1、一、概率公式的题目1、已知 求 0.3,0.4,0.5,PABPAB.PBA解： 0.7516.4B2、已知 求0.7,0.4,0.2,PABPAB.PAB解： 。0.2793、已知随机变量 ，即 有概率分布律 ，(1)XP:1(0,2)!ePXk并记事件 。 求：（1） ； （2） ； （3） 2,ABABPAB。解：（1）PB；11()2,1PAXXe（2） 1(), 02;ABPPe（3） 1.202ePPXX4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标被命中，它是甲射中的概率是多少？解： 设 A=“甲射击一次命中目标” ，B=“乙射击一次命中目
2、标 ”，=()()()PABPABB=+-0.60.75.5.8=+-5、为了防止意外，在矿内同时设两种报警系统 ，每种系统单独使用时，其有效的概率系统 为,ABA0.92，系统 为 0.93，在 失灵的条件下， 有效的概率为 0.85，求：B（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2） 失灵的条件下， 有效的概率。B解：设 “系统 有效”, “系统 有效”,A, 0.92,.3,0.85PPBA1. 0.98BBPAB 0.7152. .2A6、由长期统计资料得知，某一地区在 4 月份下雨（记作事件 ）的概率为 ，刮风（记作事件 ）A415B的概率为 ，既刮风又下雨的概率为
3、，求 。71510();(2);(3)PBPA解： ；3()7415PAB0(2) 8PA。4719(3) 503BPAB二、已知密度（函数）求概率的题目1、某批晶体管的使用寿命 X(小时) 的密度函数 ，1001)(2xxf， ， 任取其中 3 只，求使用最初 150 小时内，无一晶体管损坏的概率。解：任一晶体管使用寿命超过 150 小时的概率为设 Y 为任取的 5 只晶体管中使用寿命超过 150 小时的晶体管数，则 .故有)32,(BY2、某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时，该城市每天耗电率（即每天耗电量/百万瓦小时）是一个随机变量 X，它的分布密度为 ，其 他01122xxxf若每天供
4、电量为 80 万千瓦小时，求任一天供电量不够需要的概率？解：每天供电量 80 万千瓦小时，所以供给耗电率为：80 万千瓦小时/百分千瓦小时=0.8，供电量不够需要即实际耗电率大于供给耗电率。所以。1120.80.8. 0.7PXfxdxd3、某种型号的电子管的寿命 X（以小时计）具有以下的概率密度，其 它01)(2xxf3210)()10( 515021 xdxfXPp278)3()3(0C现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立） ，任取 5 只，问其中至少有 2 只寿命大于1500 小时的概率是多少？解：一个电子管寿命大于 1500 小时的概率为 32)1( )1(01050)50(
5、 5 502 xdxXPXP令 Y 表示“任取 5 只此种电子管中寿命大于 1500 小时的个数” 。则 ，)32,5(BY24313251 1)31()()0()()2( 45 CYPP4、某些生化制品的有效成分如活性酶，其含量会随时间而衰减。当有效成分的含量降至实验室要求的有效计量下，该制品便被视为失效。制品能维持其有效剂量的时间为该制品的有效期，它显然是随机变量，记为 X。多数情况下，可以认为 X 服从指数分布。设它的概率密度函数为：（ 的单位为月）0,)(xexf（1）从一批产品中抽取样品，测得有 50的样品有效期大于4 个月，求参数 的值。（2）若一件产品出厂 12 个月后还有效，再
6、过 12 个月后它还有效的概率有多大？解：指数分布的分布函数为 01xexXPxF）（） 34ln2341()0.5,.34PXe解 出（） 78.022 12.120.4eXP5、设 K 在（-1，5）上服从均匀分布，求 的方程 有实根的概率。x2420Kx解：要想 有实根，则 则 ，x 22416BACK1或 者又因为 ，所以 。1,UPK三、分布函数、密度函数的题目1、设随机变量 X 的分布函数为 ，0()arcsin1xaxFxAB(1) 求系数 A ，B ； (2) 求 ； (3) 求 X 的分布密度。2PX解：（1）由 F(x)在 处的右连续性知 解之得,a120BA12BA（2）
