1、1师大附中 2011 年高一自主招生考试数学测试题本卷满分 150 分 考试时间 120 分钟三题号 一 二1 2 3 4 5总 分 复 核得分阅卷教师一、选择题（每小题 6 分，共 30 分。每小题均给出了代号为 A、B、C、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得 0 分）1、下列图中阴影部分面积与算式 的结果相同的是【 】21342、下列命题中正确的个数有【 】 实数不是有理数就是无理数； aaa ；121 的平方根是 11；在实数范围内，非负数一定是正数；两个无理数之和一定是无理数A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D
2、. 4 3、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知：父母买全票，女儿按半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标价相同，那么【 】A、甲比乙更优惠 B、乙比甲更优惠 C、甲与乙相同 D、与原标价有关4、如图，ACB60 ，半径为 2 的O 切 BC 于点 C，若将O 在 CB 上向右 滚动，则当滚动到O 与 CA 也相切时，圆心 O 移动的水平距离为【 】A、2 B、 C 、 D 、435、平面内的 9 条直线任两条都相交，交点数最多有 个，最少有 个，则mnm等于【 】A、36 B、37 C、38 D、39二、填空题（
3、每小题 6 分，共 48 分）1、甲、乙两人骑自行车，同时从相距 65 千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为 32.5 千米/时，则经过 小时，两人相遇。2、若化简 的结果为 ，则 的取值范围是 。1682x52x3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按 50、20和 30的比例计入学期总评成绩，90 分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的学生是 。笔试 实践能力 成长记录甲 90 83 95乙 88 90 95丙 90 88 904、已知点 是一次函数 的图像与反比例函数 的图像在第一象限内的交点，点 在 轴的负半轴上，且 （ 为坐标A
4、xyxy2BxOBA原点） ，则 的面积为 。OB5、如果多项式 可以分解成两个一次因式的积，那么整数 的值是 。21xp p6、如右图所示，P 是边长为 1 的正三角形 ABC 的 BC 边上一点，从 P 向 AB 作垂线 PQ，Q 为垂足。延长 QP 与 AC 的延长线交于 R，设BP= （ ） ，BPQ 与CPR 的面积之和为 ，把 表示为0y 的函数是 。x7、已知 为方程 的两实根，12x， 240x2312则 。31245x8、小明、小林和小颖共解出 100 道数学题，每人都解出了其中的 60 道，如果将其中只有 1 人解出的题叫做难题，2 人解出的题叫做中档题，3 人都解出的题叫
5、做容易题，那么难题比容易题多道。三、解答题（本大题 6 小题，共 72 分）1、 （10 分）在 中， ， 。 的垂直平分线分别交 、 于 、 两点，连结 ，如果 ，求：ABCA45ACABCDECD1A的值。Dtan2、 （12 分）某公司为了扩大经营，决定购买 6 台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过 34 万元。甲 乙价格（万元台） 7 5每台日产量（个） 100 60 按该公司的要求，可以有几种购买方案？ 若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不能低于 380 个，为了节约资金，应
6、选择哪种购买方案？3、 （12 分）如图所示，已知边长为 4 的正方形钢板有一个角锈蚀，其中 ， 。为了合理利用这块钢板将在五边形 EABCD 内截2AF1B取一个矩形块 MDNP，使点 P 在 AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。4、 （12 分）如图所示等腰梯形 中， ， ,对角线 与 交于 , , 点 分别是ABCDADCBABDO60ACSPQ、 、的中点。ODABC、 、求证： 是等边三角形。PQS5、 （12 分）如右图，直线 OB 是一次函数 的图像，点 A 的坐标是（0，2） ，点 C 在直线 OB2yx上且ACO 为等腰三角形，求 C 点坐标。6、 （14 分）已知
7、关于 x 的方程 有两个正整数根（m 是整数） 。018)3()1(2xxmABC 的三边 a、b、c 满足 ， ， 。a082b求： m 的值； ABC 的面积。师大附中 2011 年高一自主招生考试3数学试题参考答案一、1、B，2、B，3、B ，4、C ，5、B二、1、2 2、 3、甲、乙 4、 5、 6、 7、7 8、201x27,8132(4)x三 1、有已知可得 均为等腰直角三角形，计算得 ，在直角三角形 中， 。DEA和 1BDBCD12tanCDB2、 （1）设购买 台甲机器，则 ，所以 。即 取 0、1、2 三个值，有三种购买方案：不购买甲机器，购 6 台乙机器；x)6(7xx
8、购买 1 台甲机器，5 台乙机器；购买 2 台甲机器，购 4 台乙机器。（2）按方案，所需资金 （万元） ，日产量为 （个） ；按方案，所需资金 （万元） ，日产量为30536 32571（个） ；按方案，所需资金为 （万元） ，日产量为 （个） 。所以，选择方案4060 57 40602。3、如图所示，为了表达矩形 MDNP 的面积，设 DNx， PNy，则面积 Sxy ， 因为点 P 在 AB 上，由APQABF 得，即 21)4(xyy20代入，得 ，S1)(即 25y因为 3y4，而 y 不在自变量的取值范围内，所以 y 不是最值点，25当 y3 时，S12；当 y4 时，S8故面积的
9、最大值是 S12此时，钢板的最大利用率是 80。4、连 CS。ABCD 是等腰梯形，且 AC 与 BD 相交于 O，AO=BO,CO=DO.ACD=60，OCD 与 OAB 均为等边三角形.S 是 OD 的中点，CSDO.在 Rt BSC 中，Q 为 BC 中点，SQ 是斜边 BC 的中线，SQ= BC.12同理 BPAC.在 Rt BPC 中，PQ= BC.12又 SP 是OAD 的中位线，SP= AD= BC.12SP=PQ=SQ.故SPQ 为等边三角形.5、若此等腰三角形以 OA 为一腰，且以 A 为顶点，则 AO=AC1=2.设 C1（ ） ，则得 ，解得 ，得 C1（ ） ,2x22
10、()x85x86,5若此等腰三角形以 OA 为一腰，且以 O 为顶点，则 OC2=OC3=OA=2.设 C2（ ） ，则得 ，解得 .得 C2（ ）,x22()x4x4,又由点 C3 与点 C2 关于原点对称，得 C3（ ）5,若此等腰三角形以 OA 为底边，则 C4 的纵坐标为 1，从而其横坐标为 ，得 C4（ ）.121,2所以，满足题意的点 C 有 4 个，坐标分别为：（ ） ， （ ） ， （ ） ，C 4（ ）816,525,25,26、 （1）方程有两个实数根，则 ，解方程得01m， 由题意，得 即1mx32x1,36.4,2510m故 （2）把 代入两等式，化简得 ， ，0242a02b当 时， ba2QNM PA FBCDE4当 时， 、 是方程 的两根，而0，由韦达定理得，ba242x0， 0，则 0、 0 4ab ， 时，由于3c 222 146)( cab故ABC 为直角三角形，且C90，S ABC 1 ， 时，因 ，故不能构成三角形，不合题意，舍去2bac)2(3 ， 时，因 ，故能构成三角形3SABC 2212()(91综上，ABC 的面积为 1 或
