1、.专业资料分享.WORD 完美格式.牛吃草问题历史起源：英国数学家牛顿(16421727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的普遍的算术一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。 主要类型： 1、求时间 2、求头数 除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。 基本思路： 在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。 已知天数求只数时，同样需要先求出“每
2、天新生长的草量”和“原有草量” 。 根据(“原有草量”+若干天里新生草量) 天数” ，求出只数。 基本公式： 解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是 (1)草的生长速度对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数(吃的较多天数吃的较少天数)； (2)原有草量牛头数 吃的天数草的生长速度吃的天数； (3)吃的天数原有草量 (牛头数草的生长速度)； (4)牛头数原有草量 吃的天数草的生长速度 第一种：一般解法 “有一牧场，已知养牛 27 头，6 天把草吃尽；养牛 23 头，9 天把草吃尽。如果养牛 21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。 ” 一般解法：把一头牛一天
3、所吃的牧草看作 1，那么就有： (1)27 头牛 6 天所吃的牧草为：276162 (这 162 包括牧场原有的草和 6 天新长的草。) (2)23 头牛 9 天所吃的牧草为：239207 (这 207 包括牧场原有的草和 9 天新长的草。) (3)1 天新长的草为： (207162) (96)15 (4)牧场上原有的草为： 27615672 (5)每天新长的草足够 15 头牛吃，21 头牛减去 15 头，剩下 6 头吃原牧场的草：72(2115)72612( 天) 所以养 21 头牛，12 天才能把牧场上的草吃尽。 第二种：公式解法 .专业资料分享.WORD 完美格式.有一片牧场，草每天都匀
4、速生长(草每天增长量相等)，如果放牧 24 头牛，则 6 天吃完牧草，如果放牧 21 头牛，则 8 天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。(1)如果放牧 16头牛，几天可以吃完牧草？(2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛？ 解答： 1) 草的生长速度：(21 8-246)(8-6)=12(份) 原有草量：218-128=72( 份) 16 头牛可吃：72(16-12)=18(天) 2) 要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数 所以最多只能放 12 头牛。例题一 一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供 27 头牛吃 6 周或 23 头牛吃 9周，那么这片草地可供
5、21 头牛吃几周？解：把每天每头牛吃的草量看成“1” 。第 6 周时总草量为：627162第 9 周时总草量为：9232073 周共增加草量：20716245每周新生长草：45（96）15 即每周生长出的草可以供 15 头牛吃。原有草量为：16261572所以可供 21 头牛吃：72（2115）12（周）随堂练习：1、牧场上有一片草地，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供 10 头牛吃 20 天，或可供 15头牛吃 10 天，问可供 25 头牛吃几天？解：20 天时草地上共有草：102020010 天时草地上共有草：1510150草生长的速度为：（200150）（2010）5即每天生长的草可供 5
6、 头牛吃。原草量为：200205100可供 25 头牛吃：100（255）5（天）2、一片草地，每天都匀速长出青草。如果可供 24 头牛吃 6 天，或 20 头牛吃 10 天吃完。那么可供 19 头牛吃几天？解：6 天时共有草：24614410 天时共有草：2010200草每天生长的速度为：（200144）（106）14原有草量：14461460.专业资料分享.WORD 完美格式.可供 19 头牛： 60（1914）12（天）3、一片牧场长满草，每天匀速生长，这片牧场可供 5 头牛吃 8 天，可供 14 头牛吃 2 天，问可供 10 头牛吃几天？解：8 天时草的总量为：58402 天时草的总量
