1、1离散数学题库答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？ ( )(1) Q=QP (2) Q=PQ (3)P=PQ (4) P (P Q)= P 答：（1）， （4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(P Q)(Q R) (2)P(QQ) (3)(P Q)P (4)P(P Q)答：（2）， （3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=P Q (2) P Q=P (3) P Q=P Q (4)P (PQ)=Q (5) (PQ)=P (6) P (P Q)= P答：（2）， （3），（4），（5），（6）4、公式x(A(x)B(y，x) z
2、C(y，z)D(x)中，自由 变元是( )，约束变元是( )。答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )（1）北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若 7+818，则三角形有 4 条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是（4） 是，T （5） 不是 （6） 不是6、命题“存在一些人是大学生 ”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设 P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。(1
3、) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校 (4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1） （2） （3） （4）QPPQP8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) xy(x+y=0) (2) yx(x+y=0)答：（1）对任一整数 x 存在整数 y 满足 x+y=0（2）存在整数 y 对任一整数 x 满足 x+y=09、设全体域 D 是正整数集合，确定下列命 题的真值：(1) xy (xy=y) ( ) (2) xy(x+y=y) ( )(3) xy(x+y=x) ( ) (4) xy(y=2x) ( )答：（1） F
4、（2） F （3）F （4）T10、设谓词 P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x)在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)-(3)均成立答：（1）11、命题“2 是偶数或-3 是负数”的否定是（ ）。答：2 不是偶数且-3 不是负数。12、永真式的否定是（ ）(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)-(3)均有可能答：（2）13、公式( P Q) ( P Q)化简为（ ），公式 Q (P (P Q)可化简为（ ）。答： P ，Q P14、谓词公式x(P(x) yR(y) Q(x)中量词x 的
5、辖域是（ ）。答：P(x) yR(y)15、令 R(x):x 是实数，Q(x):x 是有理数。 则命题“ 并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（ ）。答： x(R(x) Q(x)（集合论部分）16、设 A=a,a，下列命题错误的是（ ）。(1) a P(A) (2) a P(A) (3) a P(A) (4) a P(A)答：(2)17、在 0（ ） 之间写上正确的符号。(1) = (2) (3) (4) 答：(4)18、若集合 S 的基数|S|=5，则 S 的幂集的基数|P(S)|=（ ）。答：32219、设 P=x|(x+1) 4 且 x R,Q=x|5 x +16 且 x R,则下列命
6、题哪个正确（ ） 22(1) Q P (2) Q P (3) P Q (4) P=Q答：（3）20、下列各集合中，哪几个分别相等( )。(1) A1=a,b (2) A2=b,a (3) A3=a,b,a (4) A4=a,b,c(5) A5=x|(x-a)(x-b)(x-c)=0 (6) A6=x|x2-(a+b)x+ab=0答：A1=A2=A3=A6， A4=A521、若 A-B=，则下列哪个结论不可能正确？( )(1) A= (2) B= (3) A B (4) B A答：（4）22、判断下列命题哪个为真?( )(1) A-B=B-A = A=B (2) 空集是任何集合的真子集(3) 空
7、集只是非空集合的子集 (4) 若 A 的一个元素属于 B，则 A=B答：（1）23、判断下列命题哪几个为正确？ ( ) (1) , (2) , (3) (4) (5) a,ba,b,a,b答：（2）， （4）24、判断下列命题哪几个正确？ ( )(1) 所有空集都不相等 (2) (4) 若 A 为非空集，则 A A 成立。答：（2）25、设 AB=AC， B= C，则 B( )C。A答：=（等于）26、判断下列命题哪几个正确？ ( )(1) 若 ABA C，则 BC (2) a,b=b,a (3) P(AB) P(A)P(B) （P(S)表示 S 的幂集）(4) 若 A 为非空集， 则 A A
