1、 概率论计算与证明题 0第 4 章 数字特征与特征函数2、袋中有 k 号的球 k 只， ，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。n,213、随机变量 取非负整数值 的概率为 ，已知 ，试决定 A 与 B。0!/nABpnaE7、袋中有 n 张卡片，记号码 1,2,n,从中有放回地抽出 k 张卡片来，求所得号码之和 的数学期望及方差。9、试证：若取非负整数值的随机变量 的数学期望存在，则 。1kP11、若随机变量 服从拉普拉斯分布，其密度函数为 。试求 ,2)(| xexpx0， 。ED13、若 相互独立，均服从 ，试证 。21,),(2aNaE),max(2117、甲袋中有 只白球 只黑球，乙袋
2、中装有 只白球 只黑球，现从甲袋中摸出 只球ab()cab放入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。20、现有 n 个袋子，各装有 只白球 只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第 n 个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这 n 次摸球中所摸得的白球总数为，求 。nS21、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体质重量，试说明这样做的道理。24、若 的密度函数是偶函数，且 ，试证 与 不相关，但它们不相互独立。2E25、若 的密度函
3、数为 ，试证： 与 不相关，但它们不独立。,21,1(,)0xypxy27、若 与 都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。26、若 ，试证 的相关系数等于 的相关系数。,UaXbVcYd,UV,XY28、若 是三个随机变量，试讨论（ 1） 两两不相关；123, 23,（2） ；（3） 之间的关系。312()DD1123EE概率论计算与证明题 129、若 服从二元正态分布， 。证明： 与 的相关系数,1,1EaDb，其中 。cosrq()0P30、设 服从二元正态分布， ，试证：(,) ,r。(1)max,rE31、设 与 独立，具有相同分布 ，试求 与 的相关系数。2(,)N
4、apquv34、若 服从 ，试求 。2(,)Na|kE39、若 及 分别记二进制信道的输入及输出，已知 1,01,Ppp， ，试1Pq 01,PqrPr求输出中含有输入的信息量。40、在 12 只金属球中混有一只假球，并且不知道它比真球轻还是重，用没有砝码的天平来称这些球，试问至少需要称多少次才能查出这个假球，并确定它比真球轻或重。41、试用母函数法求巴斯卡分布的数学期望及方差。43、在贝努里试验中，若试验次数 是随机变量，试证成功的次数与失败的次数这两个变量独立的充v要条件，是 服从普阿松分布。v44、设 是一串独立的整值随机变量序列，具有相同概率分布，考虑和 ，其中k 12v是随机变量，它
5、与 相互独立，试用（1）母函数法， （2）直接计算证明k。2, ()kkkEvDEv47、若分布函数 成立，则称它是对称的。试证分布函数对称的充要条件，是它()(0)Fxx的特征函数是实的偶函数。48、试求 均匀分布的特征函数。0,149、一般柯西分布的密度函数为 。证它的特征函数为221(),0()pxx，利用这个结果证明柯西分布的再生性。exp|it50、若随机变量 服从柯西分布， ，而 ，试证关于特征函数成立着0,1，但是 与 并不独立。()()ftft概率论计算与证明题 253、求证：对于任何实值特征函数 ，以下两个不等式成立：()ft。2124(),1()()ftftft54、求证：
6、如果 是相应于分布函数 的特征函数，则对于任何 值恒成立：()ftFxx。lim()(0)()2TitTfedxF55、随机变量的特征函数为 ，且它的 阶矩存在，令 ，称()ftn01log(),kktdXfknit为随机变量的 k 阶半不变量，试证 （ 是常数）的 阶半不变量等于 。kXbkX56、试求出半不变量与原点矩之间的关系式。58、设 相互独立，具有相同分布 试求 的分布，并写出它的数学期望及12,n 2(,)Na1n协方差阵，再求 的分布密度。1ni59、若 服从二元正态分布 ，其中 ，试找出矩阵 ，使 ，且要求 服从(0,)N421A非退化的正态分布，并求 的密度函数。60、证明
