1、竞赛讲座 27函 数1.函数的基本概念一个函数由它的自变量允许取值的范围(即定义域)和对应关系所确定，并由此确定了函数值的变化范围(即值域).定义域、对应关系、值域称为函数的三要素.(1)求函数的定义域例 1(1982年西安初中竞赛题)已知函数求自变量取值范围.解-2x-1，或-1x0，或 0x2，或 2x3.或者写成-2x3，且 x0，2.例 2(1982年大连海运学院研究生招考题)设函数 y=f(x)的定义域为0，1 ，试求 f(x+a)+f(x-a)的定义域(a0).解 由若 0a时,xa,1-a;若 a时,函数关系不存在.(2)关于对应法则若把自变量比作将要加工的原料，那么对应法则 f
2、就是加工手段和规则.正确认识对应法则是深刻理解函数概念的一个重要方面.例 3(美国 34届中学生邀请赛题)设 f是一个多项式，对所有实数 x，f(x2+1)=x4+5x2+3.对所有实数 x，求 f(x2-1).分析 若能找到函数的对应法则 f，即自变量是怎样“加工处理”的，此题易解，下面给出两种解法.配凑法：f(x2+1)=x4+5x2+3=(x2+1)2+3(x2+1)-1，f(x)=x2+3x-1，f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1=x4+x2-3.换元法 令 x2+1=t，则 x2=t-1.由 f(x2+1)=x4+5x2+3有f(t)=(t-1)2+5(t-1)+1=
3、t2+3t-1f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1=x4+x2-3.例 4 (1984年上海青少年数学爱好者协会招生试题)设函数 f(x)=2x(ax2+bx+c)满足等式f(x+1)-f(x)=2xx2，求 a+b+c的值.解(待定系数法)f(x)=2x(ax2+bx+c)，f(x+1)=2x+1a(x+1)2+b(x+1)+c=22x(ax2+bx+c)+2ax+a+b=2f(x)+22x(2ax+a+b)由 f(x+1)-f(x)=2xx2有2x(ax2+bx+c)+22x2ax+a+b=2xx2，在上式中，令 x=0得 2a+2b+c=0；令 x=1得 7a+3b+c=0
4、；令 x=2得 14a+4b+c=0.由，解出 a=1，b=-4，c=6， a+b+c=3.(3)关于函数方程这个问题是前一个问题的继续，我们把含有未知函数的等式叫函数方程，把寻求未知数的过程，或证明函数方程无解叫解函数方程.例 5 对于一切实数 x，y，函数满足 f(xy)=f(x)f(y)，且 f(0)0.求 f(1987)和f(1988).解 f(xy)=f(x)f(y)，取 y=0，得 f(x0)=f(x)f(0)f(0)=f(x)f(0).又 f(0)0，f(x)=1，f(1987)=f(1988)=1.例 6 (第 32届美国中学生数学竞赛题)函数 f(x)在 x=0处没有定义，但
5、对所有非零实数 x有 f(x)+2f=3x.满足方程 f(x)=f(-x)的实数( ).(A)恰有一个 (B)恰有两个 (C)不存在 (D)有无穷多个，但并非一切非零实数 (E)是一非零实数解 f(x)+2f=3x.以换 x得 f+2f(x)= 由，两式消去 f得 3f(x)=-3x，f(x)= -x.又由 f(x)=f(-x)，将代入得-x=+x，即 -2x=0，2-x2=0，x=.故应选(B).(4)求函数值例 7(1986年北京高一竞赛题)f(x)=(2x5+2x4-53x3-57x+54)1986，求 f-1.解 设,则 2t+1=,即 2t2+2t=55.2t5+2t4-53t3-5