7、 23aPXF（3）因为 ，则)(xf 21()0xaf2、设随机变量 的分布函数为 ，X,arctn,1, xaFxAB求：（1）常数 ； （2） ； （3） 的密度函数 。,AB0PXXfx解：（1）由分布函数的右连续性知：，所以 ；0limliarctn4arctnlim14xxaxaFFABABABF 1240AAB（2） ；3003PX（3） 。2,()0,axaxfxF其 它3、设随机变量 的分布函数为 ，X2,011,xxA求： 常数 ； ； 的密度函数 。)1(A)2(0.3.7PX)3(Xfx解：（1）由分布函数的右连续性知： ，所以 ；1limxFA1A（2） ；0.3.7
8、0.304PX（3） 。2,()xfxF其 它4、设随机变量 的分布函数为X00,2xeBAxFx求：（1）系数 ； （2） ； （3） 的密度函数。BA,9ln4lXPX解： (1) 由于 在 内连续， xF, 0limli 200 FBAexFxx又 故 1limli 2ABexx B00,12xxx(2) = =9ln4lXP4lnlF632(3) 的密度函数为 00xexxf,5、设连续性随机变量 的分布函数为 ，X2,0()0,.xABeFx求：(1)常数 A，B； (2) ； (3) 的密度函数 。1PXXfx解：（1）由分布函数的右连续性及性质知：，所以 ；200limli1xx
9、xFeABF 011AB（2） ；21PXe（3） 。2,0()xefx6、设随机变量 X 的概率密度函数为 ，1,012xAxf(1) 求常数 A； (2) 求 ； (3) 求 X 的分布函数。0.5.PX解： (1) 所以 AxAdxdxf 1012arcsin1 (2) 0.5.PXdxf5.025.0131arcsin5.0x（3） 1tdtfxFxx时当 dtxdtftftf xxx 1211 时当2arcsinarcsin21xtx11 1211 dtxdtftfdtftfxFx x时当所以 11arcsin20xx7、设连续型随机变量 的密度函数为 ，Xcos,20,axf 求：
10、 系数 ； 的分布函数； 。1a234PX解：（1）由 ， ；22()cosinfxdaxda 12（2） ；440010iPX（3） 20221sin1()()cos 22xxxxxFftdtd xx 8、设随机变量 的密度函数为 ，X2,01Axf其 它求：（1）常数 ； （2） ； （3） 的分布函数 。A14PXXFx解：（1）由 ， ；312100()xAfxd（2） ；112344006PXd（3） 230, ,0()()311,1,xxxxFftdt9、设随机变量 的密度函数为 ，求X,01Axf其 它（1）常数 ； （2） ； （3） 的分布函数 。A0.5.PXXFx解：（1
11、）由 ， ；21100()xAfxdA2（2） ；1122000.5. 4PX（3） 20, ,0()()211,1,xxxxFftdt四、变一般正态为标准正态分布求概率1、调查某地方考生的外语成绩 X 近似服从正态分布，平均成绩为 72 分，96 分以上的占考生总数的 2.3% 。试求：（1）考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率； （2）该地外语考试的及格率；（3）若已知第三名的成绩是 96 分，求不及格的人数。 （ ， ）8413.097.0)2(解：依题意， 2(7,)960.23XNPX且70.11()且(1) 6842().8P(2) 0.3X(3)设全班人数为 n， 由
12、(2) 知不及格率为 0.1587， 则 ，则不及格人数为023.n14587.0n2、某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布 ，如果 85 分以上为“优秀” ，问数学成绩65,10N为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几。 2.97解：依题意， ，85 分以上学生为优秀，则(65,10)XN 65888120.97.28.%10XPPP所以优秀学生为 2.28%。3、设某工程队完成某项工程所需时间 X（天）近似服从 。工程队上级规定：若工程在 1002(10,5)N天内完工，可获得奖金 7 万元；在 100115 天内完工可获得奖金 3 万元；超过 115 天完工，罚款 4 万元。求该工程队在完成此项工程时，所获奖金的分布律。（参考数据： ）5.098.03
