1、#*第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面设空间的曲线 C 由参数方程的形式给出： ， )(tzytx),(设 ， 、 为曲线上两点，),(,10t )(,)(00tzytxA)(,11txB的连线 称为曲线 C 的割线，当 时，若 趋于一条直线，则此直线称为BA， A曲线 C 在点 的切线如果 对于 的导数都连续且不全为零（即空间的曲线 C)()()(tztytx，为光滑曲线） ，则曲线在点 切线是存在的因为割线的方程为A)()()( 010101 tztytx也可以写为 010101 )()()( tztytx当 时， ，割线的方向向量的极限为 ，此即为切线AB
2、t )(,)(yx的方向向量，所以切线方程为)()()(000tztytx过点 且与切线垂直的平面称为空间的曲线 C 在点),(0ztyxA的法平面，法平面方程为,)(0t 0)()()( 0000 ztytxt如果空间的曲线 C 由方程为 )(),(xzy且 存在，则曲线在点 的切线是)(,0xzy 00xA)()(100xzy法平面方程为#* 0)()()()( 0000 xzzxyx如果空间的曲线 C 表示为空间两曲面的交，由方程组 0),(:zyxGFc，确定时，假设在 有 ，在 某邻域内满足隐函),(0zyxA),(AJ),(0zyx数组存在定理条件，则由方程组 在点 附近能确定隐函
3、数0),(zyxGF， ),(0)xz有 ， 。于是空间的曲线 C 在)(),(00xzy ),(1,)(1yGFJdxFJdy点 的切线是,0xA Adxzyx0001即 AAAyxGFzzyzyGFx),(),(),( 000法平面方程为 0)(),)(),)(), 00 zyxyxzxzy AAA类似地，如果在点 有 或 时，我们得到的切线方),(0),(AGF),(AzF程和法平面方程有相同形式。所以，当向量 0),(),(),(AAAyxzyr时，空间的曲线 C 在 的切线的方向向量为,(0zxAr例 6.32 求曲线 在点 处的切线方程bzay,sincoba,0#*解 当 时，曲
4、线过点 ，曲线在此点的切线方向向量为ba,0，ba,0|,cosin所以曲线的切线方程为btzatytx)()(0)(00即 z二、空间曲面的切平面与法线设曲面 的一般方程为S0),(zyxF取 为曲面 上一点，设 在 的某邻域内具有连续0PS),(zyxF),(00zyxP偏导数，且 。设 为曲面 上过,(),( 20202 zyxzy cS的任意一条光滑曲线：),(00z)(:tzytxc设 ，我们有)(),(,000tztx)(ztyF上式对 在 求导得到0 0)(,()(,()(,( 0000 tzyxFtyzxFtxzy zyx因此，曲面 上过 的任意一条光滑曲线 在 点的切线都S)
5、,0Pc,P和向量 ),(),(),( 000 zyxzyxzyxFn垂直，于是这些切线都在一个平面上，记为 ，平面 就称为曲面 在S的切平面，向量 称为法向量。 在 的切平面方程是),(00PnS),(00P0)()(,()(00 zyxFyzxFxzy zyx#*过点 且与切平面 垂直的直线称为曲面 在 点法线，它),(00zyxPS),(00zyxP的方程为 ),(),(),( 000 zyxFzyxFzyxFz设曲面 的方程为S),(若 在 有连续偏导数且zyxF，则称 是光滑曲面。由上面讨论可0),(),(),( 020202 zyxFzyzx S以知道光滑曲面有切平面和法线。若曲面
6、 的方程的表示形式为 ，这时，容易得到 在 的切S),(f),(00zyxP平面方程为 0)()(,)(, 0000 zyxfxyfyx法线方程为 1)(),(),( 000zyxfyxf我们知道，函数 在点 可微，则由 Taylor 公式知z),(0yx )()(0)(,),(),( 2020000 yxyxffyxff yx 也就是说，函数 在点 附近可以用 在 的切平面近似代z)(yS,zP替，误差为 的高阶无穷小。2020)(x若曲面 的方程表示为参数形式S),(,:vuzyxS设 ， 为曲面上一点。假设在,(),(),( 0000 zvuyvux,0zxP有 ，在 某邻域内满足隐函数
7、组存在定理条,zyP),(0PxJ),y件，则由方程组 在点 附近能确定隐函数（即 和 的逆映射）),(vuy， ),(0zxxy#* ),(),(yxvu满足 。 于是，曲面 可以表示为),(),(000 yxvyxuS),(,(,yxvzfz由方程组 两边分别同时对 求偏导得到),(vuyx， yx,),(),(),(,)(vuyxvuyxvyxuvyx故 ,),(,)(),(vuyxzvzuf vyxzvzfyyxux 所以， 在 的切平面方程为S),(00zxP 0)(),()(),(),( ),0),0),( 000 zvuyxyvuxzvuy法线方程为 ),(0),(0),(0 0
