1、竞赛讲座 01奇数和偶数整数中，能被 2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用 2k表示 ，奇数可用2k+1表示，这里 k是整数.关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）若 a、b 为整数，则 a+b与 a-b有相同的奇数偶；（5）n 个奇数的乘积是奇数，n 个偶数的乘积是 2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.1.代数式中的奇偶问题例 1（
2、第 2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这 12个整数中，至少有几个偶数？+=， -=， .解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这 12个整数中至少有六个偶数.例 2 （第 1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知 n是偶数，m 是奇数，方程组是整数，那么（A）p、q 都是偶数. （B）p、q 都是奇数.（C）p 是偶数，q 是奇数 （D）p 是奇数，q 是偶数 分析 由于 1988y是偶数，由第一方程知 p=x=n+1988y，所以 p是偶数，将其代入第二方程中，于是 11x也为偶数，从而 27y=m-11x为奇数，所以是
3、 y=q奇数，应选（C）例 3 在 1，2，3，1992 前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.分析 因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而 1+2+3+1992= =9961993为偶数 于是题设的代数和应为偶数.2.与整除有关的问题例 4（首届“华罗庚金杯”决赛题）70 个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的 3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，.问最右边的一个数被 6除余几？解 设 70个数依次为 a1,a2,a3据题意有a1=0, 偶a2=1 奇a3=3a
4、2-a1, 奇a4=3a3-a2, 偶a5=3a4-a3, 奇a6=3a5-a4, 奇由此可知：当 n被 3除余 1时，a n是偶数；当 n被 3除余 0时，或余 2时，a n是奇数，显然 a70是 3k+1型偶数，所以 k必须是奇数，令 k=2n+1，则a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.解 设十位数，五个奇数位数字之和为 a，五个偶数位之和为b(10a35,10b35)，则 a+b=45，又十位数能被 11整除，则 a-b应为0，11，22（为什么？）.由于 a+b与 a-b有相同的奇偶性，因此 a-b=11即a=28，b=17.要排最大的十位数，妨先排出前四位数 9876，由
5、于偶数位五个数字之和是 17，现在 8+6=14，偶数位其它三个数字之和只能是 17-14=3，这三个数字只能是 2，1，0.故所求的十位数是 9876524130.例 6（1990 年日本高考数学试题）设 a、b 是自然数，且有关系式123456789=（11111+a）（11111-b）， 证明 a-b是 4的倍数.证明 由式可知11111（a-b）=ab+4617 a0,b0,a-b0首先，易知 a-b是偶数，否则 11111(a-b)是奇数，从而知 ab是奇数，进而知a、b 都是奇数，可知(11111+a)及(11111-b)都为偶数，这与式矛盾其次，从 a-b是偶数，根据可知 ab是
6、偶数，进而易知 a、b 皆为偶数，从而ab+4617是 4的倍数，由知 a-b是 4的倍数.3.图表中奇与偶例 7（第 10届全俄中学生数学竞赛试题）在 33的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表.解 按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：在黑板所示的 22的正方形表格中，按题设程序“变号”，“+”号或者不变，或者变成两个. 表(a)中小正方形有四个“+”号，实施变号步骤后，“+”的个数仍是偶数；但表(b)中小正方形“+”号的个数仍是奇数，故它不能从一个变化到另一个.显然
7、，小正方形互变无法实现，33 的大正方形的互变，更无法实现.例 8（第 36届美国中学生数学竞赛试题）将奇正数 1，3，5，7排成五列，按右表的格式排下去，1985 所在的那列，从左数起是第几列？（此处无表）解 由表格可知，每行有四个正奇数，而 1985=4496+1，因此 1985是第 497行的第一个数，又奇数行的第一个数位于第二列，偶数行的第一个数位于第四列，所以从左数起，1985 在第二列.例 9 如图 3-1，设线段 AB的两个端点中，一个是红点，一个是绿点，在线段中插入 n个分点，把 AB分成 n+1个不重叠的小线段，如果这些小线段的两个端点一个为红点而另一个为绿点的话，则称它为标
8、准线段.证明 不论分点如何选取，标准线段的条路总是奇数.分析 n 个分点的位置无关紧要，感兴趣的只是红点还是绿点，现用 A、B 分别表示红、绿点；不难看出：分点每改变一次字母就得到一条标准线段，并且从 A点开始，每连续改变两次又回到 A，现在最后一个字母是 B，故共改变了奇数次，所以标准线段的条数必为奇数. 4.有趣的应用题例 10（第 2届“从小爱数学”赛题）图 3-2是某一个浅湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.（1）如果 P点在岸上，那么 A点在岸上还是在水中？（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果有一点 B，他脱鞋垢次数与穿鞋的次数和是个奇数，那么 B点是在岸上还是在水中？