7、为：14228草每天生长的速度为：（4028）（82）2即每天生长的草可供 2 头牛吃。草地上原有的草为：282224可供 10 头牛吃：24（102）3（天）4、某牧场上的草，若用 17 人去割，30 天可以割尽，若用 19 人去割，则只要 24 天便可割尽，问用多少人割，6 天可以割尽？（草匀速生长，每人每天割草量相同）解：（17301924）（3024）917309302402406949（人）5、武钢的煤场，可储存全厂 45 天的用煤量。当煤场无煤时，如果用 2 辆卡车去运，则除了供应全厂用煤外，5 天可将煤场储满；如果用 4 辆小卡车去运，那么 9 天可将煤场储满。如果用 2 辆大卡
8、车和 4 辆小卡车同时去运，只需几天就能将煤厂储满？（假设全厂每天用煤量相等。 ）解：（455）510 （459）96 45（1061）3（天）6、林子里有猴子喜欢吃的野果，23 只猴子可在 9 周内吃光，21 只猴子可在 12 周内吃光，问如果有 33 只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变） 【浙江 2007】4解：（2112239）（129）152391597272（3315）4（周）7、一块草地，10 头牛 20 天可以把草吃完，15 头牛 10 天可以把草吃完。问多少头牛 5 天可以把草吃完？解：（10201510）（2010）5.专业资料分享.WORD 完美格式.1
9、0202051001005525（头）例题二 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长多，反而以固定的速度在减少，照这样计算，某牧场草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃 6 天，那么，可供多少头牛吃 10 天？解：5 天时草地上共有草：5201006 天时草地上共有草：61590每天草地上的草减少：（10090）（65）10原草量为：10051015010 天后还剩下的草量： 15010105050105（头）随堂练习：1、因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度减少。已知牧场上的草可供 33 头牛吃 5 天，或可供 24 头牛吃 6 天。照这样计算，这个牧场可供多少头牛吃 10
10、 天？解：5 天时草地上共有草：3351656 天时草地上共有草：246144每天减少：（165144）（65）21原有的草量为：16552127010 共减少了：211021010 天后剩草量为：2702106060106（头）2、天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 16 头牛吃 6 天。那么可供 11 头牛吃几天？解：5 天时共有草：2051006 天时共有草：16696草减少的速度为：（10096）（65）4原有的草量为：10045120可供 11 头牛吃：120（114）8（天）3、因为天气日渐寒冷，牧场上的草不但不生长，
11、反而以固定的速度每天在减少。如果 20.专业资料分享.WORD 完美格式.头牛去吃 20 天可以吃完；如果 30 头牛去吃 15 天可以吃完。那么，如果 10 头牛去吃_天可以吃完。解：（ 30152020）（2015）1020201020600600（1010）30（天）答：10 头牛去吃 30 天可吃完。4、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天或可供 12 头牛吃 7 天。照此计算，可供 6 头牛吃几天？解：假设 1 头牛 1 天吃 1 份的草20 头牛 5 天一共吃了：205=100 份的草12 头牛 7 天一共吃了
12、：127=84 份的草时间相差：7-5=2 （天）草量减少：100-84=16 份的草说明，一天减少：162=8 份的草5 天减少了：85=40 份的草原来牧场上有：100+40=140 份的草这 140 份的草，可供 6 头牛吃：140(6+8)=10( 天)例题三 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分钟走 20 级台阶，女孩每分钟走 15 台阶，结果男孩用 5 分钟到达楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上。问该扶梯共有多少级台阶？解：5 分钟时男孩共走了：205100（台阶）6 分钟时女孩共走了：15690（台阶）自动扶梯的速度为：（10090）（65）1