8、A 成立。答：（2） 27、，是三个集合，则下列哪几个推理正确：(1) A B，B C= A C (2) A B，B C= AB (3) AB，BC= AC答：（1） （二元关系部分）28、设1,2,3,4,5,6 ，B=1,2,3，从到 B 的关系x,y|x=y 2，求(1)R (2) R-1 。答：（1）R=, (2) R =,129、举出集合 A 上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。( )答：A 上的恒等关系30、集合 A 上的等价关系的三个性质是什么？( )答：自反性、对称性和传递性31、集合 A 上的偏序关系的三个性质是什么？( )答：自反性、反对称性和传递性32、设 S=,，上
9、的关系1,2， 2,1，2,3，3,4求(1)R R (2) R-1 。答：R R =1,1，1,3，2,2，2,4R-1 =2,1，1,2，3,2，4,333、设1，2 ，3，4，5，6，是 A 上的整除关系，求 R= ( )。答：R=,34、设1,2,3,4,5,6 ，B=1,2,3，从到 B 的关系x,y|x=2y ，求(1)R (2) R-1 。答：（1）R=, (2) R =,(36135、设1,2,3,4,5,6 ，B=1,2,3，从到 B 的关系x,y|x=y 2，求 R 和 R-1 的关系矩阵。3答：R 的关系矩阵= R 的关系矩阵=0011 01036、集合 A=1,2,10
10、上的关系 R=|x+y=10,x,y A，则 R 的性质为（ ）。(1) 自反的 (2) 对称的 (3) 传递的，对称的 (4) 传递的答：（2）（代数结构部分）37、设 A=2,4,6，A 上的二元运算*定义为：a*b=maxa,b，则在独异点中， 单位元是( )，零元是( )。答：2，638、设 A=3,6,9，A 上的二元运算*定义为：a*b=mina,b，则在独异点中，单位元是( )，零元是( )；答：9，3（半群与群部分）39、设G,*是一个群，则(1) 若 a,b,xG，a x=b，则 x=( )；(2) 若 a,b,xG，a x=a b，则 x=( )。答： （1） a b （2
11、） b40、设 a 是 12 阶群的生成元， 则 a2 是( )阶元素，a 3 是( )阶元素。答： 6,441、代数系统是一个群， 则 G 的等幂元是( )。答：单位元42、设 a 是 10 阶群的生成元， 则 a4 是( )阶元素，a 3 是( )阶元素。答：5，1043、群 的等幂元是( )，有 ( )个。答：单位元，144、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。答：循环群，任一非单位元45、设G,*是一个群，a,b,cG， 则(1) 若 c a=b，则 c=( )；(2) 若 c a=b a，则 c=( )。答：（1） b (2) b1a46、是的子群的充分必要条件是( )。答
12、：是群 或 a，b G， a b H，a-1 H 或 a,b G，a b-1 H 47、群A,*的等幂元有( )个，是 ( )，零元有( )个。答：1，单位元，048、在一个群G,*中，若 G 中的元素 a 的阶是 k，则 a-1 的阶是( )。答：k49、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可 结合的？（ ）(1) a*b=a-b (2) a*b=maxa,b (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b|答：(2)50、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（ ）。(1) 不可能是群 (2) 不一定是群 (3) 一定是群 (4) 是交换群答：(1)51、6 阶有限群的任何子群一定不是（
13、 ）。(1) 2 阶 (2) 3 阶 (3) 4 阶 (4) 6 阶答：(3)（格与布尔代数部分）452、下列哪个偏序集构成有界格（ ）(1) （N, ） (2) （Z, ） (3) （2,3,4,6,12,|（整除关系） (4) (P(A), )答：(4)53、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。(1) 偶数 (2) 奇数 (3) 4 的倍数 (4) 2 的正整数次幂答：(4)（图论部分）54、设 G 是一个哈密尔顿图，则 G 一定是( )。(1) 欧拉图 (2) 树 (3) 平面图 (4) 连通图 答：(4)55、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？( )(1) 0，10，110，101
14、111 (2) 01，001，000，1(3) b，c，aa，ab，aba (4) 1，11，101，001，0011答：（2）56、一个图的哈密尔顿路是一条通 过图中( )的路。答：所有结点一次且恰好一次57、在有向图中，结点 v 的出度 deg+(v)表示( )，入度 deg-(v)表示( )。答：以 v 为起点的边的条数， 以 v 为终点的边的条数58、设 G 是一棵树，则 G 的生成树有( )棵。(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 不能确定答：159、n 阶无向完全图 Kn 的边数是( )，每个 结点的度数是( )。答： , n-1)(60、一棵无向树的顶点数 n 与 边数 m
