1、13.1 平方根教学目标：了解数的算术平方根及平方根的概念，并会用符号表示；理解平方与开方之间是互为逆运算的关系，会用计算器求一些正数的算术平方根重点：了解数的算术平方根及平方根的概念，会求某些非负数的平方根，会用根号表示一个数的平方根难点：对 大小的估算及如何理解 是非负数以及被开方数 是非负数；正确区分aaa算术平方根与平方根第 1 课时创设情景，导入新课请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为 25 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布2dm的边长应取多少 ？如果这块画布的面积是 ？21dm这个问题实际上是已知一个正
2、数的平方，求这个正数的问题（引入新课）合作交流，解读探究讨论：1、什么样的运算是平方运算？2、你还记得 120 之间整数的平方吗？自主探索：让学生独立看书，自学教材总结：一般地，如果一个正数 的平方为 ，即 ，那么正数 叫做 的算术平方xa2xxa根，记为 ，读作根号 ，其中 叫做被开方数a另外：0 的算术平方根是 0探究：怎样用两个面积为 1 的正方形拼成一个面积为 2 的大正方形把两个小正方形沿对角剪开，将所得的四个直角形拼在一起，就的到一个面积为2 的大正方形。设大正方形的边长为 ，则x2由算术平方根的意义，即大正方形的边长为 2讨论： 有多大呢？2思考：你能举些象 这样的无限不循环小数
3、吗？应用迁移，巩固提高例 1 求下列各数的算术平方根100 0.0001 0 496124点拨：由一个数的算术平方根的定义出发来解决问题思考：4 有算术平方根吗？备选例题：要使代数式 有意义，则 的取值范围是（ ）23xxA. B. C. D. 2x22x总结反思，拓展升华小结：1、算术平方根的定义和性质2、用计算器求一个正数的算术平方根拓展：已知 的算术平方根是 3， 的算术平方根是 4， 是 的整数部1a1abc13分，求 的算术平方根bc课堂跟踪反馈1、 非负数 的算术平方根表示为_，225 的算术平方根是_，0 的算术平方根是_2、 16128_,_,_2583、 的算术平方根是_,
4、的算术平方根_0.644、 若 是 49 的算术平方根，则 =（ ）xxA. 7 B. 7 C. 49 D.495、 若 ，则 的算术平方根是（ ）A. 49 B. 53 C.7 D .536、 若 ，求 的值。2130xyxyz,xyz7、 若 是 的整数部分， 是 的小数部分，试确定 、 的值。a0bab8、 一个自然数的算术平方根为 ，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方a根是_第 2 课时创设情景，导入新课复习提问：1、什么数的平方是 49？2、平方得 81 的数有几个？分别是什么？3、一对互为相反数的平方有什么关系？交流总结：由问题出发，认识到平方得一个正数的数有 2 个，并
5、且互为相反数（引入新课）合作交流，解读探究自主探索：独立看书，自学教材想一想：到底什么是平方根，它和我们已经认识的算术平方根有何关系？什么叫一个数的平方根？如何用符号表示？根据平方根的定义，只有什么数才有平方根？什么叫开方？如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根或二次方根，用符号表示为：aa若 ；只有非负数才有平方根；求一个数 的平方根的运算叫做开平2,xa则方运算。练一练：求下列数的平方根100 0.25 091616总结归纳：1、 正数有两个平方根，它们互为相反数2、 0 的平方根是 03、 负数没有平方根讨论：平方根与算术平方根之间有什么关系？总结：1、平方根与算术平方根之间的
6、区别定义不同：如果 ，那么 叫做 的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为2xaxa相反数；0 有一个平方根，是 0 本身；负数没有平方根。如果 ，并且 ，那么 叫做 的算术平方根。一个正数的算术平方根只有一2x个，非负数的算术平方根一定是非负数表示方法不同：正数 的平方根表示为 ；正数 的算术平方根为aaa平方根等于本身的数是 0；算术平方根等于本身的数是 0 或 12、平方根与算术平方根之间的联系二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根0 的平方根和 0 的算术平方根都是 0应用迁移，巩固提高例 1 说出下列各数
7、的平方根0.04 81225614例 2 说出下列各数的平方根各是什么？64 0 20.423634点评：要从根本之处理解一个数的平方根的运算，从平方根的概念入手，同时要知道，只有非负数才有平方根例 3 计算 7194126241021xx总结反思，拓展升华 小结 1、平方根的定义及符号表示2、平方根与算术平方根的关系拓展 已知 ，求： 的平方根372305ababab课堂跟踪反馈1、 判断下列说法是否正确5 是 25 的算术平方根 （ ） 是 的一个平方根 （ ）623 的平方根是4 （ ） 0 的平方根与算术平方根都是 0 （ ）2、 1_,1.69_,49_,120.3_3、若 ，则 ，