8、00 vuvuvu yxzxzzyx例 6.33 求曲面 在点 的切平面和法线方程。zxln1,解 曲面方程为 ，易得0l),(zyF2,1n#*切面方程为 0)1(2)(1zyx即 .02zyx法线方程为 211zyx习题 6.61求曲线 在点 处的切线和法平面方taztaytax sin,cosin,cos 0t程2求曲线 在点 处的切线和法平面方程0622zyx)1,2(3求曲面 在点 的切平面和法线方程。arctn)4/,(4。证明曲面 上任意一点的切平面与坐标面形成的四面体体积为定值。03xyz5证明曲面 上任意一点的切平面过一定点。)(f#*第七节 极值和最值问题一、无条件极值与一
9、元函数极值类似，我们可以引入多元函数的极值概念。定义 6.3 元函数 在点 的一个邻域 内n),(21nxf ),(0201nxP )(0PUnR有定义。若对任何点 ，有,0UxP或（ ）)(0ff)(0ff则称 元函数 在 取得极大（或极小）值， n),(21nxf ,021nx称为函数 的极大（或极小）值点。极大值和极小值统称),(0201nxP )(f为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。类似一元函数，我们称使得 元函数 的各个一阶偏导数同时为零的点n),(21nxf为驻点。我们有如下定理。定理 6.28 若 为 元函数 的极值点，且),(0201nxP ),(21nxf#*在 的一阶
10、偏导数存在，则 为 元函数),(21nxf ),(0201nxP ),(0201nxP的驻点。证 考虑一元函数 ，则 是 的极值点，),)(,()001 nixxfnii ix)(iFermat 马定理告诉我们，可导函数在极值点的导数是零，于是 ),()(001nixifi 和一元函数类似，反过来，驻点不一定是极值点。而偏导数不存在的点也有可能是极值点。判断多元函数的极值点要比一元函数复杂的多，下面我们仅对二元函数不加证明给出一个判别定理。定理 6.29 若 为二元函数 的驻点，且 在 的一个),(0yxP),(yxf ),(yxf),(0P邻域 中有二阶连续偏导数。令)(0U2R ),(),
11、(),( 000 yxfCyxfByxfA，2AQ则（1） 当 时，若 ， 在 取极小值；若 ，0A),(yxf),(0P0A),(yxf在 取极大值；),(0P（2） 当 时， 在 不取极值；Q),(yxf),(0P（3） 当 时， 在 可能取极值，也可能不取极值。例 6.34 求函数 的极值。)6(32yxz解 解方程组 0)4318(223yxyzx#*得驻点为 及直线 上的点。)3,2(0P0,yx对 点有 ，于是函数 在0,14,81622BACBA z),(0取积大值 。8Pz容易判断，满足条件 的点为函数 的极小值点，极小值为 0；满足条件的60yxz和 的点为函数 的极大值点，
12、极大值为 0。0yx6z一、最值问题在社会生产各个领域我们都会遇上最值问题，即如何用最小的成本获取最大利益的问题，这些问题一般都可以归结为求某一函数在某一范围内的最大值和最小值的问题。我们称使得函数取得最大值和最小值的点为函数的最大值点和最小值点，统称为最值点；函数的最大值和最小值统称为最值。1、 一元函数设 是定义在闭区间 上的连续函数，则 在 上一定有最大值和)(xfy,ba)(xf,ba最小值。区间的两个端点 和 可能成为其最值点，而如果最值点在开区间 取得的话，),(则一定是 的极值点，即是 的驻点或是使导数 不存在的点。假设 的所)(xf )(xf )(xf xf有驻点是 ，使导数
13、不存在的点是 ，那么121,k 221,m )(),(,),(),(min,|)(minaa 2211 mkxffxfbfbxf 例 6.35 求抛物线 上与 最近的点。xy2)4,1(解 设 是 抛物线 上的点，则 与 的距离是),(x),yx4,1(2222 )(4()1( yxd#*考虑函数 ，由 ，得到唯一驻点 ，于是抛物线 上与2)(dyf0)(yf 2yxy2最近的点是)4,1(,2、多元函数类似一元函数， 元函数 的最值问题就是求 在某个n),(21nxf ),(21nxf区域 上的最大值和最小值，我们只需求出 在 内部的所有极值DnR ),(21nxf D和边界上最值，从中比较
14、就可以选出 在 上的最值。),(21nxf例 6.36 求平面 与点 的最短距离。42zyx),0(解 设 是平面 上的点，则 与 的距离是),(z ),(zyx)2,01(222 6)()1( yxzyxd 考虑函数 ，由 ，得到唯一驻点 ，于是平面2,yf 0,yxff )3/5,1(与点 的最短距离是42zyx),01(6)3/5,1(d三、条件极值问题和 Lagrange 乘子法前面我们研究的极值和最值问题都是直接给出一个目标函数 元函数 ，n),(21nxf然后求其极值或最值，是无条件极值问题，但是，更多的极值和最值问题是有约束条件的，即条件极值问题。一般来说，条件极值问题是指：求目标函数 元函数n),(21nxfy在一组约束条件 下的极值。)(,0),(,)(2121mxGnmn 我们可以尝试对上面方程组用消元法解出 个变量，从而转化为上一节的无条件极值问题来解决，但是，消元法往往比较困难甚至是不可能的，所以，我们需要给出一种新的方法来求条件极值。下面我们介绍拉格朗日乘子法。我们以二元函数为例来说明，即：求目标函数 在一个约束条件 限制下的极值问题。),(yxfz0),(yxF假设点 为函数 在条件 下的极值点，且0Pfz,
