1、竞赛讲座 26平面图形的面积1 关于面积的两点重要知识（1）相似三角形的面积比等于相似比的平方例 1（第 2 届美国数学邀请赛题）如图 40-1，在ABC 的内部选取一点 P，过 P 点作三条分别与ABC 的三条边平行的直线,这样所得的三个三角形 t1、t2 和 t3 的面积分别为 4，9 和49求ABC 的面积解 设 T 是ABC 的面积，T1、T2 和 T3 分别是三角形 t1、t2 和 t3 的面积；c 是边 AB 的长，c1、c2 和 c3 分别是平行于边 AB 的三个三角形 t1、t2 和 t3 的边长那么，由四个三角形相似，得（2）两边夹角的三角形面积，灵活运用ABC 的面积公式
2、S=可以方便地解决一些较难的面积问题例 2 已知 P、Q、R、S 四点分别由四边形的四个顶点 A、B、C、D 同时开始沿四边形各边依反时针方向以各自的速度作匀速直线运动（如图 40-2） ，已知 P 由 A 至 B，R 由 C 至 D 分别需要两秒钟；Q 由 B 至 C，S 由 D 至 A 分别需要 1 秒钟；问开始运动后，经过多少时间，四边形PQRS 的面积最小？解设 P 的速度是 Q 的速度是;R 的速度是,S 的速度是.在 t(0t1)秒时,AP=设四边形 PQRS 和四边形 ABCD 的面积分别为 S、S.+得,+得,当 t=有极小值答:经过秒后,四边形 PQRS 面积最小下面是一个用
3、不等式来证明相等问题的例子例 3(1982 年英国数学奥林匹克竞赛试题).PQRS 是面积为 A 的四边形.O 是在它内部的一点,证明:如果 2A=OP2+OQ2+OR2+OS2那么 PQRS 是正方形并且 O 是它的中心证明 如图 40-3，按题设有 此处无图p2+q2+r2+s2=pqsin+qrsin+rsin+spsinpq+qr+rs+sp 依题设、必须且只须这里所有的不等式都取等号由取等号有由取等号有 p=q=r=s因此 PQRS 是正方形,O 是它的中心.2.等积变换与面积法等积变换的特点是利用图形之间的面积相等或成比例的转换来解题例 4(第 17 届苏联竞赛题)图 40-4 中
4、阴影所示的四个三角形面积相等.求证:无阴影所示的四个三角形面积相等.求证:无阴影的三个四边形的面积也相等证明 如图:连 ME、NC.SNME=SCEM，MENC若设则由上式可得解以上三式的联立方程组可得这样，则 N 为 BE 中点又同理可证 例 5（第 9 届全俄中学竞赛题）如图 40-5 在凸五边形 ABCDE 中，对角线 CE 分别交对角线BD、AD 于 F、G，BF：FD=5：4，AG：GD=1：1，CF：FG：GE=2：2：3，求CFD 和ABE 的面积比解 连 AF.CF：FG：GE=2：2：3，SCFD：SDFG：SDEG=2：2：3.SCFD=S,则 SFDG=S，SDGF=S.
