1、竞赛讲座 22-因式分解因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，具有一定的灵活性和技巧性，下面我们在初中教材已经介绍过基本方法的基础上，结合竞赛再补充介绍添项、拆项法，待定系数法、换元法、对称式的分解等有关内容和方法.1.添项.拆项法添项、拆项的目的是在各项间制造公因式或便于利用公式分解因式，解题时要注意观察分析题目的特点.例 1 （1986 年扬州初一数学竞赛题）分解因式（1+y）2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)=(1+y)+x2(1-y)2-2(1+y)x2(1-y
2、)-2x2(1+y2)=(1+y)+x2(1-y)2-(2x)2=(1+y)+x2(1-y)+2x(1+y)+x2(1-y)-2x=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)=(x+1)2-y(x2-1)(x-1)2-y(x2-1)=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)例 2（第 11 届国际数学竞赛题）证明：具有如下性质的自然数 a 有无穷多个，对于任意的自然数 m.z=n4+a 都不是素数.证明 设 a=4k4（k 为大于 1 的自然数） ，则z=n4+a=n4+4k4=n4+4n2k2+4k4-4n2k2=(n2+2k2)2-4n2k2=(n2+
3、2k2+2nk)(n2+2k2-2nk)=(n+k)2+k2(n-k)2+k2. k 为大于 1 的自然数，(n+k)2+k21, (n-k)2+k21故的右边两个因子都大于 1，故当 k1 时，z 是合数.由于大于 1 的自然数 k 有无穷多个，故有无穷多个自然数 a，使 n4+a 对一切自然数 n 总非素数2.待定系数法若两多项式 f(x)=g(x)，则它们同次的对应项系数一定相等，利用这条结论可将某些因式分解的问题转化为解方程组的问题来解决.例 3 分解因式 3x2+5xy-2y2+x+9y-4.解 由于 3x2+5xy-2y2=(3x-y)(x+2y)，故可设3x2+5xy-2y2+x
4、+9y-4=(3x-y+a)(x+2y+b)=3x2+5xy-2y2+(a+3b)x+(2a-b)y+ab. 比较两边系数得由,联立得 a=4,b=-1,代入式适合.原式=(3x-y+4)(x+2y-1).例 4 (1963 年北京中学生数学竞赛试题)已知多项式 x3+bx2+cx+d 的系数都是整数,若 bd+cd 是奇数,证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积.证明 设x3+bx2+cx+d=(x+p)(x2+qx+r)=x3+(p+q)x2+(pq+r)x+pr(其中 p、q、r 均为整数)比较两边系数得 pr=d.又 bd+cd=d(b+c)是奇数,故 b+c 与 d 均为奇数
5、,那么 pr 也是奇数,即 p 与 r 也是奇数.今以 x=1 代入(因为它是恒等式)得1+b+c+d=(1+p)(1+q+r). b+c,d 为奇数,1+b+c+d 也为奇数,而 p 为奇数,1+p 为偶数.(1+p)(1+q+r)为偶数.这说明等式的左端为奇数,右端为偶数,这是不可能的.所以,所述多项式不能分解成两个整系数多项式的乘积.3.换元法例 5 分解因式 (x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.解 原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120=(x2+5x+6)(x2+5x+4)-120令 x2+5x=A, 代入上
6、式,得原式=(A+6)(A+4)-120=A2+10A-96=(A+16)(A-6)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-1)例 6 证明 a(a+1)(a+2)(a+3)+1 必为完全平方数解 原式=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2a(a+1)(a+2)(a+3)+1 为完全平方数.说明:这里未设新元,但在思想上把 a2+3a 看作一个新元素.4.对称式的因式分解在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称
7、多项式.例 7 分解因式 x4+(x+y)4+y4分析 这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是 x+y,xy 任何二元对称多项式都可用 x+y,xy 表示,如 x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用 xy,x+y表示,再行分解.解 x4+y4=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2=2(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2=2(x+y)2-xy2-2(x2+y2+xy)2,例 8 分
8、解因式 a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).此题中若将式中的 b 换成 a,c 换成 b,a 换成 c,即为 c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),原式不变,这类多项式称为关于 a、b、c 的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号 f(x)、f(a)如对一元多项式 3x2-5x-2 可记作 f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当 x=a 时多项式的值，如 x=1 时多项式 3x2-5x-2 的值为 f(1)=312-51-2=-4,当 x=2 时多项式 3x2-5x-2 的值为 f(2)=
