1、1珠海市 2006 年高中数学教师解题比赛试题时量：120 分钟 满分：150 分 注意: 1.本次考试允许使用各型计算器 .2.若认为试题少了条件,请自行补充.若认为试题有误,可自行修改.不必要的修改为错解.一、填空题(每题 7 分,共 56 分) ：1求和：12 1+222+323+n2n(nN,n5)=_。2已知三角形 ABC 的三边 a，b，c 成等差数列，则 cosB 的范围是_。3 已知 x2+xy+y2=3，则 x2+y2 的范围是_。4函数 f(x)= 请给出它的单调递增区间:_ 。13,.R5已知函数 f（x）满足以下条件：在定义域 R 上连续，图象关于原点对称，值域为（-1
2、，1）。请给出一个这样的函数： _。6已知点 O 在ABC 内部，且有 ，则OAB 与OBC 的面积之比为24OABC0_。7已知四面体 ABCD 的五条棱长为 2，一条棱长为 1，那么它的外接球半径为_。8从 1 到 10 的十个整数中任选三个,使它们的和能被 3 整除,这样的选法共有_种。二、解答题(每题 20 分,共 80 分) ：9设是 x1,x2,x3,xn 是非负实数，且 ， nN,n5.求证：12nkx。121()()n学校_姓名 _密_封_线_210有人玩掷硬币走跳棋的游戏.已知硬币出现正面和反面的概率都是 0.5,棋盘上标有第 0站,第 1 站,第 2 站,第 20 站.一枚
3、棋子开始在第 0 站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若掷出正面,棋子向前跳一站,若掷出反面,则棋子向前跳两站,直到棋子跳到第 19 站(胜利之门)或第 20 站(失败之门) 时,该游戏结束.求玩该游戏获胜( 即进入胜利之门) 的概率.11已知在一个 U 形连通管内始终保持着 4 升的液体（当一端注入液体时，另一端将同时排出同样体积的液体），原来全是 A 液体。现将 B 液体注入其中，每隔 10 秒钟注入 0。1升（假设两种液体 5 秒左右能够均匀互溶）。请问从注入 B 溶液起多长时间 A、B 两种溶液浓度最为接近？312若抛物线 y=ax2-2 上总存在关于直线 x+y+1=0 对称的不
4、同两点，求 a 的范围。4三、论述题(每题 7 分,共 14 分 )：13请问普通高中数学课程标准（实验）对数学的意义赋予了什么新的内容？14请谈谈你在转化数学后进生方面的经验和体会._密_封_线_5珠海市 2006 年高中数学教师解题比赛试题及参考答案时量：120 分钟 满分：150 分本次考试允许使用各型计算器试题若条件不够可自行补充,若条件有误可自行修改,不必要的修改为错解.二、填空题(每题 7 分,共 56 分) ：1求和：12 1+222+323+n2n=_2（n-1）2 n+2_。2已知三角形 ABC 的三边 a，b，c 成等差数列，则 cosB 的范围是_1/2，1）_。（利用三
5、角形两边之和大于第三边，2b=a+c，确定 a 与 c 的关系，由余弦定理，得到一个函数，最后求出它的值域）3 已知 x2+xy+y2=3，则 x2+y2 的范围是_2 ，6_。（用三角换元法）4 它的递增区间是（-，+ ）。( 可以估计,参考|x|+3x 的单调性)()13,.f R5已知函数 f（x）满足以下条件：在定义域 R 上连续，图象关于原点对称，值域为（-1，1）。请给出一个这样的函数： 。212(),.()arctn,.xf fxxR或（或满足条件的其它函数）(),.|fxxR6已知点 O 在ABC 内部，且有 ，则OAB 与OBC 的面积之比为24OABC0_4：1_。（利用平
6、行四边形及三角形面积公式转换。也可构造正三角形得到这个比例值）7已知四面体 ABCD 的五条棱长为 2，一条棱长为 1，那么它的外接球半径为 。165(可以想象成一个正三角形沿一条边折起,找到外接球心位置后,设出半径,列方程求解)8从 1 到 10 的 10 个整数中，任选三个使它们的和能被 3 整除，则不同的选法有 42 种。（将 10 个数按除以 3 的余数分为三类，三个数的分布只有（1，1，1）和（3，0，0）（0，3，0）（0，0，3）四种情况，因此共有 433+4+1+1=42 种）二、解答题(每题 20 分,共 80 分) ：9设是 x1,x2,x3,xn 是非负实数，且 ，求证：
