1、热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案1 / 93第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数 ,压强系数 和等温压缩系数 。解：已知理想气体的物态方程为（1）,pVnRT由此易得（2）11,p（3）,VnRT（4）2111.TTTpp1.2 证明任何一种具有两个独立参量 的物质，其物态方程可由实验测,得的体胀系数 及等温压缩系数 ，根据下述积分求得：lnTV=dp如果 ，试求物态方程。1,Tp解：以 为自变量，物质的物态方程为, ,VTp其全微分为（1）.pTdd全式除以 ，有V11.pTdVVddpT根据体胀系数 和等温压缩系数 的定义，可将上式改写为热力学统计物理_第四版_
2、汪志诚_ 课后答案2 / 93（2）.TdVdp上式是以 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有,Tp（3）ln.T若 ，式（3）可表为1,Tp（4）1ln.VdTp选择图示的积分路线，从 积分到 ，再积分到（ ） ，相应地体0(,)Tp0, ,Tp积由 最终变到 ，有0V00ln=ln,VTp即（常量） ，0pCT或（5）.pVT式（5）就是由所给 求得的物态方程。 确定常量 C 需要进一步的1,T实验数据。热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案3 / 931.8 满足 的过程称为多方过程，其中常数 名为多方指数。试证明：npVC n理想气体在多方过程中的热容量 为nC1V解：根
3、据式（1.6.1） ，多方过程中的热容量（1）0lim.nTnnnQUpT对于理想气体，内能 U 只是温度 T 的函数， ,VnC所以（2）.nVnpT将多方过程的过程方程式 与理想气体的物态方程联立，消去压强 可pC p得（常量） 。 （3）1nTV将上式微分，有 12()0,nndTdV所以（4）.(1)n代入式（2） ，即得（5）,(1)nVVpCCTn其中用了式（1.7.8）和（1.7.9） 。1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量 如果是常数，该过程一n定是多方过程，多方指数 。假设气体的定压热容量和定容热容量是npVC常量。热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案4 / 9
4、3解：根据热力学第一定律，有（1）.dUQW对于准静态过程有 ,pV对理想气体有 ,VdCT气体在过程中吸收的热量为 ,nQ因此式（1）可表为（2）().nVCdTp用理想气体的物态方程 除上式，并注意 可得pVvR,VCvR（3）()().nVp将理想气体的物态方程全式求微分，有（4）.dTp式（3）与式（4）联立，消去 ，有T（5）()()0.nVnpddVCC令 ，可将式（5）表为npVC（6）0.dpVn如果 和 都是常量，将上式积分即得,pVCn（常量） 。 （7）npC式（7）表明，过程是多方过程。1.12 假设理想气体的 是温度的函数，试求在准静态绝热过程pV和 之 比中 的关系
5、，该关系式中要用到一个函数 ，其表达式为TV和 FTln()1dT热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案5 / 93解：根据式（1.8.1） ，理想气体在准静态绝热过程中满足（1）0.VCdTp用物态方程 除上式，第一项用 除，第二项用 除，可得pVnRTnRpV（2）.利用式（1.7.8）和（1.7.9） ， ,pVCn可将式（2）改定为（3）10.dTV将上式积分，如果 是温度的函数，定义（4）1ln(),dFT可得（常量） ， （5）1l()lVC或（常量） 。 （6）()FT式（6）给出当 是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中 T 和 V 的关系。1.13 利用上题的结果证明
6、：当 为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为 21.T解：在 是温度的函数的情形下，1.9 就理想气体卡诺循环得到的式（1.9.4）（1.9.6）仍然成立，即仍有（1）211ln,VQRT热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案6 / 93（2）324ln,VQRT（3）321214lln.W根据 1.13 题式（6） ，对于1.9 中的准静态绝热过程（二）和（四） ，有（4）123()(),FTV（5）41从这两个方程消去 和 ，得1()T2()（6）3214,V故（7）211()ln,WRT所以在 是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为（8）211.QT1.14 试根据热力
7、学第二定律证明两条绝热线不能相交。解：假设在 图中两条绝热线交于 点，如图所示。设想一等温线与pVC两条绝热线分别交于 点和 点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样AB的等温线总是存在的） ，则在循环过程 中，系统在等温过程 中从外界ACAB吸取热量 ，而在循环过程中对外做功 ，其数值等于三条线所围面积（正值）QW。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案7 / 93。WQ这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。 因此两条绝热线不可能相交。1.17 温度为