5、又 BF：FD=5：4，SBEF:SFDE=5：4SBEF=(SFDG+SDEG)=S又由 BF：FD=5：4，SABF:SAFD=5：4SABE=SABFE-SBFE=（SABF+SAFG+SAGE）-SBFE=5S-S=S(AG:GD=1:1).即 SCFD:SABE=8:15.例 6 六边形 ABCDEF 内接于O,且 AB=BC=CD=(如图 40-6(a),求此六边形的面积.分析 如果连 OA、OB、OC、OD、OE、OF，那么容易看出SAOB=SBOC=SCOD，SDOE=SEOF=SFOA=SAOB+SBOC+SCOD+SDOE+SEOF+SFOA从加法满足交换律联想到图形可以改
6、变位置而重新组合,于是把已知六边形改成等积的新的六边形 ABCDEF,其中,O 与O为等圆,且AF=BC=DE=1,AB=CD=EF=把 AB,CD,EF分别向两方延长得交点 M、N、P(如图 40-6(b),容易证明BAF=120等,从而MNP 为等边三角形.例 7（1962 年上海竞赛题）已知ABCABC如图 40-7，AB=c,BC=a,CA=b,A、B、C到 BC、CA、AB 的距离分别为 l、m、n.求证：la+mb+nc=2SABC.分析 欲证上述结论，只须证 SABC+SBCA+SCAB=SABC我们试想,当ABC 收缩为一点时,上式显然成立,因此,如果我们能够做到在将ABC逐渐
7、“收缩”为一点的过程中，保持左边三项的面积始终不变，那么问题便解决了.为了保持ABC 面积不变，我们试用“等积”工具，设法使 A沿平行于 BC 的直线运动，同样 B、C分别沿着平行于 CA、AB 的直线运动.而这三条分别平行于 BC、CA、AB 的直线如能共点，即反映ABC可收缩为一点证明 分别过 B，C作直线 BDCA，CDBA，直线 CD 交 BD 于 D、交 BC 于 E则CDB=BAC，又ABCABC，BAC=BAC=CDB这说明 C、D、A、B四点共圆，ADCABCABCDEC，ADBC过 D 分别作 DLBC 于 L，DMCA 于 M，DNAB 于 N，连 DA、DB、DC、则由D
8、ABC、DBCA，DCAB，得 DL=，DM=，DN=于是a+mb+nc=DLBC+DMAC+DNAB=2（SDBC+SDCA+SDAB）=2SABC.有些看似与面积无关的几何问题，如能够巧妙地引入面积关系，便可迅速求解，这就是所谓的“面积法” 例（美国数学竞赛题）在一个给定的角内，任决地给定一点，过作一直线交定角的两边于、两点（如图） ，问过作怎样的直线才能使最大？解设，、的面积分别为、，则于是因此但，当 =90时,sin 取得最大值 1,因此当过 P 点的直线与 OP 垂直时,达到最大值3 杂题竞赛中出现的一些综合性较强的面积问题，一般采用简化图形或根据题意构造适当的图形来处理例 9（19
9、87 年全俄中学生竞赛题）凸四边形 ABCD 的面积为 S.K、L、M、N 分别是AC、AD、BC 和 BD 的中点证明：SKLNMS证明 设 P、Q 分别是 AB、CD 的中点（如图） 注意到 PLQM、MKNL 都是平行四边形，且 SKLNMS，因此，只须证明 KLNM 含于 PLQM 内设 PL、MQ 分别交 AC 于 E、F，则点 K 位于 E、F 之间若不然，例如点 K 在线段 AE 上，则有，因，故有关系式，矛盾同理也不能在之间，于是在内同样可证也在内，由此得例（第届全苏中学生竞赛题）点在锐角的边上，作和的外接圆问当点在什么地方时，两外接圆公共部分的面积最小？解 设、分别是和外接圆
10、的圆心两外接圆的公共部分面积是两个以为公共弦的弓形面积之和，可以考虑保时弓形的面积最小注意到常数常数因此，研究当弓形所对的圆心角固定时，弓形面积与弓形弦的关系设圆心角为 ，弓形弦长为，那么弓形的面积为由此可见，上图中若越小，则每个弓形的面积越小、所以当是的高，即，为垂足时，两外接圆公共部分的面积最小例 设、为半径等于的上任意两点，若过、的任意线段或曲线段将面积平分，则的长必不小于证明 若为的直径，且为直线时，显然将面积平分，这时若是的直径，不是直线时，则，即若不是的直径，如图，作平行于的直径，作关于的对称点，必在上，连，易知为的直径由曲线平分知，上必有点与、在的异侧取这样的一点，并连结、，交于
11、，连、，则据此易证综上得，即的长必不小于最后我们介绍解决三角形面积问题的一个重要技巧三角形的剖分将任意的三边、分别分成等分，然后过这些分点作平行于其他两边的直线，这样将分成若干个全等的小三角形（如图）的手续，叫做对进行剖分究竟分成多少等分，则视需要而定例（年全国数学竞赛题）为的边上任一点，作，设的面积等于求证：、四边形的面积中，至少有一个不小于证明 如图，作的剖分这时每一个小三角形的面积均等于显然，如果点在线段上变动时，完整地盖住了四个小三角形，因此的面积对称地，如果点落在线段上，则的面积余下的只须讨论点在线段内变动的情形，利用平行线的基本性质可证这说明上图中带阴影的两个三角形有相等的面积又因为 ，这说明图中涂黑了的两个三角形面积相等将四边形中剪下来再拼到上；把剪下来再拼到上，我们看出：
