1、261习题十一1设 L 为 xOy 面内直线 x=a 上的一段，证明： 其中 P(x,y)在 L 上连续,d0LPxy证：设 L 是直线 x=a 上由(a,b 1)到(a,b 2)这一段， 则 L： ，始点参数为 t=b1，终点参数为 t=b2 故12tyt2 21d,d0dbbL aPx,ttPa,t2设 L 为 xOy 面内 x 轴上从点 (a,0)到点( b,0)的一段直线，证明：，其中 P(x,y)在 L 上连续,0dbaxy,证：L： ，起点参数为 x=a，终点参数为 x=bx故 ,d,0dbLaPxy3计算下列对坐标的曲线积分：(1) ，其中 L 是抛物线 y=x2 上从点(0,0
2、)到点(2,4)的一段弧；2L(2) 其中 L 为圆周(x -a)2+y2=a2(a0)及 x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界dxyA(按逆时针方向绕行)；(3) ，其中 L 为圆周 x=Rcost，y=Rsint 上对应 t 从 0 到 的一段弧；L 2(4) ，其中 L 为圆周 x2+y2=a2(按逆时针方向绕行 )；2dLxyxyA(5) ，其中 为曲线 x=k，y=acos，z=asin 上对应 从 0 到 的一段弧；z(6) ，其中 是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；32ddxzyxz(7) ，其中 为有向闭拆线 ABCA，这里 A，B，C 依次为点（1,0,
3、0） ，(0,1,0)，LA(0,0,1)；(8) ，其中 L 是抛物线 y=x2 上从点( -1,1)到点(1,1)的段弧22ddLxyxy解：(1)L：y=x 2，x 从 0 变到 2，2622224350 016dd1Lxyxx(2)如图 11-1 所示，L =L1+L2其中 L1 的参数方程为图 11-1cos0inxatyL2 的方程为 y=0(0x2a)故 12 20 0322003dd+costincosdsidsi2LL axyatxattA(3) 0220dsinicosdcod1sinLyxRttRttt (4)圆周的参数方程为：x=acos t，y=asint ，t:02
4、故 2202d1cosinsicosincosddLyxattattatt A263(5) 2032032dsinicosd1xzykaaka(6)直线 的参数方程是 t 从 1032xyz故 322013041dd7987xzyxttttt(7) (如图 11-2 所示)ABC图 11-2，x 从 011:0yABz01d2AB dx，z 从 01:xCy26410120dd3BCxyzzz，x 从 010:1yCAz10d1CA dx故 d312LABCAxyzxyz(8) 21242351dd45Lxyxyx 4计算 ，其中 L 是dLxyxy(1)抛物线 y2=x 上从点(1,1)到点
5、(4,2)的一段弧；(2)从点(1,1)到点(4,2) 的直线段；(3)先沿直线从(1,1) 到点(1,2) ，然后再沿直线到点(4,2)的折线；(4)曲线 x=2t2+t+1,y=t2+1 上从点 (1,1)到点(4,2)的一段弧解：(1)L： ，y：12，故22132241d1d3Lxyxyyy(2)从(1,1)到(4,2) 的直线段方程为 x=3y-2，y：12265故 2121d332d045Lxyxyyy(3)设从点(1,1) 到点(1,2) 的线段为 L1，从点(1,2)到(4,2)的线段为 L2，则 L=L1+L2且L1： ，y ：12；L 2： ，x：14；xy故 12211d
6、0d2Lxyy241 421d0d27Lxyxyxx从而 12dd74Lxyxy(4)易得起点(1,1)对应的参数 t1=0，终点(4,2)对应的参数 t2=1，故122031420dd59d32Lxyxytttttt 5设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a,0)沿椭圆移动到 B(0,b)，求力所做的功266解：依题意知 F=kxi+kyj，且 L： ，t ：0cosinxay2(其中 k 为比例系数 )20202202dcosinsicoddcosLWkxyatkbttbtkab 6计算对坐标的曲线积分：(1) ， 为 x2+y2+z2=1 与 y=
7、z 相交的圆，方向按曲线依次经过第 、封限；dLxyz(2) ， 为 x2+y2+z2=1 在第封限部分的边界曲线，222ddLzxz方向按曲线依次经过 xOy 平面部分， yOz 平面部分和 zOx 平面部分解:(1)： 即221xyz21zy其参数方程为： t：02cos2insyz故： 20202 2dcosinsicosdd4sin16cod16xyzttttt(2)如图 11-3 所示267图 11-3=1+2+31： t：0 ，cosin0xyz2故 122203320dddsinicossid43xzyxztttt又根据轮换对称性知 1222ddd34yzxyxzzy7应用格林公
8、式计算下列积分：(1) ， 其中 L 为三顶点分别为(0,0) ，(3,0)和(3,2)的三角形dd24356Axyy正向边界；(2) ，其中 L 为正向星形线222dcosinesinex xL yx；330ya(3) ，其中 L 为抛物线 2x=y2 上由点(0,0) 到2 2ddcos1sin3Lxyxyx( ,1)的一段弧；2(4) ，L 是圆周 上由点(0,0)到(1,1)的一段弧；2ddsinLxyy 2yx(5) ，其中 m 为常数，L 为由点(a,0) 到(0,0)经过圆esinecoxxm268x2+y2=ax 上半部分的路线（ a 为正数） 图 11-4解：(1)L 所围区
9、域 D 如图 11-4 所示，P=2x-y+4，Q=3x+5y-6， ， ，由格林公式得3x1ydd24564d132LDDPxyA(2)P=x2ycosx+2xysinx-y2ex，Q=x 2sinx-2yex，则 ，cosin2iexQxy从而 ，由格林公式得Py222ddcosinesined0Ax xLD yxxyQy(3)如图 11-5 所示，记 ， ， 围成的区域为 D （其中 =-L）OABABO图 11-5P=2xy3-y2cosx，Q=1-2y sinx+3x2y2，6cos6cosx269由格林公式有： dd0LOABDQPPxyxy故 21200122dddsin343d
10、4LOABABxyxyyy(4)L、AB、BO 及 D 如图 11-6 所示图 11-6由格林公式有 ddLABODQPPxyxy而 P=x2-y，Q= -(x+sin2y)， ，即，10x于是 dd0LABOLABOxyPxQy从而 22221122003sinddddsinsi3n471si26LLBA OBPQxyxyxyyxy(5)L，OA 如图 11-7 所示270图 11-7P=exsiny-my，Q=excosy-m，ecosecosxQy由格林公式得： 2dd18LOADDPPxyxyma于是： 202ddd0esin0ecos8d8 LOAaxxmPxQyPQyxmma8利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：(1)星形线 x=acos3t，y=asin 3t；(2)双纽线 r2=a2cos2；(3)圆 x2+y2=2ax解：(1) 232024 200202dsincosdin3ico1ss26 dco4cos43+s26168LAtattattattta(2)利用极坐标与直角坐标的关系 x=rcos，y=rsin 得，cosxsinco2ya从而 xdy-ydx=a2cos2d于是面积为：