7、：在正交变换下，多元正态分布的独立、同方差性不变。第四章 解答.概率论计算与证明题 32、解：设 表取一球的号码数。袋中球的总数为 ，所以 )1(21n.knkP ,)(2)1(2 . nk nkE1 )12(36)(1)()(3、解：由于 是分布，所以应有 ，即 。又由已知00!nnBAPBBeA,，即 ， , 。anABE!0 aBn01)!(eB,aae7、解：设 表示抽出 k 张卡片的号码和， 表示第 i 次抽到卡片的号码，则 ，i k21因为是放回抽取，所以诸 独立。由此得，对 。ik,21概率论计算与证明题 4， njnji nE11 21)(；)(2kE，)12(612)(112
8、 nnnjEi， )()(4)(62222 Diii。)1(221nkDn8.9、证： 11 kjk jPP 33232 P1kEP10.概率论计算与证明题 5.11、解： )(21| xtdxeE中.tt| dtedte|220 )()(21|2xtxDx中020)(dteetdett.2202 )()(ttt d13、证： 的联合密度为 ，21 22)()(exp),( ayy dE,ma),ax(概率论计算与证明题 6xx dypdypd),(),(（利用密度函数的积分值为 1，减 a 再加 a）xx aa),(),(（在前一积分中交换积分次序，在后一积分中交换 x 与 y 的记号）y
9、dxypdpad ),(),(yaxyeea22 )()(12 )ta中.dt2 a17、解：令 B 表“从乙袋摸一球为白球 ”， 表从甲袋所摸个球中白球数，则 取值 ，服从0,1c超几何分布，且 ，考虑到若 ，则当 时 ；若 ，则当()caEbca1,ic Pib时 ；而在条件概率定义中要求 由此得icb0Pi ()0iPAi!(,)max0,()|ncibBiBi0i c001i iPiPicc.Eab20、解：令 ，则中ii,01，1()aPb。211ba2()1)abb由此类推得 ， 。又 ，1()aP,2in 2nnS。1niaEb21、解：以 表第 i 次测量值，由于受测量过程中许
10、多随机因素的影响，测量值 和物体真实重量i i概率论计算与证明题 7之间有偏差， 是独立同分布的随机变量，并有 。测量记录的平均值记为 ，则ai 2,iiEaD1()n， 。1niiaE221nii n平均值 的均值仍为 ，但方差只有 方差的 ，而方差是描述随机变量对于其数学期望的离散程度，ai1n所以以 作为物体的重量，则更近于真值。24、证：设 是 的密度函数，则 。由 是奇函数可得 ，从而()fx()fxf()xf 0E。又由于 是奇函数，得|0E|()f|()0|ExfdE故 与 不相关。|由于 的密度函数是偶函数，故可选 使 ，亦有 ，c|1Pc1Pc| ,|P其中等式成立是由于 。
11、由此得 与 不独立。|c|25、证： ，同理 。211(,) 0xExpyddy 0E21cov(,) xEdy即 与 不相关。但 与 不独立，事实上可求得， ，21,|()0,1xpx 21,|1()0,|ypx而当 且 时， 。|1x|y()()yy26、证： ， ，2,EUaXbDaX2,EVcYdDcY，cov()()()ov(,)aX概率论计算与证明题 8。cov(,)|UV xyVacr raDXY欲 ，题中需补设 与 同号。UVxyr27、证：设 。作两个随机变量12,abcdpq。* *1 2,0,0: :abcdpqpq由 与 不相关即 得E*()()bdEbd，*()而 ，
12、*(),EabcdPabcd，()A由上两式值相等，再由 得()0c*, PabdPabcd此即 。同理可证,ccA，ad,cPcA，,PbPbd从而 与 独立。28、解：（一）证(1) (2)，设（1）成立，即两两不相关，则 212323123()()()DEE12)(312)DE1332()()()E ，3（ 2）成立。概率论计算与证明题 9（二）(1) (3)。设，12,1,:并设 与 独立，则12（记）： ，123213, 1:2由第三章25题知， 两两独立，从而两两不相关，满足（1）。而 ，这时23 120E，（3）不成立。1230EE（三）(2)(1)。设 ，则1231,D。123 1()()224D，123满足（2）。但显然 两两相关，事实上由 得 与 相关，（1 ）不成立。123,22()0E（四）(2)(3)。事实上，由(1)(2) ，(1)(3)得必有(2) (3)。（五）(3)(2)。设 1213,00,1,: :22则 2121300:,:1再设 与 独立，从而 的函数 与 也独立，我们有 ，1312312,E， ，0E12312323, 0, 0E 131230E，满足（3）。但