15、 关系是( )。答：m=n-161、一个图的欧拉回路是一条通 过图中( )的回路。答：所有边一次且恰好一次62、有 n 个结点的树，其结点度数之和是( )。答：2n-263、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。(1) a，ab，110，a1b11 (2) 01，001，000，1(3) 1，2，00，01，0210 (4) 12，11，101，002，0011答：(1)64、n 个结点的有向完全图边 数是( )，每个结点的度数是( )。答：n(n-1),2n-265、一个无向图有生成树的充分必要条件是 ( )。答：它是连通图66、设 G 是一棵树，n,m 分别表示顶点数和边数，则(1)
16、n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。答：（3）67、设 T=V,E是一棵树，若|V|1，则 T 中至少存在( )片树叶。答：268、任何连通无向图 G 至少有( )棵生成树，当且 仅当 G 是( )，G 的生成树只有一棵。答：1，树69、设 G 是有 n 个结点 m 条边 的连通平面图，且有 k 个面，则 k 等于:(1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。答：（1）70、设 T 是一棵树，则 T 是一个连通且( )图。答：无简单回路71、设无向图 G 有 16 条边且每个顶点的度数都是 2，则图 G 有( )个顶点。(1)
17、10 (2) 4 (3) 8 (4) 165答：（4）72、设无向图 G 有 18 条边且每个顶点的度数都是 3，则图 G 有( )个顶点。(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 12答：(4)73、设图 G=，V=a，b，c，d，e，E=,则 G 是有向图还是无向图？答：有向图74、任一有向图中，度数为奇数的结点有( )个。答：偶数75、具有 6 个顶点，12 条边的连通简单平面图中，每个面都是由( )条边围成？(1) 2 (2) 4 (3) 3 (4) 5答：（3）76、在有 n 个顶点的连通图中，其边数（ ）。(1) 最多有 n-1 条 (2) 至少有 n-1 条(3) 最多有 n
18、 条 (4) 至少有 n 条答：（2）77、一棵树有 2 个 2 度顶点，1 个 3 度顶点，3 个 4 度顶点，则其 1 度顶点为（ ）。(1) 5 (2) 7 (3) 8 (4) 9答：（4）78、若一棵完全二元（叉）树有 2n-1 个顶点，则它（ ）片树叶。(1) n (2) 2n (3) n-1 (4) 2答：（1）79、下列哪一种图不一定是树 （ ）。(1) 无简单回路的连通图 (2) 有 n 个顶点 n-1 条边的连 通图 (3) 每对顶点间都有通路的图 (4) 连通但删去一条边便不连通的图答：（3）80、连通图 G 是一棵树当且仅当 G 中（ ）。(1) 有些边是割边 (2) 每
19、条边都是割边(3) 所有边都不是割边 (4) 图中存在一条欧拉路径答：（2）（数理逻辑部分）二、求下列各公式的主析取范式和主合取范式： 1、(PQ) R 解：(PQ) R ( P Q ) R( P R) (Q R) （析取范式）( P (Q Q) R) ( P P) Q R)( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R)( P Q R) ( P Q R) (P Q R)（主析取范式）(PQ) R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R)（原公式否定的主析取范式）(PQ) R (P Q R) (P Q R) ( P Q R)(
20、P Q R) ( P Q R)（主合取范式）2、(P R) (Q R) P 解： (P R) (Q R) P（析取范式）(P (Q Q) R) (P P) Q R) ( P (Q Q) (R R)(P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R)( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (主析取范式)（(P R) (Q R) P）(P Q R) (P Q R）（原公式否定的主析取范式）(P R) (Q R) P ( P Q R) ( P Q R)（
21、主合取范式）3、( PQ) (R P)解：( PQ) (R P) 6(P Q) (R P)（合取范式）(P Q (R R) (P (Q Q) R)(P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R)（主合取范式） ( PQ) (R P)(P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)( P Q R)（原公式否定的主合取范式）( PQ) (R P) ( P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R)（主析取范式）4、Q(P R) 解：Q(P R)Q P R（主合取范式）（Q(P R)）(