13、0（台阶）自动扶梯共有：100510150（台阶）随堂练习：1、两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，在 20 秒里，男孩可走 27 级台阶，女孩可走 24 级台阶，男孩走了 2 分钟到另一端，女孩走了 3 分钟到达另一端，该扶梯共有多少级台阶？解：男孩共走了：2602027162女孩共走了：3602024216.专业资料分享.WORD 完美格式.自动扶梯的速度：（216162）（32）54（台阶）162542542、自动扶梯以均匀的速度行驶着，小明和小红要从扶梯上楼。已知小明每分钟走 25 级台阶，小红每分钟走 20 级台阶，结果小明用 5 分钟，小红用了 6 分钟分别到达楼上。该扶梯共有多
14、少级台阶？解：5 分钟小明共走了：2551256 分钟小红共走了：206120自动扶梯的速度为：（125120）（65）5该扶梯的台阶：12555150（台阶）3、自动扶梯以均匀的速度行驶着，小明和小红要从扶梯上楼。已知小明每分钟走 20 级台阶，小红每分钟走 14 级台阶，结果小明用 4 分钟，小红用了 5 分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？解：5 分钟小明共走了：204806 分钟小红共走了：14570自动扶梯的速度为：（8070）（65）10该扶梯的台阶：80104120（台阶）4、自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个性急的孩子嫌扶梯走得慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走 1 梯
15、级，女孩每 3 秒钟走 2 梯级。结果男孩用 50 秒到达楼上，女孩用60 秒到达楼上。该扶梯共有多少级？解：（5016032）（6050）1501501100（级）例题四 一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入舱内，发现漏洞时已经进了一些水，如果用 12 人舀水，3 小时舀完。如果只有 5 个人舀水，要 10 小时才能舀完。现在要想 2 小时舀完水，需要多少人？解：把每个人每小时的舀水量看成单位13 个小时后共有水：1233610 个小时后共用水：51050每小时的进水量：（5036）（103）2发现时船舱内有水：363230原水量舀完共需：30215（人）共需：15217（人）.专业资料分享
16、.WORD 完美格式.随堂练习：1、一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果 10 人淘水，3 小时可淘完；5 人淘水 8 小时可淘完。如果要求 2 小时淘完，要安排多少人淘水？解：3 小时后共有水：310308 小时后共有水：8540进水速度为：（4030）（83）2原有水量为：30322424212（人） 12214（人）2、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有个出水孔，两孔同时打开后，如果每小时注水 30 立方米，7 小时可以注满水箱；如果每小时注水 45 立方米，注满水箱可少用 2.5 小时。那么每小时由底面小孔排水多少立方米？（每小时排水量相同）解：7 小时
17、共注水：730210（立方米）4.5 小时共注水：（72.5）45202.5（立方米）排水速度为：（210202.5）（74.5）3（立方米）3、一水池，池底有泉水不断涌出，用 10 部抽水机 20 小时可以把水抽干，用 15 部相同的抽水机 10 小时可以把水抽干。那么有 25 部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？解：20 小时共抽水：102020010 小时共抽水：1510150泉水涌出的速度为：（200150）（2010）5原有水量为：20020510025 部可以在：100（255）5（小时）4、有一眼泉井，用功率一样的 3 台抽水机去抽井水，同时开机，40 分钟可以抽干；用同样的 6
18、 台抽水机去抽，则只需要 16 分钟就可以抽干，那么用同样的抽水机 9 台，几分钟可以抽干？解：（340616）（4016）11661618080（91）10（分钟）例题 4 有一口水井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果使用 3 台抽水机来抽水，36 分钟可以抽完；如果使用 5 台抽水机来抽水，20 分钟可抽完。现在 12 分钟内.专业资料分享.WORD 完美格式.要抽完井水，需要抽水机多少台？解：36 分钟时的总水量为：33610820 分钟时的总水量为：520100涌水的速度为：（108100）（3620）0.5原水量为：100200.59090127.5 （台） 7.50.5
