1、第 17 讲 函数图象及数字特征一、要点精讲1函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势） ；描点连线，画出函数的图象。运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j要把表列在关键处，要把线连在恰当处 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、
2、方程、不等式等理论和手段，是一个难点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点。（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；平移变换：、水平平移：函数 的图像可以把函数 的图像沿 轴方向向左 或向右()yfxa()yfx(0)a平移 个单位即可得到；1）y=f (x) y=f(x+h)；2）y=f (x) y=f(xh)；(0)a| h左 移h右 移、竖直平移：函数 的图像可以把函数 的图像沿 轴方向向上 或向下f平移 个单位即可得到；1）y=f (x) y=f(x)+h；2）y=f
3、 (x) y=f(x)h 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j。| h上 移 下 移对称变换：、函数 的图像可以将函数 的图像关于 轴对称即可得到；y=f(x) y=f(x)()fx)f 轴、函数 的图像可以将函数 的图像关于 轴对称即可得到；y=f(x) y= f(x)y(yx 轴x、函数 的图像可以将函数 的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) y= f(x)()f 原 点、函数 的图像可以将函数 的图像关于直线 对称得到。y=f(x) x=f(y)x(f直 线、函数 的图像可以将函数 的图像关于直线 对称即可得到；y=f(x) 2afy ay=f(2ax)。x直 线翻折变换
4、：、函数 的图像可以将函数 的图像的 轴下方部分沿 轴翻折到 轴上方，去|(|f ()yfx掉原 轴下方部分，并保留 的 轴上方部分即可得到；()yfx y=f(x) cbaoy xy=|f(x)| cbaoy x、函数 的图像可以将函数 的图像右边沿 轴翻折到 轴左边替代原 轴左边(|)yfx()yfyy部分并保留 在 轴右边部分即可得到 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j y=f(x) cbaoy xy=f(|x|) cbaoyx伸缩变换：、函数 的图像可以将函数 的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长()yafx0()yf或压缩（ ）为原来的 倍得到；y=f(x) y=af(
5、x)(1)a1a、函数 的图像可以将函数 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长f f或压缩（ ）为原来的 倍得到。f(x) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j =f(x) y=f( )0aaa（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。2幂函数在第一象限的图象，可分为如图中的三类：yx(,)01010图在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时，所涉及的幂函数 中 限于在集yx合 中取值。213123， ， ， ， ， ， ，幂函数有如下性质：它的图象都过（1，1）点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交；定义域为 R 或 的幂函数都具有奇偶性，定义域
6、为（ ， ） （ ， ）0的幂函数都不具有奇偶性；或 ，0幂函数 都是无界函数；在第一象限中，当 时为减函数，当 时为增函数；yx() 00任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1） ，至多有三个公共点；二、典例解析题型 1：作图例 1如图所示，单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的倍，则函数 y=f(x)的图象是（ ）例 2在下列图象中，二次函数 y=ax2+bx 与指数函数 y=（ ） x的图象只可能是（ ）ab题型 2：识图例 3某地一年内的气温 (单位：)与时间 (月份)之间的关系如图所示，已知该年QttA BC D的平均气温为 10，令
7、 表示时间段 的平均气温， 与 之间的函数关系用下图表示，则正确()Ct0,t()Ct的应该是（ ）例 4一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（）有一定的关系，如图 21 所示，图（1）表示某年12 个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年 12 个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（ ）图A气温最高时，用电量最多 B气温最低时，用电量最少C当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加 D当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加题型 3：函数的图象变换例 5函数 y=1 的图象是（ ）1x例 6在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图象关于
8、直线 对称。现将)(xfy)(gxy的图象沿 轴向左平移 2 个单位，再沿 轴向上平移 1 个单位，所得的图象是由两条线段组成)(xgy的折线（如图 2 所示） ，则函数 的表达式为（ ）)(fA B0,1)(xf 20,2xxC D42,1)(xf 4,316)(f题型 4：函数图象应用例 7函数 与 的图像如下图：则函数()yf()gx的图像可能是（ ）()fxgy=f(x)oy xy=g(x)oy x oyxoyxoy xoy xABCD例 8已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图，求 b 的范围。题型 5：函数图像变换的应用例 9已知 ，方程 的实根个数为（ ）10a
9、|log|xaxA2 B3 C4 D2 或 3 或 4例 10设 ，若 ，且 ，则 的取值范围2()|fx0b()fba是（ ）A B C D0,(,0,4(0,2)题型 6：幂函数概念及性质例 11函数 互质）图像如图所示，则（ ）nmxy|,|0,nmZA 均为奇数 B 一奇一偶,C 均为奇数 D 一奇一偶0,例 12画出函数 的图象，试分析其性质。yx32题型 7：抽象函数问题例 13函数 的定义域为 D： 且满足对于任意 ，有)(f 0|xDx21,.(2121xxf（）求 的值；（）判断 的奇偶性并证明；)(f（）如果 上是增函),0(),36213(,)4( 在且 fff数，求 x 的取值范围。例 14设函数 上满足),()在f，且在闭区间0，7 上，只有 （）试判断函)7(2)( xfxf .0)3(1f数 的奇偶性；（）试求方程 在闭区间2005，2005 上的根的个数，并证明你的结y 0论。题型 8：函数图象综合问题例 15设曲线 的方程是 ，将 沿 轴、 轴正方向分别平移 、 个单位长度后得C3yxCxyts(0)到曲线 ， （1）写出曲线 的方程；（2）证明曲线 与 关于点 对称；1 1(,)2A（3）如果曲线 与 有且仅有一个公共点，证明： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4s21oy xO xy