9、说明理由.解 （1）连结 AP，显然与曲线的交点数是个奇数，因而 A点必在水中.（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数和为 2，由于 A 点在水中，氢不管怎样走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数，可见 B点必在岸上.例 11 书店有单价为 10分，15 分，25 分，40 分的四种贺年片，小华花了几张一元钱，正好买了 30张，其中某两种各 5张，另两种各 10张，问小华买贺年片花去多少钱？分析 设买的贺年片分别为 a、b、c、d（张），用去 k张 1元的人民币，依题意有10a+15b+25c+40d=100k,(k为正整数)即 2a+3b+5c+8d=20k显然 b、c 有相
10、同的奇偶性.若同为偶数，b-c=10 和 a=b=5， 不是整数；若同为奇数，b=c=5 和 a=d=10,k=7.例 12 一个矩形展览厅被纵横垂直相交的墙壁隔成若干行、若干列的小矩形展览室，每相邻两室间都有若干方形门或圆形门相通，仅在进出展览厅的出入口处有若干门与厅外相通，试证明：任何一个参观者选择任何路线任意参观若干个展览室（可重复）之后回到厅外，他经过的方形门的次数与圆形门的次数（重复经过的重复计算）之差总是偶数.证明 给出入口处展览室记“+”号，凡与“+”相邻的展览室记“-”号，凡与“-”号相邻的展览室都记“+”号，如此则相邻两室的“+”、“-”号都不同.一参观者从出入口处的“+”号
11、室进入厅内，走过若干个展览室又回到入口处的“+”号室，他的路线是+-+-+-+-，即从“+”号室起到“+”号室止，中间“-”、“+”号室为 n+1（重复经过的重复计算），即共走了 2n+1室，于是参观者从厅外进去参观后又回到厅外共走过了 2n+2个门（包括进出出入口门各 1次）.设其经过的方形门的次数是 r次，经过圆形门的次数是 s，则 s+r=2n+2为偶数，故 r-s也为偶数，所以命题结论成立.例 13 有一无穷小数 A=0.a1a2a3anan+1an+2其中 ai(i=1,2)是数字，并且 a1是奇数，a 2是偶数，a 3等于 a1+a2的个位数，a n+2是 an+an+1(n=1,
12、2,)的个位数，证明 A是有理数.证明 为证明 A是有理数，只要证明 A是循环小数即可，由题意知无穷小数 A的每一个数字是由这个数字的前面的两位数字决定的，若某两个数字 ab重复出现了，即 0.abab此小数就开始循环.而无穷小数 A的各位数字有如下的奇偶性规律：A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇又 a是奇数可取 1，3，5，7，9；b是偶数可取 0，2，4，6，8.所以非负有序实数对一共只有 25个是不相同的，在构成 A的前 25个奇偶数组中，至少出现两组是完全相同的，这就证得 A是一循环小数，即 A是有理数.练 习 1.填空题（1）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于 4，最大数与最小数
13、的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是_.（2）有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的 多 18，这五个偶数之和是_.（3）能否把 1993部电话中的每一部与其它 5部电话相连结？答_.2.选择题（1）设 a、b 都是整数，下列命题正确的个数是（ ）若 a+5b是偶数，则 a-3b是偶数；若 a+5b是偶数，则 a-3b是奇数；若 a+5b是奇数，则 a-3b是奇数；若 a+5b是奇数，则 a-3b是偶数.（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（2）若 n是大于 1的整数，则 的值（ ）.（A）一定是偶数 （B）必然是非零偶数（C）是偶数但不是 2
14、（D）可以是偶数，也可以是奇数（3）已知关于 x的二次三项式 ax2+bx+c（a、b、c 为整数），如果当 x=0与 x=1时，二次三项式的值都是奇数，那么 a（ ）（A）不能确定奇数还是偶数 （B）必然是非零偶数（C）必然是奇数 （D）必然是零3.（1986 年宿州竞赛题）试证明 11986+91986+81986+61986是一个偶数.4.请用 0到 9十个不同的数字组成一个能被 11整除的最小十位数.5.有 n 个整数，共积为 n，和为零，求证：数 n能被 4整除6.在一个凸 n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸 n边形顶点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交，
15、而且把原凸 n边形分为只朋角形的小块，试证这种小三我有形的个数与 n有相同的奇偶性.7.（1983 年福建竞赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这四位数. 8.（1909 年匈牙利竞赛题）试证：3 n+1能被 2或 22整除，而不能被 2的更高次幂整除.9.（全俄 15届中学生数学竞赛题）在 1，2，3，1989 之间填上“+”或“-”号，求和式可以得到最小的非负数是多少？练习参考答案（）（最小两位奇数是，最大数与最小数同为奇数）（）设第一个偶数为，则后面四个衣次为，（）不能 是奇数， 的个位数字是奇数，而
16、 ， 都是偶数，故最后为偶数仿例 设 ， ， 满足题设即 。假如为奇数，由，所有 皆为奇数，但奇数个奇数之和为奇数，故这时不成立，可见只能为偶数由于为偶数，由知 中必有一个偶数，由知 中必有另一个偶数于是 中必有两个偶数，因而由知必能被整除设小三角形的个数为，则个小三角形共有条边，减去边形的条边及重复计算的边数扣共有 （）条线段，显然只有当与有相同的奇偶性时， （）才是整数设这个四位数是 由于，是奇数所以于是（），即或因是偶数，所以，由此得，又因，所以因此该数为当为奇数时，考虑（） 的展开式；当为偶数时，考虑（） 的展开式除外，可将，所有数分为对：（，）（，）（，）每对数中两个数的奇偶性相同，所以在每对数前无论放置“”，“”号，运算结果只能是偶数而为奇数，所以数，的总值是奇数，于是所求的最小非负数不小于，数可用下列方式求得：（）（）（）