9、322-52-2=0.因式定理 如果 x=a 时多项式 f(x)的值为零,即 f(a)=0,则 f(x)能被 x-a 整除(即含有 x-a之因式).如多项式 f(x)=3x2-5x-2,当 x=2 时,f(2)=0,即 f(x)含有 x-2 的因式,事实上 f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).证明 设 f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,若 f(a)=0,则f(x)=f(x)-f(a)=(anxn+an-1xn-1+a1x+a0)=(anan+an-1an-1+a1a+a0)=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+a1(x-a),由于(x-a)|(
10、xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),(x-a)|(x-a),(x-a)|f(x),对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.现在我们用因式定理来解例 8.解 这是一个含有 a、b、c 三个字母的三次多项式，现以 a 为主元，设 f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当 a=b 和 a=c 时，都有 f(a)=0,故 a-b 和 a-c 是多项式的因式，而视b 为主元时，同理可知 b-c 也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设 a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)
11、,其中 k 为待定系数，令 a=0,b=1,c=-1 可得 k=-1.a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a).例 9 分解因式 a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).分析 这是一个关于 a、b、c 的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知 a-b,b-c,c-a 是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是 a+b+c，故可设 a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中 k 为待定系数） ，取，a=0,b=1,c=-1 可得 k=-1,所以原式=-
12、(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).因式定理使用得更多的还是一元 n 次多项式的因式分解.例 10 （1985 年武汉市初中数学竞赛题）证明：2x+3 为多项式 2x4-5x3-10x2+15x+18 的因式.证明 以 f(x)记多项式.+15-2x+3 是 f(x)的因式.例 11 分解因式 x3-19x-30.分析 这里常数项是 30,如果多项式 f(x)=x3-19x-30 有 x-a 这种形式的因式,那么 a 一定是 30 的因数,这是因为 f(a)=a3-19a-30=0 即 a3-19a=30.a|(a3-19a), a|30解 30 的因数为1,2,3,4,5,6,10
13、,15,30.f(1)=-48,f(-1)=-12,f(2)=-60,f(-2)=0,f(3)=-60,f(-3)=0,f(5)=0.(这里已有 f(-2)、f(-3)、f(5)等于零了，三次多项式只有三个一次因式，所以不必再计算了.)x3-19x-30=k(x+2)(x+3)(x-5),x3 的系数为 1，k=1,故 x3-19x-30=(x+2)(x+3)(x-5).练 习 1.选择题(1)在 1 到 100 之间若存在整数 n,使 x2+x-n 能分解为两个整系数一次式的乘积,这样的 n有( )个(A) 0 (B)1 (C)2 (D)9 (E)10(2)二次多项式 x2+2kx-3k2
14、能被 x-1 整除,那么 k 值是( )(A)1 或 (B)-1 或 (C)0 (D)1 或-1(3)如果 100x2-kxy+49y2 是一个完全平方式,那么 k=( )(A)4900 (B)9800 (C)140 (D)702.填空（1）多项式 6x2+mxy-3y2+3x+10y-3 能分解成关于 x、y 的一次多项式,则 m=_.（2）已知 x2+x-1=0,则 x3+2x2+1985=_.3.（1）分解因式 a2-b2+4a+2b+3（2）分解因式(x2+x+1)(x2+x+2)-12.4.（1）分解因式 a3b-ab3+a2+b2+1（2） （1989 年广州等五市联赛）分解因式(
15、x+y)(x-y)+4(y-1).5.（1986 年全国初中数学知识竞赛）分解因式(x+y)3+2xy(1-x-y)-1.6.证明是合数.7.分解因式(x+y)3-x3-y3+3xy.8.分解因式(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.9.（1986 年五城市联赛试题）若 a 为自然数，则 a4-3a2+9 是质数，还是合数？给出你的证明.10.（1985 年北京市初中数学竞赛题）若 a 为自然数，证明10|(a1985-a1949).练习 （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （）（） （） （） （） （） （）分角为两因数之积，且两因数均大于即可得证原式（）（）（） （） （） （） 原式（） （） 再讨论：或时，知为质数，为合数.（） （）（） （） （） （） （）（2） （） 当的个位数字分别为 09 时,上式右端总含有因数 2 和 5,（）