8、 的平方根是7xx4、 的平方根是（ ） A. B. C. D. 81694325、给出下列各数： ，其中有平方根的数49,2,30,3,45共有（ ）A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个6、若一个数 的平方根等于它本身，数 的算术平方根也等于它本身，试求 的平abab方根。7、求下列各数中的 值x 25x2810249x25360x9、 若 ，求 、 的值aabab一个正数有一个正的立方根0 有一个立方根，是它本身一个负数有一个负的立方根任何数都有唯一的立方根10、如果一个正数的两个平方根为 和 ，请你求出这个正数1a2713.2 立方根教学目标：了解立方根的概念，会用符号
9、表示一个数的立方根重点：了解立方根的概念，用立方运算求某些数的立方根； ，会用计算器求某3a些数的立方根难点：明确平方根与立方根的区别，能熟练地求某些数的立方根创设情景，导入新课出示一个正方体纸盒，提出问题，如果这个正方体的体积为 216 ，那么它每条棱长2cm是多少？合作交流，解读探究观察 由以上问题，有 ，即要求一个数，使它的立方等于 216，通过分析，有3216x，那么 6 就是这个正方体的棱长3621归纳 如果一个数的立方等于 ，这个数叫做 的立方根（也叫做三次方根） ，即如果aa，那么 叫做 的立方根3xax探究 根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？因为 ，
10、所以 8 的立方根是（ 2 ）32因为 ，所以 0.125 的立方根是（ ）.5.10.5因为 ，所以 8 的立方根是（ 0 ）30因为 ，所以 8 的立方根是（ ）22因为 ，所以 8 的立方根是（ ）37 3【总结归纳】 【类比思考】 平方根的表示我们已经很清楚了，那么立方根又该如何表示呢？【探究说明】 一个数 的立方根，记作 ，读作：“三次根号 ”，其中 叫被开方数，a3aa3 叫根指数，不能省略，若省略表示平方。例如： 表示 27 的立方根， ；327327表示 的立方根，27327【探究】因为 所以 = 38_,_,383因为 ，所以 = 3327_,27_327327总结 利用开立
11、方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即 。330a操作 用计算器求数的立方根的步骤及方法：用计算器求立方根和求平方根的步骤相同，只是根指数不同。步骤：输入 被开方数 = 根据显示写出立方根3例：求5 的立方根（保留三个有效数字） 被开方数 = 1.7099759473所以 1.7应用迁移，巩固提高例 1 求下列各数的立方根 8 2642581961038例 2 计算 3313027327643.4例 3 张叔叔有棱长为 的两个正方体纸箱中装满了大米，他将这两箱大米都倒入40.25cm了
12、另一个新的正方体木箱中，结果正好装满，那么这个新的正方体木箱的棱长大约是多少？（结果精确到 ）.分析 从一个实际问题中抽象出数学关系，即一个正方体的体积等于另一个正方体体积的 2 倍，列式并计算。例 4 解方程 30.15x341560x分析 我们已经学习了立方根，也能由立方根的定义求解 （ 为常数）这一类型3xa简单的三次方程。第小题，我们要把 看成一个整体，依然转化成为 的形x 3xa式，再由立方根定义去求解。备选例题 的自变量 的取值范围是（ ）3124yxA. 且 B. C. 且 D.全体实数11x2总结反思，拓展升华小结 1、立方根的概念和性质2、立方根与平方根的异同比较课堂跟踪反馈
13、1、 当 0 时， 有意义；当 为一切实数 时， 有意义x4xx34x2、 的立方根是 2 ， 的平方根是 2 ， 的立方根是 2 642383513、 8 的立方根与 的一个平方根的和等于 1 或5 814、 一个自然数的算术平方根是 ，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是a，立方根是 2a325、 解下列方程 31x364150x3126x6、已知 ，且 ，求 的值2yzyz13.3 实数(1)教学目标：了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算，会用计算器进行实数的运算重点：实数的意义和实数的分类；实数的
14、运算法则及运算律难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的；准确地进行实数范围内的运算第 1 课时创设情景，导入新课略合作交流，解读探究探究 使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？3 ， ， ， ， ，5478915我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即， ， ， ， ，.0.6.8790.81.250.9归纳 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数观察 通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数， 也是无理数3.145926结论 有
