1、 - 1 -习题 7-11. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A(2，1,-6)，B(0，2，0) ，C (-3，0,5)，D(1，-1 ，-7).解：A 在 V 卦限，B 在 y 轴上，C 在 xOz 平面上，D 在 VIII 卦限。2. 已知点 M(-1，2，3)，求点 M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标.解：设所求对称点的坐标为(x，y，z)，则(1) 由 x-1=0，y+2=0 ，z +3=0，得到点 M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2 ，-3).(2) 由 x=-1，y+2=0 ，z +3=0，得到点 M 关于 x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2
2、 ，-3).同理可得：点 M 关于 y 轴的对称点的坐标为：(1 ， 2，-3) ；关于 z 轴的对称点的坐标为：(1，-2 ，3).(3)由 x=-1，y=2，z+3=0，得到点 M 关于 xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M 关于 yOz 面的对称点的坐标为： (1， 2，3)；M 关于 zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2 ，3).3. 在 z 轴上求与两点 A(-4，1，7) 和 B(3，5，-2)等距离的点 .解: 设所求的点为 M(0，0， z)，依题意有| MA|2=|MB|2，即(-40)2(10)2(7z)2(30)2(50)2(-2z)2解之得 z
3、=11，故所求的点为 M(0，0， ).494. 证明以 M1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解：由两点距离公式可得 ，21221336,M所以以 M1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.5. 设平面在坐标轴上的截距分别为 a=2,b=3,c=5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为 。5yxz6. 求通过 x 轴和点(4, 3,1) 的平面方程.解：因所求平面经过 x 轴，故可设其方程为Ay+Bz =0.又点(4,3,1)在平面上，所以-3A-B =0. 即 B=-3 A
4、代入并化简可得 y-3z =0.7. 求平行于 y 轴且过 M1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程.解：因所求平面平行于 y 轴，故可设其方程为Ax+Cz+D=0.又点 M1 和 M2 都在平面上，于是 0AC可得关系式：A=C= D,代入方程得：Dx Dz +D=0.显然 D0,消去 D 并整理可得所求的平面方程为 x+z1=0.8. 方程 x2+y2+z22x+4y =0 表示怎样的曲面？解：表示以点（1，-2，0）为球心，半径为 的球面方程。59. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？(1) x2y=1； (2) x2+y2=1；(3) 2x2
5、+3y2=1； (4) y=x2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3) 表示椭圆、椭圆柱面。(4)表示抛物线、抛物柱面。- 2 -习题 7-21. 下列各函数表达式:(1) 已知 f(x,y)=x2+y2,求 ；(,)fxy(2) 已知 求 f(x,y).2)解：（1） 22,f xy（2） 2()()xy所以 2,)f2. 求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形：(1) ； (2) ;21sinzxy21zxy(3) ； (4) (,)l()f 2arcsin(3)(,)f 解：（1）由 可得210xy21xy故所求定义域为 D=(x,y)| 表示 xOy
6、平面上不包含圆周的区域。（2）由210可得 xy或故所求的定义域为 D=(x,y)| ，表示两条带形闭域。11y且 或（3）由10可得xy故所求的定义域为 D=(x,y)| ，表示 xOy 平面上直线 y=x 以下且横1yx且坐标 的部分。1x（4）由230y可得24x故所求的定义域为 D=(x,y)| 。224yx且3. 说明下列极限不存在：(1) ； (2) .0limxy3620limxy解：（1）当点 P(x,y)沿直线 y=kx 趋于点(0,0)时，有。(,)0, 01)lilixykkx- 3 -显然，此时的极限值随 k 的变化而变化。 因此，函数 f(x,y)在(0,0)处的极限
7、不存在。（2）当点 P(x,y)沿曲线 趋于点(0,0)时，有3x。366222(,)0, 0limli(1)xyxk k显然，此时的极限值随 k 的变化而变化。 因此，函数 f(x,y)在(0,0)处的极限不存在。4. 计算下列极限：(1) ； (2) ;01lixye(,)0,3sin()limxy(3) ； (4) .3(,)0,sin()limxy(,)0, 42lixy解：（1）因初等函数 在(0,1)处连续，故有(,efx0011li2xye（2） (,)0,3(,)0,3snsin()limlxxyy（3）322(,), (,), )im()0xy xyxy（4） 。(,)0,
