBAxQDk CA 所以 3 DACA kk CBCA 3
12、 DBDA|21|21CBCA3s in| s in| DBCDB DACDA 3 DBCDACSS 3| | EBEA ,此式显然成立。 评注： 把椭圆还原成圆后可利用圆中的直角把斜率进行转化，从而把斜率乘积化为三角形面积之比。 三 在压缩变换 下， xoy 平面上封闭图形的面积 S 是原来 yox 平面对应封闭图形面积 S 的mn倍，即 SmnS 例 6（ 2013 全国高中数学联赛山东省预赛 ） 已知 椭圆 134 22 yx内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点 21,FF ，求该平行四边形 面积的最大值 解：把 xoy 平面 上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得到 yox
13、 平面 ，如图 6 于是 椭圆 134 22 yx还原成圆 4: 22 yxC ，先求 yox 平面 上相应平行四边形 DCBA 面积的最大值。 显然 DCBA 面积等于 4 个三角形 BAO 的面积 S ， 作 BA 边上的高 NO ，设 dNO | 24 ddS （ )10 2d 显然当 1d 时， S 取最大值 3 ， 所以 DCBA 面积最大值为 4 3 ， 相应椭圆 平行四边形面积 最大值为 6。 评注： 把椭圆还原成圆后并可得到以半径为腰的等腰三角形。 例 7（ 2011 全国高中数学联赛河南省预赛）以原点 O 为圆心，分别以 )0(, baba 为直径作两个圆。点 Q 是大圆半径
14、 OP 与小圆的交点，过点 P 作 OxAN 垂足为 N ，过点 Q 作 PNQM ，垂足为 M ，记当半径 OP 绕点 O 旋转时点 M 的轨迹为曲线 E 。 （ 1）求曲线 E 的方程； Oxy图 6 AB CD2F1FN6 （ 2）设 CBA , 为曲线 E 上三点，且满足 0 OCOBOA ,求 ABC 的面积。 解： （ 1）易得曲线 E 的方程为 12222 byax ； （ 2）把 xoy 平面 上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的ba倍，得到 yox 平面 ， 于是椭圆 12222 byax 还原成圆 222 ayx ， 如图 7. 因为 0 OCOBOA ，所以 ABC 的重心是原点 O ， 相应的， CBA 的重心是原点 O ， 由垂径定理得 CBA 是正三角形， 所以 CBA 得面积为 2433 a， 所以 ABC 的面积为 ab433。 评注： 把椭圆还原成圆后便可发现以原点为重心的三角形就是圆内接正三角形。 Oxy图 7 ABC
