1、1 / 23高等数学（下）期中测试题一、填空题（每小题 3 分，共 30 分。写出各题的简答过程，并把答案填在各题的横线上，仅写简答过程不填答案或只填答案不写简答过程均不给分） 。124)sin(lm0xy。2设 3)1(),(yxf，则 ),(xf 。3设 2lnyxz，则z2。4设 xez，则 21yxd。5设 ,623),(2zyxzf 则 )1,(gradf 。6设 D 是圆形闭区域： 42yx，则 Dxy)4(2。7曲面 2z与曲面 2z所围成的立体的体积是 。8 BA是 xy2上从 ),(A到 ),(B的一段弧，则 BAxdy 。9设 L为椭圆12ba取顺时针方向，则 Lydx3
2、。10设 为曲线 sin,co,azykx上对应于 从 0到 的一段弧，则 dzyx2。二、选择题（每小题 4 分，共 40 分。写出各题的简答过程，并把代表正确答案的选项的标号填在题后的括号中，仅填答案标号不写简答过程或只写简答过程不填答案标号均不给分） 。11设 xyzee，则1yz（ ） 。A2xy； B xye； C yxe； 2 / 23D xye。12曲线 32,xz在 2y的点处的切线方程为（ ） 。A 941； B 93421zyx；Czx； D 。13设 lyf,),(为射线 )0(2x，则 )0,(lf（ ） 。A 0； B 5； C 3； D不存在。14交换积分次序并计算
3、 121022yxyxdede（ ） 。A)(21e；B ； C ； D 2。15设 xF是 f的一个原函数，且 0)(,)F，则2120)(dyd（ ） 。A； B 4； C 6； D 8。16设 是曲面 xz与平面 1,x和 0z所围成的闭区域，则ydx（ ） 。A 31； B 5； C 5； D 15。17设 是上半球面21yxz与平面 xoy所围成的闭区域，则zdxy（ ） 。A 8； B 4； C 2； D 。18设 是曲面 2yxz及平面 0,1xyz所围成的第一卦限部分的闭区域，则 dyx)(2（ ） 。A 6； B 12； C 24； D 48。19设圆周 yxL:上任意一点的
4、密度等于这点到坐标原点的距离，则此圆周的质量3 / 23M（ ） 。A8； B12； C16； D20。20以 )cos(sinydxedux为全微分且 0),(u的原函数),(yx（ ） 。A 1coyx； B exin； C 1)cosinyex； Desin。三、解答题21 （6 分）设 ),(2yxfz，具有二阶连续偏导数，求 2xz。22 （8 分）求原点到曲面 4z的最短距离。23 （8 分）求球面 22a含在圆柱面 ayx2内部的那部分面积。24 （8 分）设 L是不包含坐标原点的任意简单闭曲线，求参数 b,，使曲线积分Lyxdba2)()(与路径无关，并求 L为从 )0,1(到
5、 2,的曲线弧时的积分值。 高等数学 （下）期中考试题及评分标准一、填空题（每小题 4 分，共 28 分，写出各题的简答过程，并把答案填在各题的横线上，仅写简答过程不填答案或只填答案不写简答过程均不给分） 。4 / 23._x)1,(1y)xyarcsin()(xz.1 轴 的 倾 角 是处 的 切 线 对上 点曲 线 4:解.41arctn,ri0d),(fx故,ez.2y设 ._)2,1(则d(:解.ex1eyz,e)xx 2),(y)2,1(2,1(y)2,1( ._,4z31yt,t.33 则 切 点 的 坐 标 是的 切 线 平 行 于 平 面已 知 曲 线 ),(:解 .1z,yx
6、t0t21nT,1n,t321T _z)yx(4z. 2 于所 围 成 的 立 体 的 体 积 等与 面曲 面 :解 402)8()21( )120 22 rrdd dxyVxyxy DD 则平 面 所 围 成 的 闭 区 域与是 上 半 球 面设 ,oz1yx.52._zxy4:解.4r2sindrsicordzdxy 1020102 则 曲 线 积 分的 交 线与 平 面是 球 面设 ,zyxRzy.62 ._xs2:解.21ds原 式 ._)x(f,xoy)(fdye.7x 则分平 面 上 是 某 函 数 的 全 微在设:解.)y(e)(feQ,P xx 二、选择题（每小题 4 分，共
7、28 分。写出各题的简答过程，并把代表正确答案的选项的标号填在题后的括号中，仅填答案标号不写简答过程或只写简答过程不填答案标号均不给分） 。5 / 23).B(0,),(y,x,02z.8 处在 点函 数 AA连续可导 B不连续，可导 C连续不可导 D不连续不可导极 限 不 存 在解 ,k12yxlim:20ky.0)y,(z)0,x(z.C1,2B),(Azu.92 方 向 的 方 向 导 数 为指 向 点在 点 处 沿 点函 数 35.A37.B30.C.D2,1BA,zu,4x2yu,x: AAA 解coss,1co.310)(2342lu故).B(rd)sin,cr(fd.1002 可
8、 以 写 成极 坐 标 下 的 二 次 积 分 2y01x),(fdA2y10x,f.B2x1.C2x)(D.y10r0: 2解11设以 O(0,0),A(1,1),B(1,-1)为顶点的三角形薄板上任意一点处的密度等于这点到原点的距离的平方，则薄片的质量 M=（ B ） 。31.A32.B34.C38.D2dy)x(dxy)(M: 210D 解12设取分片光滑闭曲面的外侧，则下列曲面积分的值等于所围成的空间区域的体积的是（ C ） 。xydzdy)zx(31.A)()(2.Bzdxy61y2xdz31.C)()(.D6 / 23,dxyz231A:为解,dxyz321B为,Vdxyz)613