7、 。12nkx121()()2nxx证明：设 xm、x n 是非负实数，且它们的和小于 1/2，由， ()nmnx易得 12312312().(1)()(.1).1nn n ixxxx由已知， ，所以 成立。1nkx12n本题考查证不等式的一般能力，如能提出构想：将 n 项乘积转化为 n-1 项的乘积，则思路就容易产生。估计的思想也很重要，即转化出的中间量应在左边与右边之间，比 1/2 大。6本题也可采用数学归纳法证明，原理是一样的。从简单的情况入手，如 n=2 时的证明能否推广到 n=3 以上等，也是一个重要方法。10有人玩掷硬币走跳棋的游戏.已知硬币出现正面和反面的概率都是 0.5,棋盘上
8、标有第 0站,第 1 站,第 2 站,第 20 站.一枚棋子开始在第 0 站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若掷出正面,棋子向前跳一站,若掷出反面,则棋子向前跳两站,直到棋子跳到第 19 站(胜利之门)或第 20 站(失败之门) 时,该游戏结束.求玩该游戏获胜( 即进入胜利之门) 的概率.本题考查运用概率和数列知识解决生活中的问题的能力.涉及到相互独立事件的概率计算公式,数列递推公式的推导,等比数列求和等问题.解:P 0=1(把开始的站也看作是”跳到” 的站), P1=1/2.棋子跳到第 2 站有两条路线:路线一,直接从第 0 站跳两步到第 2 站; 路线二,从第 0 站跳到第1 站,再
9、从第 1 站跳到第 2 站.所以 P2=1/2+(1/2)2=3/4.棋子跳到第 n 站(2n20)的情况有两种 :第一种,棋子先跳到第 n-2 站,又掷出反面,其概率为 Pn-2/2;第二种 , 棋子先跳到第 n-1 站,又掷出正面,其概率为 Pn-1/2.根据分类计数原理得: P n =Pn-1/2+ Pn-2/2,所以 Pn Pn-1 =-(Pn-1 Pn-2)/2, Pn Pn-1构成首项为-1/2, 公比为-1/2 的等比数列.所以 P1P0=-1/2, P2P1=(-1/2)2, P3P2=(-1/2)3,P19P18=(-1/2)19.将以上各式相加得: P 19P0=-1/2+
10、(-1/2)2+(-1/2)19所以 P19= .()311已知在一个 U 形连通管内始终保持着 4 升的液体（当一端注入液体时，另一端将同时排出同样体积的液体），原来全是 A 液体。现将 B 液体注入其中，每隔 10 秒钟注入 0。1升（假设两种液体能够迅速互溶）。请问从注入 B 溶液起隔多长时间时 A、B 两种溶液浓度最接近？解：假设两种液体混合后，其体积为混合前的体积之和。两种液体的比重相同。设第 n 个 10 秒末，A 溶液的体积为 an，B 溶液的体积为 bn，则 an+bn=4，且 an=an-1-an-10.1/4= an-13.9/4，a 1=3.9，n2，nN *。所以：a
11、n=3.9(39/40)n-1.容器不变，A、B 两种溶液浓度最接近时，等价于它们的体积最接近，即当|a n/4-bn/4|=|an-2|/2,当 an 与 2 最接近时，两种溶液浓度最接近。经过计算可知，当 n=27 时，即从注入 B 溶液起隔大约 260 秒至 270 秒之间两种溶液浓度最接近。12若抛物线 y=ax2-2 上总存在关于直线 x+y+1=0 对称的两点，求 a 的范围。解:过程略,a（ 3/4，+）.三、论述题(每题 7 分,共 14 分 )：13请问普通高中数学课程标准（实验）对数学的意义赋予了什么新的内容？答案略.参照标准给分.从基础性、工具性、应用性和人文价值四方面回答，要点基本答对的给满分,少一条则减一分.14请谈谈你在转化数学后进生方面的经验和体会。7认识很深刻,有操作性,可供参考的经验的,给满分,只有理念,没有实际体会的酌情扣分.