19、8（台）随堂练习：1、一艘轮船发生漏水事故，船长立即安排两部抽水机同时向外抽水，当时已经漏了 500桶水，一部抽水机每分钟抽水 18 桶，另一部每分钟抽水 12 桶，经过 25 分钟把水抽完，问每分钟漏进水多少桶？解：25 分钟共抽水：（1812）25750（桶）25 分钟共漏水：750500250（桶）每分钟漏水：2502510（桶）2、有一口井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的泉水量相等。如果用 4 台抽水机来抽水，40 分钟可以抽完；如果用 5 台抽水机来抽水，30 分钟可以抽完。现在要求 24 分钟内抽完井水，需要抽水机多少台？解：40 分钟抽水量为：40416030 分钟抽水量为：30
20、5150泉水的速度为：（160150）（4030）1原有的水量为：16040112024 分钟抽完原水量需： 120245（台）共需：516（台）3、有一口井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等，若用 4 台抽水机 15 分钟可抽完。若用 8 台抽水机 7 分钟可抽完，现用 11 台抽水机多少分钟可抽完？解：15 分钟时抽出的水为：415607 分钟时抽出的水位：7856泉水的速度为：（6056）（157）0.5原有的水为：60150.552.552.5（110.5）5（分钟）4、一个水池安装有排水量相等的排水管若干根，一根入水管不断地往池里放水，平均每分钟入水量相等。现在如果开放 3 根
21、排水管 45 分钟可把池中水排完，如果开放 5 根排水.专业资料分享.WORD 完美格式.管 25 分钟可把池中水排完。如果开放 8 根排水管，几分钟排完池中的水？解：45 分钟时共排水：45313525 分钟时共排水：525125每分钟进水速度为：（135125）（4525）0.5原有水为：125250.5112.5112.5（80.5）15（分钟）5、一个水库水量一定，河水匀速流入水库。5 台抽水机连续 20 天可抽干，6 台同样的抽水机 15 天可抽干。若要求 6 天抽干，需要多少台同样的抽水机？解：20 天共抽水：20510015 天共抽水：15690进水的速度为：（10090）（20
22、15）2原有水为：1002206060610（台） 10212（台）6、一个水池，池底有水流均匀涌出若将满池水抽干，用 10 台水泵需 2 小时，用 5 台同样的水泵需 7 小时，现要在半小时内把满池水抽干，至少要这样的水泵多少台？解：设每台水泵每小时抽水量为一份（1）水流每小时的流入量：（57-102）（7-2）=3 （份）（2）水池原有水量：57-3 7=14（份）或 102-32=14（份）（3）半小时内把水抽干，至少需要水泵：（14+3 0.5） 0.5=31（台）例题五 有三块草地，面积分别为 5 公顷、6 公顷和 8 公顷。草地上的草一样厚，而且长的一样快。第一块草地可供 11 头
23、牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14 天。问第三块草地可供 19 头牛吃多少天？解：每公顷在第 10 天时共有草：1110522每公顷在第 14 天时共有草：1214628每公顷草每天生长的速度为：（2822）（1410）1.58 公顷每天生长的草为：1.5812 .专业资料分享.WORD 完美格式.每公顷的原草量为：22101.578 公顷原草量为：8756原草量可供吃：56（1912）8（天）1、有 3 个长满草的牧场，每块地每公亩草量相同而且都是匀速生长。第一牧场 33 公亩，可供 22 头牛吃 54 天；第二牧场 28 公亩，可供 17 头牛吃 84 天；第三牧场 40
24、公亩，可供多少头牛吃 24 天？解：54 天时每亩有草量为：2254333684 天时每亩有草量为：17842851每亩地草生长的速度为：（5136）（8454）0.540 亩地每天生长的草为：400.520每亩地的原草量为：36540.5940 亩地的原草量为：4093603602415（头）152035（头）2、一个农夫有 2 公顷、4 公顷和 6 公顷三块牧场，三场牧场上的草长得一样密，而且长得一样快，农夫将 8 头牛赶到 2 公顷的牧场，5 天吃完了，农夫又将这 8 头牛赶到 4 公顷的牧场，15 天又吃完了；最后，这 8 头牛又被赶到 6 公顷的牧场，这块牧场够吃多少天？解：58220158430（3020）（155）11662051151569090（86）45（天）3、有 3 片牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它的面积为 31公亩、10 公亩和24 公亩。12 头牛 4 星期吃完第一片牧场原有的和 4 星期内新长出来的草；21 头牛 9 星期吃完第二片牧场原有的和 9 星期内新长出来的草。多少头牛 18 星期才能吃完第三片牧场原有的和新长出来的草？解：4 星期时每公亩共有草：124 3114.4