8、)(,)0, ) (,)0, )42(41li li lim4) 2xy xy xy 5. 究下列函数的连续性：(1) 2,(),(,)00xyfxy(2) 2,(),(,)fxy解：(1)2(,)0, (,)0,limli)(0,)xyxyf所以 f(x,y)在(0,0)处连续.(2) 222(,)0, 01lilixyxk k 该极限随着 k 的取值不同而不同，因而 f(x,y)在(0,0)处不连续.6. 下列函数在何处间断？(1) ； (2) .21zxy2ln1zxy解：(1)z 在(x,y )| 处间断.(2)z 在(x,y )| 处间断.21- 4 -习题 7-31. 求下列函数偏
9、导数：(1) z=x3+3xy+y3； (2) ;2sinyzx(3) ； (4) ln()l(0,1)yx或(5) ； (6) zyu2co()zue解：(1) 23,3.zxyxy(2) 22sin1,cs.zA(3) 3zxyxy(4) 111,ln.yzzx(5) 2,ln().zzyyuxA1l()zy(6) 2sin,zuxexA2()(2sin().z zzyyxyey 2sizzxen()zey2. 求下列函数在指定点处的偏导数：(1) f(x,y)=x2xy+y 2，求 fx(1,2)，f y(1,2);(2) ;求)arct(1,0)(3) ; 求 ； 222arctn()
10、(,lnsixyf e(1,2)xf(4) , 求 .)()xyzy(,),0xzff解：(1) , .f 120,1243xyf(2) 2(,0)arctn()xf x故因此 .1x(3) 222arctn(4)(,)l(4)si(1)xf e因此 222arctn(4)22arctn(4)(,)o()1si(1) .(4)xxxfexA- 5 -所以 .arctn(15)(1,2)xfe(4) ,(,).yzyyzfxzfxyz故 (,0)(01)(201).2x zf f3设 ，证明：2r(1) ;ryz(2) ;22rrx(3) .222(ln)(l)(ln)1yzr证明： rx,x利
11、用函数关于自变量的对称性，可推断得到： ry,rz.(1) 222221xyzrrxyzr(2) 2 223r利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：22233,ryrz222 33.rxyr rxyz(3) 2222(ln)1lnl(,xzr2 244(l)rrxxA利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：222244(ln)(ln),.ryrzyz.222242(ln)(l)(ln)3(1rrxzxyzrr4. 求下列函数的二阶偏导数 , , ：2y(1) ； (2) .3224zxln()zxy解：(1) 21631,46.zyx22,.zzxy(2) 222ln(), .()()yxy
12、yxx22,.()zxzy5. 某水泥厂生产 A,B 两种标号的水泥，其日产量分别记作 x,y(单位：吨)，总成本(单位：- 6 -元)为C(x,y)=20+30x2+10xy+20y2,求当 x=4,y=3 时，两种标号水泥的边际成本，并解释其经济含义.解： (,)601,)104,yCx4327().xy经济含义:当 A,B 两种标号的水泥日产量分别 4 吨和 3 吨时，如果 B 水泥产量不变，而 A 水泥的产量每增加 1 吨，成本将增加 270 元；如果 A 水泥产量不变，而 B 水泥的产量每增加 1 吨，成本将增加 160 元。6. 设某商品需求量 Q 与价格为 p 和收入 y 的关系
13、为Q=4002p+0.03 y.求当 p=25,y=5000 时，需求 Q 对价格 p 和收入 y 的偏弹性，并解释其经济含义.解： (,)2,()0.3,yQp505.p 经济含义: 价格为 25 和收入为 5000 时，如果价格不变，而收入增加 1 个单位，商品的需求量将增加 0.03；如果收入不变，而价格增加 1 个单位，商品的需求量将减少 2.习题 7-41. 求下列函数的全微分：(1) z=4xy3+5x2y6； (2) 21zxy(3) u=ln(xyz)； (4) sinzue解：(1) 3625410,30,zxy所以 3z2()d()d.dyy+5+(2) 2,11xzx所以
14、 22 z .yy(3) ,uzuxxxz所以 1 d.ydy(4) ,cos,2yzyzuuex所以 1 d()d.yzyze2. 计算函数 z=xy 在点(3，1) 处的全微分.解： 1,ln,y所以 d.x(3,1)l3.dzx3. 求函数 z=xy 在点(2 ，3)处，关于 x=0.1，y=0.2 的全增量与全微分.- 7 -解： 所以,zyx(2,3)(2,3)zzy(2,3)(2,3)0.4.7y(,) d.zx4. 计算 (1.04) 2.02 的近似值.设函数 f(x,y)=xy.x=1,y=2,x=0.04,y=0.02.f(1,3)=13=1,fx(x,y)=yxy-1,f