6、7t+54=t3(2t2+2t)-53t3-57t+54=2t3+2t2-2t2-57t+54=55t-2t2-57t+54=-2t2-2t+54=-1.f()=(-1)1986=1.2.正比便函数、反比便函数及一次函数例 8 (1987年浙江省初中竞赛题)已知 y=y1+，其中 y1与 x成正比例，y2 与 x成反比例，且当 x=2和 x=3时，y 的值都为 19.求 y与变量 x的函数关系式.解 设 y1=k1x，y2=(k1，k2 均不为零)，则 y=y1+=k1x+.将 x=2，x=3 代入 y=y1+得 y=5x+例 9(1986年吉林八市初中数学竞赛题)一次函数 y=ax+b(a0
7、)有一组对应值 x=,y=0.试证y=ax+b不能有二组以上的有理数的对应值.证明 若 y=ax+b存在两组不同的有理数对应值(x1，y1)，(x2，y2)，而函数式为 y=a(x-)，故a0，消去 a可得(y2-y1)=x1y2-x2y1.x1y2-x2y1 是有理数.y2-y1=0，即 y1=y2，x1y1-x2y1=0.即(x1-x2)y1=0.若 y1=0，则 x1=，但这与假设矛盾，故不可能.y10，从而 x1=x2也不可能.y=ax+b 不能有两组以上的有理数的对应值.3.二次函数关于二次函数,我们最关心的是应用二次函数的图象和极值定理解一些应用问题.例 10(1987年浙江初中数
8、学竞赛题)设二次函数 y=(a+b)x2+2cx-(a-b)，其中 a，b，c 是三角形的三边，且 ba,bc.已知 x=-这个二次函数有最小值为-，求ABC 三内角 A、B、C 的度数.解散 由题设，二次函数图象的顶点坐标是（-，-） ，即（）.于是由得 a+b=2c，代入得（b-c）+（b-a）=0.ba,bcb-c=0,b-a=0,即 a=b=c.ABC 为正三角形,A=B=C=60.例 11 (1989年全国初中数学竞赛题)如图 31-1,ABC 中,D、E 分别是边 BC、AB 上的点，且1=2=3,如果ABC,EBD,ADC 的周长依次为 m,m1,m2,证明:证明 由已知可得 D
9、EAC，进而EBDABCDAC. 于是有在这里,我们是将看成关于的二次函数,利用配方法来处理的.4.其它下面我们再利用配方法来解一个多元函数的最值问题.例 12 (1978年日本半桥技术科学大学入学题)在边长为 a的正三角形中,设点 P、Q、R 在边BC,CA,AB上运动,并保持的关系,设，PQR 的面积为 S.(1)用 x、y、z 表示 S；（2）求 S的最大值；（3）求 S取最大值时， 、 、的值.解（1）S=SABC-(SAQR+SBRP+SCPQ).SABC=a2，SAQR=z（a-y）sin60=z(a-y).同样 SBRP=x(a-z),SCPQ=y(a-x).S=a2-z(a-y
10、)+x(a-z)+y(a-x)=a2-a(x+y+z)+ (yz+yx+xy)=a2-a2+(yz+yx+xy)=(yz+yx+xy). （2）将 z=a-x-y代入消去 z得S=(a-x-y)(x+y)+xy=-x2+(y-a)y+y2-ay,S=-)当 x+时，上式取等号，即 x=y=z=时，Smax=a2，（3）根据（2） ，当 S取最大值时，x=y=z=.在CPQ 内，CQ=，CP=.由余弦定理得最后，我们把视线转向分段函数的极值问题.例 13（19681969 年波兰竞赛题）已知两两互异的实数 a1，a2，an.求由式子（x 为实数）y=|x-a1|+|x-a2|+|x-an|所定义
11、的函数的最小值.解 我们首先研究一个简单的事实：设 ab，则u=|x-a|+|x-b|=u在 axb 上每一点达到最小值:-a+b. 下面我们来研究原命题:对 a1,a2,，an 重新按从小到大排序为 a1,a2,an.于是，当 n为偶数，即 n=2m时，将原函数重新记为y=（|x-a1|+|x-an|+|x-a2|+|x-an-1|+|x-am|+|x-am+1）.令 y=|x-ai|+|x-an+1-i|,由,它在 aixan+i 上取最小值-ai+an+1-i.又每一个区间都包含着下一个区间，即a1,an a2,an-1am，am-1（“”读作包含，如 AB，读作 A包含 B） ，因此它
