1、初中数学论文对一道中考试题的改进与分析对很多的初三学生和数学老师来说，2005 年天津市高级中等学校招生考试数学试卷的第 18题是一个刻骨铭心的题目笔者初次接触这个题目已经是在 2006年的 4月初了，虽然迟了些，但还是有几句话想说。一、问题的初步分析我们先来看一下这个题目以及命题者提供的参考答案及说明。 例 1如图 1，已知五边形 中， ， ABCDEEAB90，则可以将该五边形 分成面积相等的两部分的直线有_条，满足条件的直线可以这样确定： EDCAB图 1参考答案及说明：无数例如，过点 作与 平行的直线将该五边形C分割为一个矩形和一个梯形，经过梯形中位线的中点及矩形对角线的交点的直线可将
2、该五边形的面积均分；设该直线与边 、 的交点DEAB分别为 、 ，线段 的中点为 ，则经过点 且与边 、 相交PQPO的任意一条直线均可将该五边形的面积均分。从题目的意思来看，第二格不应该是个开放性问题但从参考答案及说明来看， “例如，过点 作与 平行的直线将该五边形分割为CAB一个矩形和一个梯形，经过梯形中位线的中点及矩形对角线的交点的直线可将该五边形的面积均分”部分只是提供了一种情况；而“设该直线与边 、 的交点分别为 、 ，线段 的中点为 ，则经过DEABPQPO点 且与边 、 相交的任意一条直线均可将该五边形的面积均分”O部分虽然提供了无数种情况，但是终究没有概括出所有可能出现的情形从
3、这个意义上来说，这个题目似乎又是个开放性问题也就是说题意与参考答案之间是不一致的。这个可以算作是命题者在命题过程中的一个小小的失误吧。然而，正是这个小小的失误给很多老师带来非常大的麻烦。那么现在是修改题目呢，还是修改参考答案及说明呢？由于把所有可能出现的情形概括出来，是件非常复杂的事情（详见本文第三部分）所以这个题目是不宜设计成封闭性问题的，而应该把它设计成开放性问题笔者这里对“满足条件的直线可以这样确定”一段文字提出两种修改方案：若题目难度低些的话，则可以修改成“满足条件的其中一条直线可以这样确定” ；若题目难度高些的话，则可以修改成“你这样认为的理由是” 。若想做为一个封闭性问题来处理的话
4、，则修改成“所有满足条件的直线可以这样确定”时题意将更明确自然对学生来说，此时题目的难度是极大的但另一方面，这也是广大读者比较感兴趣的一个问题正因为如此，笔者想借用贵刊的一角来介绍自己的一些探究结果，以供读者参考在全面分析这个问题之前，我们还是先来看几个其它的平分图形面积的例子。二、相关问题的介绍对大多教师而言，直接探究例 1 是一件比较费劲的事先熟悉类似问题中比较基础的一些例子，可以启示大家对这个问题进行深入的思考平分组合（或不规则）图形面积问题，象 03 年江苏省宿迁市中考数学试题（类似例 4） ，04 年河北省（课改实验区）中考数学试题（类似例 5）都曾出现过从某种程度上讲，例 1 可以
5、看成是它们的综合、拓展。例 2 如图 2，已知四边形 是平行四边形连接 、 交于 点，ABCDACBDO则过 点的任一直线 平分平行四边形 的面积反之，平分平行Ol四边形 的面积的直线 必过 点具体的证明读者可以自己去完ABCDlO成。l lCDCMNOmABAB图 2 图 3例 3 如图 3，已知梯形 中 取梯形 中位线 的CDBACDMN中点 ，当过 点的直线 与线段 、 都相交时，被分得的两部分Ol中位线（注：不一定是梯形中位线，也有可能是三角形或平行四边形的）和高线都相等，此时直线 平分梯形 的面积是不是所有过l点的直线都平分梯形 的面积呢？回答是否定的，我们只要举ABC一条与直线 平
6、行的直线 即可，由于该直线截梯形 所得的线MNmABCD段长 大于 即 ，所以该直线 位于直线 的下方，22ABCD2NmMN如图 3 所示，显然直线 没有经过 点。O例 4现有如图 4 所示的方角铁皮，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案。图 4 图 5 图 6 图 7说明三种比较简单的分法见图 5图 7这里的三种分法都是通过割或补，把组合图形转化为基本图形.这与例 1参考答案所提供的思路完全一致。例 5是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图 8）分割成面积相等的两部分，请简略说出理由。l ll说明如图 9，作任意方向的一条直线 ,显然