15、y(x,y)=xylnx,fx(1,2)=2,fy(1,2)=0.由二元函数全微分近似计算公式(7-18)，得 (1.05) 3.021+20.04+00.02=1.08.5. 设有一个无盖圆柱形玻璃容器，容器的内高为 20 cm，内半径为 4 cm，容器的壁与底的厚度均为 0.1 cm，求容器外壳体积的近似值.解：解 设圆柱的直径和高分别用 x，y 表示，则其体积为.221(,)(4Vfxy于是，将所需的混凝土量看作当 x+x=8+20.1，y +y=20+0.1 与 x=8，y =20 时的两个圆柱体的体积之差 V(不考虑底部的混凝土 )，因此可用近似计算公式VdV =fx(x,y)x+f
16、 y(x,y)y.又 ，代入 x=8，y=20，x=0.2，211(,),)24xyffy=0.1，得到(m3).2d80.80.1765.24因此，大约需要 55.264m3 的混凝土 .习题 7-51. 求下列函数的全导数：(1) 设 z=e3u+2v，而 u=t2,v=cost,求导数 ；dzt(2) 设 z=arctan(uv),而 u=3x,v=4x3,求导数 ;(3) 设 z=xy+sint,而 x=et,y=cost,求导数 .dt解： (1) dztutvt3232(sin)uveetcosco6ittt(2) dzzxuvx22113()()xuv34.x(3) dydzzt
17、tt- 8 -(sin)cotyexttcot2. 求下列函数的偏导数(其中 f 具有一阶连续偏导数)：(1) 设 z=u2v uv2，而 u=xsiny,v=xcosy，求 和 ；zy(2) 设 z=(3x2+y2)4x+2y，求 和 ；z(3) 设 u=f(x,y,z)=ex+2y+3z,z=x2cosy，求 和 ；u(4) 设 w=f(x， x2y，xy 2z)，求 , , .wz解：(1) 22()sin()coszvuyuvyux22(sincosinyx2()()yvy22(sissinsiixxyx(2) 令 .3,4,vuzu则16l4vzz42222263n(3)xyxyx1
18、lvvzuzuu42422223()xyxyy(3) 13wffzx2xyy3fz3. 应用全微分形式的不变性，求函数 的全微分.arctn1xyz解：令 ,1,rtuuxyvxzv则 221(arctn)()()dzddu而 ,uxyvxy故 2 )1 1xyxz 22.1dyx4. 已知 sinxy 2z+ez=0,求 和 .xzy解：两同时对 x 求偏导，可得cos0.zye- 9 -故 cos.2zyxe两边同时对 y 求偏导，可得s0.zx故 co.2zxye5. 若 f 的导数存在，验证下列各式：(1) 设 u=yf(x2y 2)，则 ；2uxy(2) 设 ，则 .zfzxy证：(
19、1) ,2()yx222()().ffxyy所以 .232 ufx xu(2) ,21()()yzfxx 1().yzfyx所以 .()ff zxyx6. 求下列函数的二阶偏导数(其中 f 具有二阶连续偏导数)：(1) ；arctn1xyz(2) z=ylnx；(3) z=f(xy,x2y 2).解：(1)由第 3 题可知 221,.dyzzx故 .22,0(1)()yzxx(2) lnln1,.xzy故 ,2l2l2xxzyln22l(1),y.lln1ln1(l)xxxzyyyyx(3) 12,f12.zf故2()zyxx 2212112()4.fyxyfxff1222 222ff y11
20、121122()()()4.zyxxfyfxffxyfxy7. 求由下列方程所确定的隐函数 z=f(x,y)的偏导数 ：,z(1) x2+y2+z24z =0；- 10 -(2) z3 3xyz=1.解：(1)两边同时对 x 求偏导得 故240,zxx2.4zx两边同时对 y 求偏导得 故,yzy.y(2) 两边同时对 x 求偏导得 故23(),zxx23.z两边同时对 y 求偏导得故 2.zy习题 7-61. 求下列函数的极值：(1) f(x,y)=x2+y36xy+18 x39 y+16；(2) f(x,y)=3xyx 3y 3+1.解：(1) 先解方程组 2(,)618039xyfx得驻
21、点为(-6,1),(6,5). 2,6,xxyyfff在点(-6，1) 处， = AC-B2=26-360，又 A0，所以函数在 (6，5)处有极小值 f(6，5)=-90.(2) 先解方程组2(,)30xyfxy得驻点为(0,0),(1,1). 6,xxyyfff6在点(0，0) 处，=AC-B 2=-90,又 A0，所以函数在(1， 1)处有极大值 f(1，1)=2.2. 求函数 f(x,y)=x22xy+2y 在矩形区域 D=(x,y)|0x3,0y2 上的最大值和最小值.解：(1)先求函数在 D 内的驻点，解方程组(,)02 xyf得唯一驻点(1,1),且 f(1,1)=1.(2) 再
22、求 f(x,y)在 D 的边界上的最值.在边界 x =0, 上, f(x ,y)=2y，因此最大值为 f(0,2)=4，最小值为 f(0,0)=0；0在边界 x =3, 上, f(x ,y)= -4y+9，因此最大值为 f(3,0)=9，最小值为 f(3,2)=1；2在边界 y =0, 上, f(x ,y)= x2，因此最大值为 f(3,0)=9，最小值为 f(0,0)=0；3在边界 y =2, 上, f(x ,y)= x24x+4，因此最大值为 f(3,2)=1，最小值为 f(2,2)=0；(3) 比较上述得到的函数值，从而得到 f(3,0)=9 为最大值，f(0,0)=0 为最小值.3. 求函数 f(x,y)=3x2+3y2x 3 在区域 D:x2+y216 上的最小值 .解：(1)先求函数在 D 内的驻点，解方程组,)60( xyf