12、们的公共区间为am，am+1.由于在区间am，am+1每点上所有 yi都取常数最小值，为了方便令 x=am或x=am+1于是y最小值=-a1+an-a2+an-1+-am+am+1=-a1-a2-am+am+1+am+2+an.当 n为奇数时，将原函数记为y=（|x-a1|+|x-an|+|x-a2|+|x-an-1|）+（|x-am|+|x-am+2|）+|x-am+1|.类似上面的讨论，当 x=am+1时，y最小值=-a1-a2-am+am+2+am+3+an.练习三十一1.选择题（1） （1989 年全国初中数学竞赛题）已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列6个代数式
13、ab，ac，a+b+c，a-b+c，2a+b，2a-b 中，其值为正的式子的个数为（ ）.（A）2 个 （B）3 个 （C）4 个 （D）4 个以上（2）曲线|y|=x2-1 的图象（实线部分）大致形状是（ ）.（3） （1984 年全国竞赛题）若则下列等式正确的是（ ）.（A）F（-2-x）=-1-F（x） （B）（C）F（x-1）=F（x） （D）F（F（x） ）=-x2.填空题（1）x，y 为实数，.则 x+xy+x2y的值是_.（2） （据 1990年全国初中竞赛题改）方程 7x2-(k+13)x+k2-k-2=0(k是实数)有两个实根、,且 01,12,那么 k的取值范围是_.3.已
14、知 f(a+b)=f(a)+f(b),且 f(1)=1.求的值.4.已知函数 y=|x-1|+|x-3|+.试求使 y值恒等于常数的 x值范围.5.(1983年全国竞赛题)已知 f(x)=ax2-c满足-4f(x)-1,-1f(2)5.求 f(3)的范围.6.已知 0x1,0y1,y-x,且 x+y+z=1,求函数 W=2x+5y+4z的最大、最小值.7.（1987 年浙江初中竞赛题）二次函数 f(x)=ax2+bx+c其中 a0,且 a、b、c 为实数.对某一常数 t，如有 af（t）0,试证:f(x)有不同的两个实数根，其中一个实根比 t小，另一实根比 t大.8.（浙江初中竞赛题）函数 f
15、(x)对一切实数 x满足 f(4+x)=f(4-x).若方程 f(x)=0恰有三个不同的实根，求这些实根的和是多少？9.（1985 年江苏东台初中数学竞赛题）若 z2-2mz+m+6=0的二实数根为 a、b，试求(a-1)2+(b-1)2的最小值.10.（1983 年重庆初中数学竞赛题）等边ABC 的边长为 a有三个动点 P、Q、R 分别同时从A、B、C 出发沿 AB、BC、CA 按逆时针方向以各自的速度作匀速直线运动.已知 P点由 A到 B需 1秒，Q 点从 B到 C需 2秒，R 点由 C到 A需 3秒，在一秒钟内，问开始运动多少时间PQR的面积最小？最小面积是多少？）11.(1985年苏州初中数学竞赛题)如图,凸四边形 ABCD边长依次为 2、2、3、1.问在四边形ABCD变形为各种凸四边形的过程中,BD 的长的变化范围是什么?B 到 DC距离的变化范围又是什么?练习三十一 当（）（）得（）（）得由 z=1-x-y,W=4-2x+y要求的最大、最小值，只需求 y-2x的最大、最小值设（x,y）是坐标适合条件的点，则在以为顶点的内（包括边界） 设 t=y-2x,则 y=2x+t.由 t的几何意义最大值最小值先证、四个根之和为先由如图（a）最大时，、在一直线上，.
