1、1浙江省 2011 届高三数学复习分类汇编导数及其应用一、选择题1 【嘉兴市理】8 （文科 7）己知函数 32fxabc，其导数 f(x)的图象如图所示，则函数 f(x)的极小值是 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.mAa+b+c B8a+4b+c C3a+2b Dc2 【宁波市理】8函数 )(xf的定义域为（a,b） ，其导函数 ),(baxfy在内的图象如图所示，则函数 在区间（a,b）内极小值点的个数是 ( ) （A）1 （B） 2 （C）3 （D）4 3 【温州十校联合理】4、如图所示的曲线是函数 dcxbxf23)(的大致图象，则 21x等于（ ）A 98B 910C 16
2、 D 45【D 、A、C 】二、填空题1 【嘉兴市理】14设函数 2fxab(a0) ，若 200)()(xfdf，x 00，则 x0= 2 【温州中学理】14已知函数 )(3，对任意的 )(f2m,恒成立，则 x的取值范围为_ 【 32、（-2， ） 】三、计算题1 【杭州市文】(19)（本题 14 分）设 ()fx是定义在 R上的奇函数，且当 0x时， 2)(xf() 求 0x时， ()fx的表达式；() 令 gln)(，问是否存在 0x，使得 )(,xgf在 x = x0 处的切线互相平行？若存在，请求出 0x值；若不存在，请说明理由【解】() 当 0x时， ，22)()(xff ; -
3、 6 分()若 ,xg在 0处的切线互相平行，则 )()(00xgf, - 4 分x1Oy2x（第 4 题）图2xgxf 1)(4)( 00，解得, 210x 0 , 得 2 - 4 分2 【杭州市文】(22) (本题 15 分）已知 ,aR函数 )()2axf（）当 a=3 时，求 f（x ）的零点；（）求函数 yf ( x)在区间 1,2 上的最小值【解】() 由题意 )3(2, 由 0xf，解得 x 或 ; - 4 分() 设此最小值为 m，而 ),21(),3(2)(/ xaaxf（1）当 a时， ,1,0/x则 )(xf是区间1,2上的增函数, 所以 f)(; - 3 分（2）当 0
4、时，在 3a或 时， ，axfxf 上 是 增 函 数在 区 间从 而 ),32)(,0)(/ 在 x时， 上 是 单 减 函 数在 区 间从 而 0/ - 3 分 当 2a，即 时， fm48)2(; 当 31，即 3a时， .27)33af 当 20a时， f1)(.综上所述，所求函数的最小值 )3(,247),3am. - 5 分3 【嘉兴市理】20(本小题满分 14 分)已知函数 21lnfxax (aR)（）若函数 f(x)的图象在 x=2 处的切线方程为 yxb，求 a，b 的值；（）若函数 f(x)在(1，+)为增函数，求 a 的取值范围3【解】 (1)因为：f(x)=x- xa
5、(x0)，又 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=x+b所以 ，baIn21 2 分解得：a=2， 4 分b=-2In2 6 分(2)若函数 f(x)在(1 ，+ )上恒成立则 f(x)=x- xa0 在(1，+)上恒成立即：ax 2 在(1 ，+ ) 上恒成立。所以有 al 14 分4 【宁波市理】22 （本题 14 分）已知函数 )()(tf和点 )0 ,1(P，过点 作曲线 )(xfy的两条切线PM、 N，切点分别为 ,(1yxM、 ,2yxN（1）求证： 21,x为关于 的方程 02t的两根；（2）设 )(tg，求函数 )(tg的表达式；（3）在（2）的条件下，若在区间 16, 2
6、内总存在 1m个实数 121,ma （可以相同） ，使得不等式)()(21 maa成立，求 的最大值【解】 （1）由题意可知： 1212,ttyxyx 2)(xtf， 2 分切线 PM的方程为： )(1)(121xtxty，又 切线 过点 )0,(， 有 )()(1211xtt，即 21tx， 同理，由切线 PN也过点 )0,1(，得 02tx由、 ，可得 21,x是方程 2t（ * ）的两根5 分（2）由（ * ）知. . ,21t2121 )()( xtxxMN )1(4)( 22121 xtx t20，4 )0( 20)(tttg9 分（3）易知 在区间 16,上为增函数，)()(gai
7、)1,mi， 则 )16(221 gagm 11 分即 )6(g，即 20 20 ，所以 3，由于 m为正整数，所以 6.又当 6m时，存在 2621aa ， 17满足条件，所以 m的最大值为 6 14 分5 【宁波市文】20 （本题满分 14 分）已知函数 xfln)(， ag)(，设 )()(xgfxF.()当 时，求函数 )(xF的单调区间；（)若以函数 30y图象上任意一点 ),(0yP为切点的切线斜率21k恒成立，求实数 a的最小值. 【解】 () 由已知可得 xgxfF1ln)()(，函数的定义域为 ),(则 21xF 由 0)(可得 )(x在区间 ),1(上单调递增,12x得 F