22、P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)(P Q R) (P Q R) (P Q R）（原公式否定的主合取范式）Q(P R)(P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R)( P Q R) ( P Q R）（主析取范式）5、P(P (QP) 解：P(P (QP)P (P ( Q P)P PT (主合取范式 )( P Q) ( P Q) (P Q) (P Q)（主析取范式）6、 (PQ) (R P)解： (PQ) (R P) ( P Q) (R P)(P Q) (R P)（析取范式）(P Q (R R) (P ( Q Q) R)(P Q
23、R) (P Q R) (P Q R) (P Q R)(P Q R) (P Q R) (P Q R)（主析取范式）( (PQ) (R P) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R)( P Q R) ( P Q R)（原公式否定的主析取范式）(PQ) (R P) ( P Q R) (P Q R) (P Q R)(P Q R) (P Q R)（主合取范式）7、P (PQ) 解：P (PQ) P ( P Q) (P P) QT(主合取范式)( P Q) ( P Q) (P Q) (P Q)（主析取范式）8、(RQ) P解：(RQ) P ( R Q ) P( R P) (Q P) （析取范式）
24、( R (Q Q) P) ( R R) Q P)( R Q P) ( R Q P) ( R Q P) (R Q P)(P Q R) (P Q R) (P Q R)（主析取范式）(RQ) P) ( P Q R) ( P Q R） (P Q R) ( P Q R) ( P Q R)（原公式否定的主析取范式）(RQ) P (P Q R) (P Q R) ( P Q R)(P Q R) (P Q R)（主合取范式）9、PQ 解：PQ P Q（主合取范式）( P (Q Q) ( P P) Q)( P Q) ( P Q) ( P Q) (P Q)( P Q) ( P Q) (P Q)（主析取范式）10、
25、P Q 解： P Q （主合取范式）7(P ( Q Q) ( P P) Q）(P Q) (P Q) ( P Q) (P Q）(P Q) (P Q) ( P Q)（主析取范式）11、P Q解：P Q（主析取范式） (P (Q Q) (P P) Q)(P Q) (P Q) (P Q) ( P Q)(P Q) (P Q) ( P Q)（主合取范式）12、（P R） Q解：（P R） Q(P R) Q( P R) Q( P Q) ( R Q)（合取范式）( P Q (R R) ( P P) Q R)( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R)( P Q R) ( P Q R)
26、( P Q R) (P Q R)( P Q R) ( P Q R) (P Q R)（主合取范式）（P R） Q( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) （原公式否定的主析取范式）（P R） Q(P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R)( P Q R)（主析取范式）13、（P Q） R解：（P Q） R( P Q) R(P Q) R(析取范式)(P Q (R R) (P P) (Q Q) R)(P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R)( P Q R)(P Q R) (P Q R) (P Q R
27、) ( P Q R)( P Q R)(主析取范式）（P Q） R( P Q) R(P Q) R(析取范式)(P R) ( Q R)(合取范式)(P (Q Q) R) (P P) Q R)(P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R)(P Q R) (P Q R) ( P Q R)(主合取范式)14、(P (Q R) ( P ( Q R)解：(P (Q R) ( P ( Q R)( P (Q R) (P ( Q R)( P Q) ( P R) (P Q) (P R)（合取范式）( P Q (R R) ( P (Q Q) R) (P Q (R R)(P (Q Q) R)( P Q
28、 R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)(P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R)( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R)(P Q R) (P Q R)(主合取范式)(P (Q R) ( P ( Q R)( P Q R) (P Q R)(原公式否定的主合取范式)(P (Q R) ( P ( Q R)(P Q R) ( P Q R)(主析取范式)15、P ( P (Q ( Q R)解：P ( P (Q ( Q R)P (P (Q (Q R)P Q R(主合取范式)8(P Q R)(P Q R) (P Q R) (P Q R) (