7、图中情形时 左边部分面积l l小于整个图形面积的一半；把直线 向右平移至图 10位置后，直线左边部分面积大于整个图形面积的一半；由于右移过程直线 左边部l l分面积是连续性增加的，因此恰好有一个位置使得直线 左边部分面图 8 图 9 图 10 图 11积等于整个图形面积的一半，如图 11所示，此时直线 将整个图形面l积平分。需要指出的是例 5 中平分图形面积的直线有无数条，各个方向的直线都有，而且恰好各有一条。三、问题的进一步分析比较例 2 及例 3，读者可能会关心这样一个问题：平分图形面积的直线，什么样的图形必过某一定点（例如平行四边形） ，什么样的图形不存在这样的定点（例如梯形） 。其实这
8、与图形是否是中心对称图形有关下面只对凸多边形的情形进行证明。例 6如图 12，设平分某个图形面积的直线都过定点 .过 点任作两O条直线，它们截图形所得线段分别为 、 .设 ，ACBDACD则当 时，区域面积 ，区域面积 （注这021O21里角度采用弧度制）.由于区域、面积相等，所以，于是有 .这表明：过 点的任意一条直线，它截21OCA图形所得线段的中点就是 点。所以图形是中心对称图形，且对称中心是 点。EPDD CAOCOBABFQlG图 12 图 13从例 5、例 6 这两个例子的比照中，我们可以对“例 1”的问题得出这样的判断：满足条件的直线各个方向都是有的，而且每个方向正好只有一条；由
9、于这个五边形不是中心对称图形，因此满足条件的所有直线不可能经过一个定点。接下来我们对满足条件的所有直线给出具体的说明.如图 13，过点 作与 平行的直线将该五边形分割为一个矩形和CAB一个梯形，作经过梯形中位线的中点及矩形对角线的交点的直线 .由l于直线 同时平分梯形、矩形的面积，所以它平分五边形的面积。l设直线 与边 、 的交点分别为 、 ，再设线段 的中点为DEPQP，则经过点 且与边 、 都相交的任意一条直线也是平分五边ODEAB形的面积例如直线 、 都是平分五边形的面积的，这里以FG为例进行说明：DFPOQPODAFOPESSAAA五 边 形平分五边形面QOAFESA五 边 形 FDE
10、E四 边 形 四 边 形 12BCD五 边 形积。现在我们设满足条件的直线与五边形交于 、 两点显然 、MNM两点的轨迹会遍布整个五边形的边界图 13中表明： 从 到N D移动过程中，对应的 是从 到 移动，此时 的中点是 点。ENFGO类似于图 13，如图 14，过点 作与 平行的直线将该五边形分DBC割为一个矩形和一个梯形，作经过梯形中位线的中点及矩形对角线的交点的直线 平分五边形的面积.设直线 截五边形所得线段的中点为l l，则过 且与边 、 都相交的任意一条直线也是平分五边形的O BCAE面积.也就是说 从 到 移动过程中，对应的 是从 到 移动，此MNIH时 的中点是 点。NOEDD
11、I JCCHlABAFB图 14 图 15如图 15，当 从 到 移动过程中，对应的 是从 到 移动，MDJNA且此时的 点（与 重合时除外）应满足 ，因此图中（相当NFDM于 运动到 ， 运动到 的情形）就有 。JAAJF如图 16，当 从 到 移动过程中，对应的 是从 到 移动，CJ H且此时的 点（与 重合时除外）应满足 ，因此图中（相当HCN于 运动到 ， 运动到 的情形）就有 。MJNJEDEDJICCHABAGB图 16 图 17如图 17，当 从 到 移动过程中，对应的 是从 到 移动，且MBGNIE此时的 点（与 重合时除外）应满足 ，因此图中（相当于NI BMI运动到 ， 运动到 的情形）就有 （因画出来不够清楚，GEEG所以这里省略了） 。整个题目的思路可以归结为：先找出符合要求的一条直线，然后通过等积变形找到其它符合要求的直线实际上图 13、图 14中的 、l两条直线是可以相互推出的。l从上面的分析过程中，我们不难看出：问题的结论是很难用文字来表达清楚。就算是作图，图 15图 17的情形需要借助图 13或图14才可以比较容易地画出来。