8、 的 1kg 水与温度为 的恒温热源接触后，水温达到0C 10C。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使参与过程的整10C个系统的熵保持不变，应如何使水温从 升至 ？已知水的比热容为14.8JgK.解： 的水与温度为 的恒温热源接触后水温升为 ，这一过程0 10C 10C是不可逆过程。为求水、热源和整个系统的熵变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变化，通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。为求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温度分布在与 之间。令水依次从这些热源吸热,使水温由 升至 。在这可0C1 0C1逆过程中,水的熵变为（1）
9、37 32773ln104.8ln4.6Jk.22ppmcdTS 水水从 升温至 所吸收的总热量 为0C10 Q3 5.10J.pc为求热源的熵变，可令热源向温度为 的另一热源放出热量 。在这C Q可逆过程中，热源的熵变为（2）514.180.6JK.37S热 源由于热源的变化相同，式（2）给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。则整个系统的总熵变为（3）184J.SS总 水 热 源为使水温从 升至 而参与过程的整个系统的熵保持不变，应令水0C1与温度分布在 与 之间的一系列热源吸热。水的熵变 仍由式（1）S水给出。这一系列热源的熵变之和为热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案8 /
10、 93（4）37 12304.6JK.pmcdTS热 源参与过程的整个系统的总熵变为（5）.S总 水 热 源1.19 均匀杆的温度一端为 ，另一端为 ，试计算达到均匀温度1T2T后的熵增。12T解：以 L 表示杆的长度。杆的初始状态是 端温度为 ， 端温度为0l2lL，温度梯度为 （设 ） 。 这是一个非平衡状态。通过均匀杆中的热112T12T传导过程，最终达到具有均匀温度 的平衡状态。为求这一过程的熵变，12我们将杆分为长度为 的许多小段，如图所示。位于 到 的小段，初温为dl ldl（1）122.TlL这小段由初温 T 变到终温 后的熵增加值为12T（2）1212ln,lppTTddScc
11、lL其中 是均匀杆单位长度的定压热容量。pc根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案9 / 93121220121212122221 012121221212lnll lnlnllnllLp LpppppSdTTcldLcTTllLTcLTC .（3）式中 是杆的定压热容量。pcL1.21 物体的初温 ，高于热源的温度 ，有一热机在此物体与热源之间1T2T工作，直到将物体的温度降低到 为止，若热机从物体吸取的热量为 Q，试根2据熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为 max21()WQS其中 是物体的熵减少量。12S解：以 和 分别表示物体、热机和热源
12、在过程前后的熵变。由,abSc熵的相加性知，整个系统的熵变为 .abcSS由于整个系统与外界是绝热的，熵增加原理要求（1）0.abc以 分别表示物体在开始和终结状态的熵，则物体的熵变为12,S（2）21.aS热机经历的是循环过程，经循环过程后热机回到初始状态，熵变为零，即（3）0.b以 表示热机从物体吸取的热量， 表示热机在热源放出的热量， 表示热QQ W机对外所做的功。 根据热力学第一定律，有 ,W所以热源的熵变为（4）2.cST热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案10 / 93将式（2）（4）代入式（1） ，即有（5）2120.QWST上式取等号时，热机输出的功最大，故（6）max2
13、12.S式（6）相应于所经历的过程是可逆过程。1.22 有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为 。今令一制冷iT机在这两个物体间工作，使其中一个物体的温度降低到 为止。假设物体维2持在定压下，并且不发生相变。试根据熵增加原理证明，此过程所需的最小功为 2minipiTWC解： 制冷机在具有相同的初始温度 的两个物体之间工作，将热量从物i体 2 送到物体 1,使物体 2 的温度降至 为止。以 表示物体 1 的终态温度，21表示物体的定压热容量，则物体 1 吸取的热量为pC（1）piQCT物体 2 放出的热量为（2）22pi经多次循环后，制冷机接受外界的功为（3）1212piWCT由此可知，对于给定的 和 ， 愈低所需外界的功愈小。iT2用 和 分别表示过程终了后物体 1，物体 2 和制冷机的熵变。由12,S3熵的相加性和熵增加原理知，整个系统的熵变为（4）1230SS显然 11223ln,0.piiTCS