9、2(C为.)(D为则在 第 一 卦 限 部 分 的 上 侧是 平 面设 ,1z.1).D(dy)2zx(1.A8.B 8.C 12.D.12dyzzdy)21zy21(I: 01Dyz 解则的 一 段 弧到上 从为设 ,xL.4).A(xL2525.B 5.C .5dy2)y2(dy:10414L2 解三、解答证明题.a)8(.1 体 积而 体 积 最 大 的 长 方 体 的求 表 面 积 为分 ,z,x: 为高宽 为设 长 方 体 的 长 为解 )2(azx分则 )3(xyzV分)4(),(F2分令 )6(azxy0)(F)(2分)7(3azyx分)8(.3aVmx分. 2y,x1xyD,d
10、xye)7(16D的 区 域 所 围 成 的 第 一 象 限 内及 直 线为 双 曲 线其 中计 算 二 重 积 分分 2xy1:Y解 )6(dy)e(dye)xy(dede 2121x12D 1 分 7( 442y1 分7 / 23. 5z)yx(25z4,dv)yx()7(.1 22成 的 闭 区 域 所 围及 平 面是 由 曲 面其 中计 算 三 重 积 分分 )(zrdv)yx(:20522 分解 6d)(3 分)7(8)120(r4520 分是 矩 形其 中计 算 曲 线 积 分分 L,dyxsin2yx3dxcosy()7(.18L3 .1y0,x向边 界 曲 线 沿 顺 时 节
11、针 绕L 223 )indx)cos:解)4(ydxxcosy()iny( D23D 分)6(ydx10分7分是 锥 面其 中计 算 曲 面 积 分分 ,xydzdy1x)(.9.)hz0(yxz2的 外 侧则上 侧设解 ,:1 )4(3h2dxyz2dxy)(1 分60rsinrco0hDxy1 分又 )7(3h2分故 .)yz(fx,)u(f8(.20 经 过 一 定 点上 任 意 一 点 处 的 切 平 面证 明 曲 面具 有 连 续 导 数设分 ,)yz(fxz,yF令证 )2(,P分为 切 点)4)(f1,)(f1,n 分于 是 )6(0)z(yf1yzzx( 分切 平 面 8 /
12、23)7(0z)y(f1)yz(f)z(f1x 分即 80,分显 然 通 过 坐 标 原 点高等数学（下）期终测试题一、填空题（每小题 4，共 28 分，写出各题的简答过程，并把答案填在各题的横线上，仅写简答过程不填答案或只填答案不写简答过程均不给分） 。1曲线 1)arcsin()(yxyxz上点 )1,(处的切线对 x轴的倾角是 。9 / 232设 xyez，则 )2,1(dz 。3已知曲线 3tt的切线平行于平面431zyx，则切点的坐标是 。4曲面)(22yxz与平面 z所围成的立体的体积等于 。5设 是上半球面 )0(12与 xoy平面所围成的闭区域，则zdxy。6设 是球面 22R
13、zy与平面 z的交线，则曲线积分 22zyxs。7设 dyxfex)(在 o平面上是某函数的全微分，则 )(xf 。二、选择题（每小题 4 分，共 28 分。写出各题的简答过程，并把代表正确答案的选项的标号填在题后的括号中，仅填答案标号不写简答过程或只写简答过程不填答案标号均不给分） 。8函数 )0,(,02yxz在点 ),(处（ ） 。A连续可导； B不连续，可导； C连续不可导； D不连续不可导。9函数 2zyu在点 )1,(A处沿点 指向点 )1,3(B方向的方向导数为（ ） 。A 35； B 37； C0； D 2。10极坐标下的二次积分 10)sin,co(2 rdrfd可以写成（
14、） 。A 201),(yxfd； B 210,(yxf；C 1x； D )x。11设以 )1,(),(O为顶点的三角形薄板上任意一点处的密度等于这点到原点的距离的平方，则薄片的质量 M（ ） 。A 3； B 32； C 34； D 38； 10 / 2312设 取分片光滑闭曲面的外侧，则下列曲面积分的值等于 所围成的空间区域的体积的是（ ） 。A xydzdyzx)(31；B)(2；C zdxyyxdz61231； D)()(。13设 是平面 1zyx在第一卦限部分的上侧，则dzyx)21(（ ） 。A； B 8； C 8； D 12。14设 L为 2yx上从 1到 y的一段弧，则 Ldyx（
15、 ） 。A 5； B 5； C 5； D 。三、解答证明题15 （8 分）求表面积为 2a而体积最大的长方体的体积。16 （7 分）计算二重积分 Dxyde，其中 为双曲线 1xy及直线2,yx所围成的第一象限内的区域。17 （7 分）计算三重积分 v)(2，其中 是由曲面)(5422z及平面 5z所围成的闭区域。18 （7 分）计算曲线积分 L dyxyxdxyx )sin23(cos3，其中 L是矩形10,1边界曲线沿顺时针绕向。19 （7 分）计算曲面积分 z)1，其中 是锥面)(2hzyxz的外侧。20 （8 分）设 uf具有连续导数，证明曲面)(yzfx上任意一点处的切平面经过一定点。