8、在 ,上单调递减 6 分()由题意可知 2)(00ak对任意 30x恒成立 即有 ax201对任意 3x恒成立，即 amx20)1( 令 )21)(2002 t 则 2a，即实数 的最小值为 ； 14 分6 【嘉兴市】21、已知函数 ,()fxagxR（1）判断函数 fx的对称性和奇偶性；（2）当时，求使 2()4g成立的 的集合；（3）若 0a，记 ()Fgf，且 Fx在 0,有最大值，求 的取值范围.【解】 （1）由函数 )(xfa可知，函数 fx的图象关于直线 xa对称；5当 0a时，函数 fx是一个偶函数；当 0a时，取特值： 0,()20fafa，故函数fx是非奇非偶函数.（2）由题
9、意得 2，得 0或 21x；因此得 x或 1或 x，故所求的集合为,1.（3）对于 0a， ()(0)()aaFxgfax若 ， 在区间 ,a上递增，无最大值；若 1， 21()x有最大值 1若 0a， F在区间 0,上递增，在 ,a上递减， Fx有最大值 2a；综上所述得，当 时， 有最大值.7 【台州市理】22. （本题满分 14 分）已知 ()fx= 2ln43x,数列 n满足: *1 2 ,0Nnafaan（1）求 ()fx在 ，上的最大值和最小值;（2）证明： 102na;（3）判断 n与 1()N的大小，并说明理由.【解】 (1) ()4l, xf当 1-02x时， -()02fx
10、 3-4 lnxf在 1, 上是增函数 6 分maxmin5ff02; f- -ln2（2） （数学归纳法证明）当 1n时，由已知成立；假设当 k时命题成立，即 102ka成立，那么当 时，由得 5()ln2,)kQf1352lnka1k6102ka，这就是说 1nk时命题成立.由 、 知，命题对于 N都成立 9 分（3） 由 1 12nnnaaf 记 xfxg得 4ln21ln)( 1xxfg 10 分当 102时， 2,4.xx故 10x所以 )(xgg(0)=f(0)-2=0 nanf120,即 nnaa10 得 1n a 14 分8 【台州市文】22 （本小题满分 15 分）已知定义在
11、 R上的函数 2()3)fx，其中 为常数.（1）若 0a，求证：函数 )(xf在区间 (,0)上是增函数；（2）若函数 (),1gxf，在 x处取得最大值，求正数 a的取值范围.【解】 （1）当 时， 23x在区间 (,)上是增函数，当 0a时， ()6faxa， 0x， ()0fx函数 )(xf在区间 ,上是增函数，综上得，函数 在区间 (0)上是增函数. 7 分(2) 320,()26,1.agxax26()()ax 令 2 2(),10*,40.xx即 10 分设方程（*）的两个根为 2,由 （*）式得 21ax，不妨设 210x.当 20x时， )(xg为极小值，所以 )(g在0 ，
12、1上的最大值只能为 )(g或 ；11 分当 1时，由于 在0，1上是单调递减函数，所以最大值为 ，所以在0，1 上的最大值只能为 )0(或 1， 12 分7又已知 )(xg在 0处取得最大值，所以 (0)1,g即 9908,88aa解 得 又 因 为 所 以 . 15 分9 【温州十校联合理】22、 （本小题满分 14 分） 已知函数 2()ln(4)fxxa(1,)在上是增函数.（I）求实数 a 的取值范围；（II）在（I）的结论下，设 3ln,02|)(xaexg，求函数 )(xg的最小值【解】 （I） .41)(axf 2 分.2)1(4),1.)1(4,),(0,x xax等 号 成
13、立时当 且 仅 当 恒 成 立即上 恒 成 立在上 是 增 函 数在所以 .a 7 分（II）设 .2|)(,athetx则 .31,ln0tx8 分810 【温州十校联合文】21 （15 分）设函数 3()fxabc(0)为奇函数，其图象在点 (1,)f处的切线与直线 076yx垂直，且在 x1 处取得极值()求 a， b， c的值；（）求函数 ()f在 ,3上的最大值和最小值。【解】11 【温州中学理】22 （本题 14 分）已知函数 lnxea)x(f2（其中 a为常数， e为自然对数的底数） （）任取两个不等的正数 21x、 ， 021恒成立，求： 的取值范围；（）当 0a时，求证：
14、0)(f没有实数解912 【温州中学文】20 （本小题满分 14 分）已知 321ln,fxgxxmn，直线 l与函数,fxg的图象都相切于点 1,0（1）求直线 l的方程及 ()gx的解析式；（2）若 hf（其中 x是 g的导函数） ，求函数 hx的值域.【解】 （1）直线 l是函数 lnf在点 ,处的切线，故其斜率 1kf，所以直线 的方程为 1.yx (2 分) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又因为直线 l与 g的图象相切，所以 321gxxmn在点 ,0的导函数值为 1. 101 6mn所以 326 （6 分）（2）因为 2ln10hxfgxx （7 分）所以2()12（9 分）当 0x时， 0hx；当 1时， 0hx （11 分）因此，当 12时， 取得最大值 ln24 （13 分）所以函数 hx的值域是 1,ln24. （14 分）2221()(0).24.611()244.8fxaxeexaeea（ 1） 分由 条 件 恒 成 立 分 分.8分 21ln()(0),(0)0.11ln().(,)()0,(,)xgxaxhexhehx（ ） 令当 时 分 分令 则 在 上 为 增 函 数 ， 上 为 减 函 数 ，ma21().13lnl0() xghxaeef分时 恒 成 立 即即 恒 成 立 无 解 .14分