15、理数和无理数统称为实数试一试 把实数分类整 数有 理 数 有 限 小 数 或 无 限 循 环 小 数实 数 分 数无 理 数 无 限 不 循 环 小 数像有理数一样，无理数也有正负之分。例如 ， ， 是正无理数，23， ， 是负无理数。由于非 0 有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可23以这样分类：0正 有 理 数正 实 数 正 无 理 数实 数 负 有 理 数负 实 数 负 无 理 数我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？探究 如图所示，直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点 O，点 O的坐标是多少？总结
16、1、事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数2、 与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大讨论 当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？总结 数 的相反数是 ，这里 表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；aa一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0应用迁移，巩固提高例 1 把下列各数分别填入相应的集合里
17、：33278,.41,.1,1.40.2,78 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 备选例题 下列实数中是无理数的为（ ）A. 0 B. C. D. 3.529总结反思，拓展升华小结 1、什么叫做无理数？2、什么叫做有理数？3、 有理数和数轴上的点一一对应吗？4、 无理数和数轴上的点一一对应吗？5、 实数和数轴上的点一一对应吗？课堂跟踪反馈1、下列各数中，是无理数的是（ ）A. B. C. D. .7321.433.142、已知四个命题，正确的有（ ）有理数与无理数之和是无理数 有理数与无理数之积是无理数无理数与无理数之积是无理数 无理数与无理数之积是无理数A. 1 个 B. 2 个 C.
18、 3 个 D.4 个3、若实数 满足 ，则（ ）a1A. B. C. D. 000a0a4、下列说法正确的有（ ）不存在绝对值最小的无理数不存在绝对值最小的实数不存在与本身的算术平方根相等的数比正实数小的数都是负实数非负实数中最小的数是 0A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D.5 个5、 的相反数是 ，绝对值是 223 1010 1 234若 ，则 2xx36、 是实数，则 2 6、 已知实数 、 、 在数轴上的位置如图所示：abc化简 （答案： ）2cab4abc第 2 课时创设情景，导入新课复习导入：1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律2、用字母表示有理数的加
19、法交换律和结合律3、平方差公式、完全平方公式4、有理数的混合运算顺序合作交流，解读探究自主探索 独立阅读，自习教材总结 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0） 、乘方运算，而且正数及 0 可以进行开方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。讨论 下列各式错在哪里？O1、 2、213939213、 4、当 时，56x20x【练一练】计算下列各式的值： 232总结 实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的试一试 计算：（精确到 0.01） （结果保留 3 个有效数字）1523总结 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算【练一练】计算 32123213123提示 式的结构是平方差的形式 式的结构是完全平方的形式总结 在实数范围内，乘法公式仍然适用应用迁移，巩固提高例 1 为何值时，下列各式有意义？a232a3415a3216a例 2 计算求 5 的算术平方根于的平方根之和（保留 3 位有效数字） （精确到 0.01）2 （ ） （精确到 0.01）aa例 3 已知实数 在数轴上的位置如下，化简bc、 、 2abcac例 4 计算2023解： 30（ 加 法 结 合 律 ） 53（ 分 配 律 ）O
