1、第 26 章 二次函数小结与复习（3）教学目标： 1使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。2能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，获得用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。重点难点：重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。难点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。教学过程：一、例题精析，引导学法，指导建模1何时获得最大利润问题。例：重庆市某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销 售，区政府对该花木产品每投资 x 万元，所获利润为 P= (x30) 2
2、10 万元，为了响应我国西部150大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的 10 年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多 50 万元，若开发该产品，在前 5 年中，必须每年从专项资金中拿出 25 万元投资修通一条公路，且 5 年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资 x 万元可获利润 Q= (50x) 2 4950 1945(50x)308 万元。(1)若不进行开发，求 10 年所获利润最大值是多少?(2)若按此规划开发，求 10 年所获利润的最大值是多少?(3)根据(1)、(2) 计算的结果，请你用一句话谈
3、谈你的想法。学生活动：投影给出题目后，让学生先自主分析，小组进行讨论。 教师活动：在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题。教师精析：(1)若不开发此产品，按原来的投资方式，由 P= (x30) 210 知道，只需从 50 万元专150款中拿出 30 万元投资，每年即可获最大利润 10 万元，则 10 年的最大利润为 M11010=100万元。(2)若对该产品开发，在前 5 年中，当 x=25 时，每年最大利润是：P (2530) 210=9.5(万元)150则前 5 年的最大利
4、润为 M2=9.55=47.5 万元设后 5 年中 x 万元就是用于本地销售的投资。则由 Q (50x) (50x)308 知，将余下的(50x 万元全部用于外地销售的投4950 1945资才有可能获得最大利润； 则后 5 年的利润是： M3 (x30) 2101505( x2 x308)55(x20) 23500 故当 x20 时，M3 取得最大值为 35004950 1945万元。 10 年的最大利润为 MM 2M 33547.5 万元(3)因为 3547.5100，所以该项目有极大的开发价值。强化练习：某公司试销一种成本单价为 500 元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，
5、又不高于 800 元/件，经试销调查，发现销售量 y(件) 与销售单价 x(元/件)可近似看做次函数 ykxb 的关系，如图所示。(1)根据图象，求一次函数 ykxb 的表达式，(2)设公司获得的毛利润( 毛利润销售总价成本总价)为 S 元，试用销售单价 x 表示毛利润S；试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少?分析：(1)由图象知直线 ykxb 过(600，400)、(700 ，300) 两点，代入可求解析式为 yx1000(2)由毛利润 S销售总价成本总价，可得 S 与 x 的关系式。Sxy500yx(x1000)500(x100)x 21500x
6、500000(x750) 262500 (500x800)所以，当销售定价定为 750 元时，获最大利润为 62500 元。此时，yx10007501000250,即此时销售量为 250 件。2最大面积是多少问题。例：某广告公司设计一幅周长为 12 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米 1000 元，设矩形的边长为 x，面积为 S 平方米。(1)求出 S 与 x 之间的函数关系式；(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个设计费用；(3)为了使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元) (参与资料：当矩形的长是宽与( 长宽)的比例
7、中项时，这样的矩形叫做黄金矩形， 2.236)5学生活动：让学生根据已有的经验，根据实际几何问题中的数量关系，建立恰当的二次函数模型，并借助二次函数的相关知识来解决这类问题。教师精析：(1)由矩形面积公式易得出 Sx(6x)x 26x(2)确定所建立的二次函数的最大值，从而可得相应广告费的最大值。由 Sx 26x(x3) 29，知当 x3 时，即此矩形为边长为 3 的正方形时，矩形面积最大，为 9m2，因而相应的广告费也最多：为 910009000 元。(3)构建相应的方程( 或方程组 )来求出矩形面积，从而得到广告费用的大小。设设计的黄金矩形的长为 x 米，则宽为(6x)米。则有 x26(6
8、x)解得 x133 (不合题意，舍去)，x 233 。5 5即设计的矩形的长为(3 ，3)米，宽为(93 )米时，矩形为黄金矩形。5 5此时广告费用约为：1000(3 3)(93 )8498(元)5 5二、课堂小结：让学生谈谈通过本节课的学习，有哪些体验，如何将实际问题转化为二次函数问题，从而利用二次函数的性质解决最大利润问题，最大面积问题。三、作业： P28，复习题 C 组 1315 题。课后反思：二次函数的应用综合体现了二次函数性质的应用，同时，这类综合题与其他学过的知识有着密切的联系，最大利润问题，最大面积问题是实际生活中常见的问题，综合性强，解题的关键在于如何建立恰当的二次函数模型，建
9、立正确的函数关系式，这一点应让学生有深刻的体会。第三课时作业优化设计1某公司生产的 A 种产品，它的成本是 2 元，售价为 3 元，年销售量为 100 万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是 x(十万元)时，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍，且 y x2 x1，如果把利润看成是销售总额110 35减去成本费和广告费。(1)试写出年利润 S(十万元)与广告费 x(十万元)的函数关系式(2)如果投入广告费为 1030 万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增次?(3)在(2)中，投入的广告费为多少万元时，公司获得的年利润最大?是多少?2如图，有长为 24 米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可使用长度 a10 米)。(1)如果所围成的花圃的面积为 45 平方米，试求宽AB 的长；(2)按题目的设计要求，能围成面积比 45 平方米更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法，如果不能请说明理由