29、 P Q R)( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)(原公式否定的主合取范式)(P Q R)( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R)(P Q R) (P Q R) (P Q R)(主析取范式)16、(P Q) (P R)解、(P Q) (P R)( P Q) ( P R) (合取范式)( P Q (R R) ( P ( Q Q) R)( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)(主合取范式 )(P Q) (P R)( P Q) ( P R)P (Q R)(合取范式)( P (
30、Q Q) (R R) ( P P) Q R)( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)( P Q R) (P Q R)( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R)(主析取范式)三、证明：1、PQ， Q R， R， S P= S证明：(1) R 前提(2) Q R 前提(3) Q （1），（2）(4) PQ 前提(5) P （3），（4）(6) S P 前提(7) S （5），（6）2、A(BC)，C( D E)， F(D E),A=BF证明：(1) A 前提(2) A(BC) 前提(3) BC （1），（2）(4) B 附加
31、前提(5) C （3），（4）(6) C( D E) 前提(7) D E （5），（6）(8) F(D E) 前提(9) F （7），（8）(10) BF CP 3、P Q， PR, QS = R S证明：(1) R 附加前提(2) PR 前提(3) P （1），（2）(4) P Q 前提(5) Q （3），（4）(6) QS 前提(7) S （5），（6）(8) R S CP，（1），（8）4、(PQ) (RS)，(QW) (SX)， (W X)，PR = P9证明：（1） P 假设前提（2） PR 前提（3） R （1），（2）（4） (PQ) (RS) 前提（5） PQ （4）（6） R
32、S （5）（7） Q （1），（5）（8） S （3），（6）（9） (QW) (SX) 前提（10） QW （9）（11） SX （10）（12） W （7），（10）（13） X （8），（11）（14） W X （12），（13）（15） (W X) 前提（16） (W X) (W X) （14），（15）5、(U V)(M N), U P, P(Q S)， Q S =M 证明：(1) Q S 附加前提2 P(Q S) 前提 3 P （1），（2）4 U P 前提5 U （3），（4）6 U V （5）7 (U V)(M N) 前提 8 M N (6),(7)9 M （8）6、 B D，
33、(E F) D， E= B证明：(1) B 附加前提(2) B D 前提 (3) D （1） ， （2）(4) (E F) D 前提(5) (E F) （3） ， （4）(6) E F （ 5）(7) E （6）(8) E 前提(9) E E （ 7） ， （8）7、P(QR)，R(QS) = P(QS)证明：（1） P 附加前提（2） Q 附加前提（3） P(QR) 前提（4） QR （1），（3）（5） R （2），（4）（6） R(QS) 前提（7） QS （5），（6）（8） S （2），（7）（9） QS CP，（2），（8）（10） P(QS) CP，（1），（9）8、P Q， P
34、R ，R S =S Q 证明：（1） S 附加前提10（2） R S 前提（3） R （1），（2）（4） PR 前提（5） P （3），（4）（6） P Q 前提（7） Q (5），（6）（8） S Q CP，（1），（7）9、P(QR) = (PQ)(PR)证明：(1) PQ 附加前提(2) P 附加前提(3) Q (1),(2)(4) P(QR) 前提(5) QR (2),(4)(6) R (3),(5)(7) PR CP,(2),(6)(8) (PQ) (PR) CP,(1),(7)10、P( Q R)，Q P,SR,P = S证明：（1） P 前提（2） P( Q R) 前提（3）
35、Q R (1)，(2)（4） Q P 前提（5） Q (1)，(4)（6） R (3),(5)（7） SR 前提（8） S (6)，(7)11、A，AB ， AC ， B(D C) = D证明：（1） A 前提（2） AB 前提（3） B (1)，(2)（4） AC 前提（5） C (1)，(4)（6） B(D C) 前提（7） D C (3)，(6)（8） D (5)，(7)12、A(C B)，B A，D C = A D证明：（1） A 附加前提(2) A(C B) 前提(3) C B （1），（2）(4) B A 前提(5) B （1），（4）(6) C （3），（5）(7) D C 前提(8) D （6），（7）(9) A D CP，（1），（8）13、(P Q) (R Q) （P R） Q证明、(P Q) (R Q) ( P Q) ( R Q)( P R) Q（P R） Q(P R) Q
